电介质习题
131
静电场中的导体和电介质
基 本 要 求
一、掌握导体的静电平衡条件，并能利用这些条件确定导体表面电荷的分布； 二、掌握有导体存在的电场中场强和电势的计算方法； 三、了解电介质极化的原理以及电介质对电场的影响； 四、掌握运用介质中的高斯定律求场强的方法； 五、掌握电容和电场能量的计算方法。
内 容 提 要
一、静电场中的导体
静电平衡状态 导体内部和表面都没有电荷的宏观移动。
静电平衡条件 导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强度与表面垂直。 静电平衡的特点
1. 场强特点：导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强度与表面垂直。
2. 电势特点：导体是等势体，表面是等势面。
3. 电荷分布特点：①电荷只分布在表面上；②对空腔导体，腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上；③对孤立导体，表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关。曲率大处，面电荷密度大。
导体表面的场强与面电荷密度的关系 0εσ
E =
二、静电场中的电介质
电介质(绝缘介质) 电介质内没有可以自由移动的电荷，在电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。
分子电矩 分分l p q =
电极化强度 单位体积内分子电矩的矢量和。
V
V ?=∑→?分p P 0lim
对各向同性电介质
电极化强度和场强的关系：E P e χε0= 电位移矢量：E E D εεε==r 0
这三个矢量的一般关系是：P E D +=0ε
三、电位移矢量和有介质时的高斯定理
电位移线 电位移线类似于电力线(E 线)，在电场中也可以画出电位移线(D 线)。D 线发
132 自正自由电荷止于负自由电荷。
介电常数
真空中的介电常数 ε 0=8.85×10-12 C 2/N·m 2 相对介电常数 ε r = 1+ χe ， (εr ≥ 1) 绝对介电常数（介电常数） ε = ε 0 ε r
有介质时的高斯定理 通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
?∑=?s
s q d 内
S D
四、电容器的电容
电容器 两金属极板，其间充以电介质。 电容(量) 电容器带电量与其电压之比
B
A U U Q
C -=
电容器的串联 等效电容
+++=3
211111C C C C 电容器的并联 等效电容 +++=321C C C C 五、电场的能量
当电容器带电后，同时也储存了能量，电容器的储能公式：
2
22
1212CU QU C Q W e ===
电场能量密度 电场单位体积中的能量。
22
1
21E DE w e ε==
体积V 中的能量 D E d V W V
e ???=21
解题方法与例题分析
一、电场中有导体存在时，场强与电势的计算
1、求场强的方法：①高斯定理；②场强叠加原理。
2、求电势的方法：①用电势的定义式计算；②电势叠加原理。
例1 A 、B 、C 是三块平行金属板，面积均为200cm 2，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距2.0mm ，B 、C 两板都接地，如图9—1所示。设A 板带正电
3.0×10-7C ，不计边缘效应，求B 板和C 板上的感应电荷，以及A
板的电势。
A 板带正电，
B 、
C 两板接地，且两板在A 板附近，所以A 板上的正电荷电量为q ，分布在左右两表面，设B 板感应电荷为
C A B 2q -AC
E AB E 2q 1q 1
q -图9—1
133
-q 1，C 板感应电荷为-q 2 ，则
q 1+q 2=q ①
由于AB 间和AC 间均可视为匀强电场
S
q
E AB 01ε=
S
q E AC 02
ε=
所以
AC
AB
E E q q =21 ② 根据题意
AC AC AB AB C
A B A E d E d U U U U ?=?-=-
得
2
1
=AC AB E E ③ 由①②③解得 q 1=1.0×10-7C ， q 2=2.0×10-7C
B 板上感应电荷为 – q 1= –1.0×10-7
C C 板上感应电荷为 – q 2= – 2.0×10-7C
AB AB A d E U ?=AB d S
q 01
ε=
4
1237102001085.8100.4100.1----??????=
V 103.23
?= 例2 半径分别为1.0cm 与2.0cm 的两个球形导体，各带电量1.0×10-8C ，两球心间相距很远，若用导线将两球相连，求：
（1）每个球所带电量； （2）每球的电势。
解 两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷均匀分布。设两球半径分别为r 1和r 2，导线连接后的带电量分别为q 1和q 2，而 q 1+q 2= 2q ，则两球电势分别是
10114r q U πε= ， 202
24r q U πε=
两球相连后电势相等，U 1=U 2，则有 21212211r r q q r q r q ++==212r r q += 即 2
11
12r r qr q +=
C 106769-?=. C 1033.13292
12
2-?=+=
r r qr q
134 两球电势 1
01214r q U U πε=
=V 10063?=.
