初三数学解直角三角形

十、解直角三角形

葛泉云苏州市文昌实验中学

【课标要求】

1．掌握直角三角形的判定、性质．

2．能用面积法求直角三角形斜边上的高．

3．掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题．

4．理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系．

5．能根据已知条件求锐角三角函数值．

6．掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值．

7．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题．

8．能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题．

【课时分布】

解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试，下表为课时安排（仅供参考）．

课时数内容

1 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简

单的解直角三角形

2解直角三角形的应用

2解直角三角形单元测试及评析

【知识回顾】

1．知识脉络

已知斜边一锐

已知一边一锐角解直角三角

解直角三角直角

三角

形的

边角

解直

角三

角形

角解直角三角

已知两边解直

角三角形

锐角解直角三

角

已知两直角边

已知一直角边一

形

关系解直角三角形

添辅助线解直

角三角形已知斜边一直角

边解直角三角形

直接构建直角

实际

三角形

应用

建模出数学图形，

再添设辅助线求解

2．基础知识

直角三角形的特征

⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：

2+b 2=c 2

；

在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a

A ⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，

222

则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a ，则∠C ＝90°；

+b=c

222

⑹射影定理：ACA

=ADAB,BC=BDAB,CD=DADB ．

D 锐角三角函数的定义：

如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，

∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c, b

c C

B abab

则sinA=

c,cosA=c,tanA=b,cotA=

B 特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况） 1．

sincostancot

30° 1 2 3 2 3 33 45° 2 2 2 2 11

60°

3 2

1 23

解直角三角形（Rt △ABC,∠C ＝90°）

2+b 2=c 2

．

⑴三边之间的关系：a

⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA=Aa

＝的对边

斜边

,cosA=

A b 的邻边

＝

斜边

．

tanA= A 的对边a ＝ Ab

的邻边

,cotA= A b 的邻边

＝ Aa 的对边

． ⑷解直角三角形中常见类型：

①已知一边一锐角．

②已知两边．

③解直角三角形的应用．

2．能力要求

例1在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值．

【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD

中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD

和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边

均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．

【解】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°，

∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝22

ACBC＝10，

,cos∠BCD=cosA=

∴sin∠BCD=sinA=

AC tan∠BCD=tanA=

,cot∠BCD=cotA=

．

【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强

调转化的思

想

，

即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD、DC，从而利用三角函数定义直接

求出）

例2如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，

在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测

角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）

C 【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，

故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求

出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长．A30°

60°

【解】过点

A作AG⊥CD，垂足为点G，

BEDF 在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，

AG ∴tan30°= ，∴CG=6×

=23

∴CD=23+1.5,在Rt△CED中，sin60°=

，∴EC=

sin60°

23+1.5

=4+3．

答：拉线CE的长为4+3米．

【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系

，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程

中应加以引导

和总结．

例3如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶

宽

为

4米的迎水坡和背水坡，它们是

坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度

数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？

【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．

1 【解】⑴∵i=tanB,即tanB=

=2B=63.43，

∴∠°．

0.5

⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，

垂足分别为

E、F．A

M N

由题意可知：ME＝NF＝5，∴M E

＝

0.5

，

∴AE＝DF＝2.5，

∵AD=4，∴MN=EF=1.5，

∴S 梯形ADNM＝1

(1.5+4)×1＝

2.75．

∴需要土方为2.75×90=247.5(m )．

【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝垂直高度

水平距离＝坡角的

正

切值，虽

然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所

以建

议

老

师还是要复习一下计算器的使用方法．

例4某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大

树B，小明想测量A、B之间

的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，

且量得B、C间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离．（结

果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tans32°≈0.6249,cot32°≈1.600）

【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出A B的长，只要去解Rt△ADC

和Rt△BDC即可．

【解】过点C作CD⊥AB，垂足为D．由题知：∠=45°，∠=32°．

北

BC 在Rt△BDC中，sin32°= ，∴BD＝100sin32°≈52.99．

cos32°=

，∴CD=100cos32°≈84.80．

在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80．

∴AB=AD+BD≈138米．

答：AB间距离约为138米．

【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找

到两

个直角三角形的公共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三

角形构成的各种情形．

例5在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该

的东偏

城市

南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北25°的PQ的方向

60千米，且圆的半径以10千米/时移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为

速度不断扩张

．

(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；又台

风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米．

(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据21.41，31.73)．

【分析】⑴由题意易知．

⑵先要计算出OH和PH的长，

即可求得台风中心移动时间，

而后求出台风侵袭的圆形区

域半径，此圆半径与OH比较

即可．

【解】⑴100；(6010t)．

⑵作OH⊥PQ于点H，可算得

OH（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则P H20t102，

1002141

算得t52（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：601052130.5（千米）

＜141（千米）．

∴城市O不会受到侵袭．

【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．

例6如图所示：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山

坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度为1

，（即

tan∠PAB= 1

）且O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P

的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）．

【分析】很显然，电视塔OC的高在Rt△OAC

中即可求得.

要求点P的铅直高度，即求PE的长，由坡

度i=1:2，可设PE=x,则AE＝2x.此时只要

山坡列出关于x的的方程即可.而此时要借助于

45°所在的Rt△来解决.故过点P作PF⊥OC，垂足为F.在Rt△PCF中，由PF＝CF，得100+2x=1003–x,即可求得PE的长. 【解】过点作⊥，垂足为PPFOCF. F

AB水平地面

在Rt△OAC中,由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OAtan∠OAC=1003米. 过点P作PE⊥AB，垂足为E.由i=1:2,设PE=x,则AE＝2x.

∴PF＝OE＝100+2x，CF＝1003–x.

1003-100

在Rt△PCF中,由∠CPF＝45°，∴PF＝CF,即100+2x=1003–x,∴x＝

1003-100

即PE=

答：电视塔OC高为1003米.点P的铅直高度为1003-100

米.

【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形的边时，可设未知数，利用方程思想来解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与解直角三角形之间的联系．

【复习建议】

1、立足教材，打好基础，学生通过复习，应熟练掌握解直角三角形的基本知识、基本

方法和基本技能．

2、重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化数形结合的思想和方法的渗透、总结

和升华．

增强学生运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关问题的意识和能力．

3、加强解直角三角形的知识与方程知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，

促进学生更快、更好地构建数学知识网络．

4、重视题型的生活化，复习中强调三角函数的本质，正确理解解直角三角形中边角之

间的关系，引导学生用数学的眼光来看待问题．