例3 两块无限大均匀带电导体平板
相互平行放置，设四个表面的电荷面密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ
如图9—2所示。求证当静
电平衡时，32σσ-=、41σσ=。
证明 垂直于板作柱状高斯面，如图所示，因为导体内场强为零，
两板间场强垂直于板平面，所以有
()?=?+=?S
S d 00132
εσσ
S E
所以 32σσ-=
又左边导体板内场强 ()02/04321=---=εσσσσE 考虑到 032=+σσ 于是有 41σσ=
例4 半径为R 1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R 2、
R 3，使内球带电q ，球壳带电Q ，试求：
（1）电势分布的表示式；
（2）用导线连接球和球壳后的电势分布； （3）外壳接地后的电势分布。
解 （1）根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内表面感应电荷为–q ，且均匀分布；导体球所带电量q 均匀分布在导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q +q )，所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠加。均匀带电球面电势为
???
????
≥≤=)(4)(400
R r r q R r R q U πεπε 所以 1R r ≤， ?
??+-=3210141R q R q U πε21R r R ≤≤，???? ??++-=320241R Q q R q r q U πε 32R r R ≤≤，3034R Q q U πε+=
3R r ≥， r
Q
q U 044πε+=
135
（2）导体连接后，导体球带电量q 与球壳内表面感应电荷–q 中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为Q q +，所以
3R r ≤， 3
03214'''R Q
q U U U πε+===
3R r ≥， r
Q
q U 044'πε+=
（3）外壳接地后，外表面电荷q +Q 被中和，则为两均匀带电球面电势叠加
1R r ≤， ???? ??-=
210141
''R q R q r U πε 21R r R ≤≤，???? ??-=
20241
''R q r q r U πε 2R r ≥， 0''''43==U U
例5 已知导体球半径为R 1，带电量为q 。一导体球壳与球同心，内外半径分别为R 2和
R 3，带电量为Q ，如图9—4所示。求：
（1）场强的分布；
（2）球和球壳的电势V 1和V 2以及它们的电势差；
（3）若球壳接地，V 1和V 2以及电势差；
（4）用导线连接球与球壳后V 1和V 2的值。 解 （1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为q ，则球壳内表面
的感应电荷为-q ；又因球壳所带的电量为Q ，根据电荷守恒定律，球壳外
表面的带电量一定为q+Q 。下面用两种方法求此带电系统的场强分布。
方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用高斯定理求场强。取以半径为r 的同心球面为高斯面。
当r 0S d S E ， ∴042 =E r π，即0=E ； 当R 1 ?2 S q d εS E ，∴0 24επq E r = ，即2 04r q E πε= ； 当R 2 ?3 S q q d εS E ， ∴042=E r π，即0=E ； 当r>R 3时： ? += ?S Q q d 0εS E ，∴0 24επQ q E r += ， 即 2 04r Q q E πε+=。 方法二：利用场强叠加原理求E 分布。 空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为q 、- q 和q+Q 的带电球面在该点产生的场强的矢量和。设三个带电球面产生的场强大小分别为E 1、E 2和E 3，利用均匀带电球面的场强公式可得 图9— 4 136 ?????><=1 2 01140R r r q R r E πε ?????><=2 2 02240R r r q R r E πε ?? ? ??>+<=3 2 03340R r r Q q R r E πε 根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强 321E E E E ++= 所以，场强大小分布为 ????????? ?>+<<<<<=3 2032212 0140 40R r r Q q R r R R r R r q R r E πεπε （2）求球体和球壳的电势及它们的电势差。 方法一：用电势定义式?∞ ?=p p d V l E 计算。 球的电势： 3 0210202 014)1 1(440433221 1 R Q q R R q dr r Q q dr dr r q d V R R R R R R πεπεπεπε++ -= +++=?=??? ?∞∞ l E 球壳的电势： 3020 24433 R Q q dr r Q q d V R R πεπε+=+=?=? ?∞ ∞ l E 球与球壳的电势差： )1 1( 42 10 21R R q V V U -= -=πε 方法二：用电势叠加原理计算。 空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生的电势的代数和。利用均匀带电球面产生电势的公式 137 ?????? ?>≤=R r r q R r R q V 00 44πεπε 同样可以得到 3 0210 14)11( 4R Q q R R q V πεπε++-= ， 3024R Q q V πε+=， ∴ )1 1( 42 10 21R R q V V U -=-=πε （3）若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用高斯定理可求得场强分布 ??? ????><<<=2212 01 040R r R r R r q R r E πε 所以得 )1 1( 4042 10 2 013 22 1 R R q dr dr r q V R R R R -= +=?? πεπε ，02=V ， ∴ )11( 42 10 21R R q V V U -= -=πε （4）用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和，导体球壳外表面带电量为q+Q 。这时场强的分布为 ?? ? ??>+<=3 2 0340R r r Q q R r E πε 因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即 302021443R Q q dr r Q q V V R πεπε+=+==?∞ 球与球壳的电势差为 021=-=V V U 二、电场中有电介质存在时，场强与电势的计算 1. 求场强 ①用公式E =E 0+E '（E 0为自由电荷产生的场强，E '为极化电荷产生的场强）。这种方法求场强的缺点是E 不容易求得，因为它与极化电荷产生的场的分布有关，而求极化电荷产生的场的分布是比较困难的； ②用介质中的高斯定理∑?=?0q d S S D ，先求D ，再用ε D E = 求出E 。用这种方法求场强不用考虑极化电荷，计算很方便，但只有当电场分布具有前面讲过的三种特殊对称性时，才能应用。 2. 求电势 138 有介质存在时，计算极化电荷是不方便的，所以求电势时一般不用叠加法，常用电势的定义?∞ ?=P P d U l E 来计算。 例6 有两个半径分别为R 1和R 2的同心金属球壳，其间各充满一半相对介电常数分别为21,r r εε的各向同性的均匀介质，如图9—5所示。当内球壳带电量为-Q ，外球壳带电量为+Q 时，忽略边缘效应。 试求： （1）空间中D 、E 的分布； （2）两球壳的电势差。 解 （1）作半径为r 的同心球形高斯面，根据导体静电平衡后等 势 l E l E d d R R R R ?=??? 2 1 2 1 21 即 E E E ==21 又 E D r εε0= E D r 101εε= E D r 202εε= 忽略边缘效应，电荷分别在上、下半球和球壳均匀分布，根据高斯定理q d s ∑=??S D 001=∑ 当21R r R << Q r D r D -=?+?222122ππ 即 Q r r r r -=?+?20220122πεεπεε 得 2021)(2r Q E r r εεεπ+-= 22111)(2r Q D r r r εεπε+-= 2 2112)(2r Q D r r r εεπε+-= 当2R r >， 00=∑q ， 0=D ， 0=E r //-E //D 方向 （2）由定义l E d U R R ?=?21 ? +-=2 1 2 021)(2R R r r dr r Q εεε 即 ???? ??-+-= 12 2111(2R R )Q U r r εεε 139 例7 一平行板电容器的极板面积 S =200cm 2，两板间距 d =5.0mm ，极板间充以两层均匀电介 质。电介质其一厚度d =2.0mm ，相对介电常数εr 1=5.0；其 二厚度d 2=3.0mm ，相对介电常数εr 2=2.0。若以3800V 的电势差 (U A -U B ) 加在此电容器的两 极板上，求： （1）板上的电荷面密度； （2）介质内的场强、电位移及电极化强度； （3）介质表面上的极化电荷密度。 解 （1） 2 1111C C C += 2 121C C C C += 2 021012 02101d S d S d S d S r r r r εεεεεεεε+= 2 2 1 1 0r r d d S C εεε+ = .210 0.30.5100.2100.21085.82 32 12----?+????=F 1032.911-?= S Q = σS U U C B A )(-= 2 1110 0.23800 1032.9--???=15m C 1077.1--??= （2）如图作闭合圆柱形高斯面S ，根据高斯定理 ?=?s q dS D )(01自由 σσ==∴1111D S S D 得 用同样的方法作高斯面S′，则?' ?S dS D 102221=+-=S D S D σ==12D D 介质内电位移25m C 1077.1--??==σD E D r 0εε= 所以介质1内场强 011εεr D E =12 5 1085.80.51077.1--???=15m V 100.4-??= 介质2内场强 22εεr D E = 12 5 10 85.80.21077.1--???=16m V 100.1-??= U U 12图9—6 140 介质内1电极化强度 ???? ??-=1111r P εσ??? ??-??=-0.5111077.152 5m C 1042.1--??= 介质内2电极化强度 ??? ? ??-=221 1r P ε σ??? ??-??=-0.2111077.152 6m C 1085.8--??= （3）介质1表面束缚电荷面密度11'P =σ25m C 1042.1--??= 介质2表面束缚电荷面密度2622m C 1085.8'--??==P σ 三、求电容器的电容 求电容器的电容一般分为三步：1. 确定电容器两极板间的场强分布；2. 由 ??=-B A B A d U U l E 求两极板间的电势差；3. 由电容器电容的定义式B A U U Q C -=求电容器电 容。 对多个电容器的组合，可把它们看作几个电容器的串联或并联，并画出其等效电路图。根据电容器串、并联的特点求电容。 例8 平行板电容器极板面积为S ，间距为d ，中间有两层厚度各为d 1和d 2（d=d 1+ d 2）、介电常数各为21εε和的电介质，计算其电容。 解 设两极板各带电荷+q 和-q ，两极板电势差： )(2 2112211221121εεεσεσd d S q d d d E d E U U +=+=+=- 1221212 21121)(εεεεεεd d S d d S q q U U q C += +=-= 例9 半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多。今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求： （1）每个球上分配到的电荷数。 （2）按电容定义式计算此系统的电容。 解 （1） Q Q Q b a =+ a Q U a a 04πε= b Q U b b 04πε= U U U b a == b Q a Q b a 0044πεπε= 141 即 b Q a Q b a =b a Q += 得 b a aQ Q a += b a bQ Q b += （2）系统电容 U Q C =a U Q =a Q aQ 04πε=)(40b a +=πε 四、电场能量的计算 1. 均匀电场 V E W e 221 ε= 2. 非均匀电场 dV E W V e 2 2 1? =ε 3. 电容器的能量 QU CU C Q W e ?=?=?=2 1 212122 例10 有两个半径分别为R 1和R 2的同心金属球壳，内球壳带电量为Q 0，紧靠其外面包一层半径为R 、相对介电常数为εr 的介质。外球壳接地，如图9—7所示。求： （1）两球壳间的场强分布； （2）两球壳的电势差； （3）两球壳构成的电容器的电容值； （4）两球壳间的电场能量。 解 （1）因为电荷分布是球对称的， 介质分布又是与带电球同心的球对称分布，因而不会破坏电场分布的球对称性，所以可用介 质中的高斯定理求场强的分布。 设介质内（即R 1 为E 1，由介质中高斯定理 ∵ 01Q d S =??S D ∴2 14r Q D π= ， 2000114r Q D E r r επεεε== 设介质外，即R ∵ 02Q d S =??S D ∴2 24r Q D π= ， 200022 4r Q D E πεε== 因此，在两金属球壳之间，场强的分布为 ??? ??? ?<<<<2 200120044R r R r Q R r R r Q r πεεπε （2）两球壳间的电势差 142 ? ??? ? ?-+??? ? ??+=+=?=-?? ?200 1002 002 0021114114442 1 2 1 R R Q R R Q dr r Q dr r Q d V V r R R R R r R R πεεπεπεεπεl E （3）两球壳构成的电容器的电容值 ) ()(4) 11(41)11(41121122 1020102 10R R R R R R R RR R R R R V V Q C r r r -+-= -+-= -=εεπεπεεπε （4）两球壳间的电场能量 ??+=212202102 121V V r dV E dV E W εεε ?? +=212220002220004)4(214)4(21R R R R r r dr r r Q dr r r Q ππεεπεπεεε ? ? +=2 1 2 02 2 02 88R R R R r dr r Q dr r Q πεεπε )1 1(4)11(82 02 01020 R R Q R R Q r -+-=πεεπε 也可以用电容器能量公式计算 )1 1(4)11(8212 02 0102020R R Q R R Q C Q W r -+-==πεεπε 例11 用输出电压U 作为稳压电源，给一电容为C 的空气平行板电容器充电。在电源 保持连接的情况下，试求把两个极板间距增大至n 倍时外力所做的功。 解 因保持与电源连接，两极间电势保持不变，而电容值为 d S C /0ε= )/('0nd S C ε= 电容器储存的电场能量由 2/2CU W e = 2/''2U C W e =n CU 2/2= e e e W W W -=?')/(2/2 C n C U -=0122<-=n n CU 在两极板间距增大过程中电容器上带电量由Q 减至Q' ,电源做功 143 U Q Q W )'(1-=U CU U C )'(-=012 <-=n n CU 在拉开极板过程中，外力做功为W 2，根据功能原理 W 1+W 2=ΔW e 12W W W e -?=∴n n CU n n CU ---=112220122>--=n n CU 外力做正功。 习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。 设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q Q E U r r εε= = ππ； （B ）01 0, 4Q E U r ε==π； （C ）00, 4Q E U r ε==π； （D ）020, 4Q E U r ε== π。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得 00 0202 Q Q Q Q U r r r r εεεε-= + += 4π4π4π4π 2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］ （A ）0； （B ）2 q ； （C ）2q -； （D ）q -。 答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U d R πεπε'=+ =（球面上所有感应电荷到 球心的距离相等，均为R ），由此解得2 R q q q d '=-=-。 3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2 200,44r Q Q E D r r εεε= =ππ； （B ）22 ,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）22 00,44Q Q E D r r εε==ππ。 答案：C 静电场中的导体与电介质一章习题解答 习题8—1 A 、B 为两个导体大平板，面积均为S ，平行放置，如图所示。A 板带电+Q 1，B 板带电＋Q 2，如果使B 板接地，则AB 间电场强度的大小E 为：［ ］ (A) S Q 012ε (B) S Q Q 02 12ε- (C) S Q 01ε (D) S Q Q 02 12ε+ 解：B 板接地后，A 、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q 1和-Q 1，这时AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即 S Q S Q S Q E 01010122εεε=+= 板间 所以，应该选择答案(C)。 习题8—2 C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF ，900V 。把它们串联起来在两端加上1000V 的电压，则［ ］ (A) C 1被击穿，C 2不被击穿 (B) C 2被击穿，C 1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C 1承受的电压为V 1，C 2承受的电压为V 2，则有 231221==C V V ① 100021=+V V ② 联立①、②可得 V 6001=V ， V 4002=V 可见，C 1承受的电压600V 已经超过其耐压值500V ，因此，C 1先被击穿，继而1000V 电压全部加在C 2上，也超过了其耐压值900V ，紧接着C 2也被击穿。 所以，应该选择答案(C)。 习题8—3 三个电容器联接如图。已知电容C 1=C 2=C 3，而C 1、C 2、C 3的耐压值分别为100V 、200V 、300V 。则此电容器组的耐压值为［ ］ (A) 500V (B) 400V (C) 300V (D) 150V (E) 600V 解：设此电容器组的两端所加的电压为u ，并且用C 1∥C 2表示C 1、C 2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C 1∥C 2与C 3的串联。由于C 1= C 2=C 3，所以C 1∥C 2＝2C 3，故而C 1∥C 2承受的电压为u /3，C 3承受的电压为2u /3。 +Q 1 +Q 2 A B 习题8―1图 第6章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移至距球心r /2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪一 种情况? [ ] (A)对球壳内外电场无影响 (B)球壳内外电场均改变 (C)球壳内电场改变, 球壳外电场不变 (D)球壳内电场不变, 球壳外电场改变 2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 [ ](A)表面上电荷密度较大处电势较高(B)表面上曲率较大处电势较高 (C)表面上每点的电势均相等(D)导体内有电力线穿过 3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ](A)导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C)导体内的电势与导体表面的电势相等 (D)导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 4. 当一个带电导体达到静电平衡时 [ ](A)导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B)表面曲率较大处电势较高 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高 (D)表面上电荷密度较大处电势较高 5. 一点电荷q 放在一无限大导体平面附近, 相距d , 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A) 2q (B)2 q -(C)q (D)q - 6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q , 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若 使q 偏离球心, 则表面电荷分布情况为 [ ] (A)内、外表面仍均匀分布(B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C)内、外表面都不均匀分布 (D)内表面不均匀分布, 外表面均匀分布 7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来．若大球半径为m , 小球半径为n , 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比σm ／σn 为 [ ] (A)n m (B)m n (C)22n m (D)22m n 8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q , 乙板带电Q ．现 将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A)0(B)－q (C)2Q q +-(D)2 Q q + T6-1-1图 T6-1-5图 T6-1-8图 4-1 第十四章 静电场中的导体和电介质习题 第十四章 静电场中的导体和电介质习题 1. 一带电的平行板电容器中，均匀充满电介质，若在其中挖去一个球形空腔，如图所示，则A 、B 两点的场强（ ） A ． B A E E > B. B A E E < C ．B A E E = D. 0=>B A E E 2．点电荷+Q 位于金属球壳的中心，球壳的内、外半径分别为R 1,R 2，所带净电荷为0，设无穷远处电势为0，如果移去球壳，则下列说法正确的是： （1） 如果移去球壳，B 点电势增加 （2） 如果移去球壳，B 点电场强度增加 （3） 如果移去球壳，A 点电势增加 （4） 如果移去球壳，A 点电场强度增加 3．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心做一球形闭合面，则对此球形闭合面（ ） （1） 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。 （2） 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。 （3） 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 （4） 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立 图3 B 图2 4．如图所示，把一块原来不带电的金属板B ，移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置，设两板面积都是S ，板间距离是d ，忽略边缘效应，当B 板不接地时，两板间电势差=AB U ；B 板接地时=′AB U 。 5．如图所示，将两个完全相同的平板电容器，串联起来，在电源保持连接时，将一块介质板放进其中一个电容器C 2的两极板之间，则电容器C 1电场强度E 1，和电容器C 2电场强度E 2，及电场能量W 1，W 2的变化情况： （1） E 1不变，E 2增大，W 1不变，W 2增大 （2） E 1不变，E 2减小，W 1不变，W 2减小， （3） E 1减小，E 2增大，W 1减小，W 2增大 （4） E 1增大，E 2减小，W 1增大，W 2减小 6．真空中有一带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的总电量都相等，则 （1） 球体的静电能等于球面的静电能 （2） 球体的静电能大于球面的静电能 （3） 球体的静电能小于球面的静电能 （4） 不能确定 二、计算题 1．两块无限大平行带电平板，试证明：（1）相向两面的电荷面密度总是大小相等，符号相反；（2）相背两面的电荷面密度总是大小相等，符号相同；（3）设左边导体板带静电荷2 /6m c μ+。求各板面上的电荷面密度。 d 图4 C 1 C 2 ε 图5 第六章静电场中的导体与电介质 6 －1 将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（） （A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定 分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。 6 －2 将一带负电的物体Ｍ靠近一不带电的导体Ｎ，在Ｎ的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体Ｎ的左端接地（如图所示），则（） （A）Ｎ上的负电荷入地（B）Ｎ上的正电荷入地 （C）Ｎ上的所有电荷入地（D）Ｎ上所有的感应电荷入地 分析与解 导体Ｎ 接地表明导体Ｎ 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体Ｎ 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。 6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d q v E 04,0πε= = （B ）d q v d q E 02 04,4πεπε= = （C ）0,0==v E （D ）R q v d q E 02 04,4πεπε= = 分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零，O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势。因而正确答案为（A）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （Ｅ）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关 103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。 104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为 一、概念题 1、电势 2、电势能 3、电介质 4、束缚电荷 5、有极分子 6、无极分子 7、点电荷 8、电场强度 9、电偶极子 10、等势面 11、库伦定律 12、电场 13、静电场 14、电力线 15、高斯定理 16、电矩 17、电感应强度 18、电位移矢量 19、电介质极化 20、极化强度 21、介电常数 22、自由电荷 23、极化电荷 24、退极化电场 25、相对介电常数 26、有效电场 27、极化率 28、极化系数 29、电子位移极化 30、离子位移极化 31、偶极子转向极化 32、热离子松弛极化 33、空间电荷极化 34、电介质的击穿 35、介电系数的温度系数 36、电介质损耗 37、电导损耗 38、松弛极化损耗 39、谐振损耗 40、正常谐振色散 41、反常谐振色散 42、电离损耗 43、结构损耗 44、复介电常数 45、色散现象 46、电介质电导 47、电介质的电导率 48、迁移率 49、载流子浓度 50、介电强度 51、碰撞电离 52、电子碰撞电离系数 53、热电离 54、电子附着系数 55、阴极的表面电离 56、光电发射 57、载流子的复合 58、非自持放电 59、自持放电 60、本征离子电导 61、弱联系离子电导 62、电子电导 63、表面电导 64、电泳电导 65、铁电体 66、介电反常 67、电滞回线 68、电畴 69、热释电效应 70、相和相变 二、选择题： 1、关于点电荷的下列说法中正确的是： A .真正的点电荷是不存在的． B .点电荷是一种理想模型． C .足够小（如体积小于1）的电荷就是点电荷． D .一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计． 2、下面关于点电荷的说法正确的是() A．只有体积很小的带电体才能看成是点电荷 B．体积很大的带电体一定不能看成是点电荷 C．当两个带电体的大小远小于它们间的距离时，可将这两个带电体看成是点电荷 D．一切带电体都可以看成是点电荷 3、下列说法中正确的是： A .点电荷就是体积很小的电荷． 第6章 静电场中的导体与电介质 一、选择题 1. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 [ ] 2. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 [ ] 3. 当一个带电导体达到静电平衡时 (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 [ ] 4. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中，如图1所示．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将 (A) 放入前后场强相同 (B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小 (D) 无法判定 [ ] 5. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为V , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为 (A) 23R V r (B) V r (C) 2RV r (D) V R [ ] 6. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后 (A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等 [ ] 7. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有 ??=?s S D 0d ? ρ, 则S 面内必定 (A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷 (C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 [ ] 8. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为 (A) 原来的两倍 (B) 原来的一半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对 [ ] 9. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳，如图2所示．若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内 q 图1 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+==??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π4100εε+ ? 03π4π400=+'= R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。 （1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ； （3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。 解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为 ???????>≤=)( 4)( 400 R r r q R r R q V πεπε 导体球外表面均匀带电q ；导体球壳表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。 导体球是等势体，其上任一点电势为 )( 413 210 1R Q q R q R q V ++-= πε 球壳是等势体，其上任一点电势为 题8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1 = 5.0?10-4 m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径m 105.432-?=R 的同轴圆筒形阳极。阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L = 2.5?10-2 m 。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：（1）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阳极射出时所受的力。 题8.1分析：（1）由于半径L R <<1，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性。从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率。 （2）计算阳极表面附近的电场强度，由E F q =求出电子在阴极表面所受的电场力。 解：（1）电子到达阳极时，势能的减少量为 J 108.417ep -?-=-=?eV E 由于电子的初始速度为零，故 J 108.417ep ek ek -?=?-=?-E E E 因此电子到达阳极的速率为 17ek s m 1003.122-??=== m eV m E v （2）两极间的电场强度为 r 02e E r πελ -= 两极间的电势差 1 200ln 2d 2d 2 1 21 R R r r V R R R R πελ πελ-=- =?=?? r E 负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度 r 1 2 1r 1 0ln 2e e E R R R V R = - =πελ 电子在阴极表面受力 N e E F r 141037.4-?=-=e 这个力尽管很小，但作用在质量为9.11?10－ 31 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加 速度的5?1015倍。 题8.2：一导体球半径为R 1，外罩一半径为R 2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V 0。求此系统的电势和电场的分布。 题8.2分析：不失一般情况，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。并由?∞ ?=p v l E d P 或电势叠加求 出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量210R R Q V 、、、表示。 题8.2解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称。取同心球面为高斯面，由高斯定理()∑?=?=?024d πq r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域 静电场中的导体和电解质习题、答案及解法 一．选择题 1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ] （A ） a q 02πε； （B ）0 ； （C ）R q 04πε-； （D ） ??? ??-R a q 1140πε。 参考答案：)1 1(4)11( 4400 2 0R a q a R q dl R q Edl V R a R a -=--===?? πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为 （A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。 [ B ] 解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 12 21d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为 [ B ] （A ） 2 04r q πε，0 ； （B ）0， 2 04r q πε ； （C ）0，r q 04πε ； （D ）0，0 。 1 r 2 r O P Q +q +a O R 1 d 2 σ2 d 1 σ 参考答案：??? ? ??= ??? ? ? ?-∞-==?+?=?=????∞ ∞∞2 020 201 411441 22 2 r Q r Q dr r Q l d E l d E l d E U r r r r p p πεπεπε 4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ] （A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零; （D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。 5.两个同心薄金属球壳，半径分别为） （和2121R R R R <，若内球壳带上电荷Q ，则两者的电势分别为2 21 14R 4R Q V Q V πεπε= = 和，（选无穷远处为电势零点）。现用 导线将两球壳相连接，则它们的电势为 [ D ] （A ）1V （B ）()2121V V + （C ）21V V + （D ）2V 参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势 面。 6.当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确的结果是[ C ] （A ） 极板上自由电荷减少 （B ） 两极板间电势差变大 （C ） 两极板间电场强度变小 （D ） 两极板间电场强度不变 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 0 0εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε='+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且 高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 第十章静电场中的导体和电介质§10-1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 1、金属导体的电结构及静电感应 （1）金属导体：由带正电的晶格和带负电的自由电子组成. 带电导体：总电量不为零的导体； 中性导体：总电量为零的导体； 孤立导体：与其他物体距离足够远的导体. “足够远”指其他物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略. （2）静电感应过程：导体内电荷分布与电场的空间分布相互影响的过程. （3）静电平衡状态：导体中自由电荷没有定向移动的状态. 2、导体静电平衡条件 （1）从场强角度看： ①导体内任一点，场强； ②导体表面上任一点与表面垂直. 证明：由于电场线与等势面垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处表面垂直. 说明：①静电平衡与导体的形状和类别无关. ②“表面”包括内、外表面； （2）从电势角度也可以把上述结论说成：静电平衡时导体为等势体. ①导体内各点电势相等； ②导体表面为等势面. 证明：在导体上任取两点A，B，.由于=0，所以. （插话：空间电场线的画法. 由于静电平衡的导体是等势体，表面是等势面.因此，导体正端发出的电场线绝对不会回到导体的负端.应为正电荷发出的电场线终于无穷远，负电荷发出的电场线始于无穷远.） 二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布 如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 导体静电平衡时其内， ， 即. S面是任意的，导体内无净电荷存在. 结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上. 2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况 如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 0200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε='+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且 高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 习题13 13-1．如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x 轴)。 （1）0P P =；（2）R x P P 0=。 解：可利用公式'cos S S q P d S P d S θ=-?=-????v v 乙算出极化电荷。 首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()d S R Rd πθθ=， （1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=， 220 100 'cos 2sin sin 2202 R P q P R d d π π πθπθθθθ=-?=- =?? ； （2）R x P P 0 =时，22000cos 'cos cos cos x R P P P R R θσθθθ=== 2 2 2 2 200 'cos 2 sin 2cos cos q P R d R P d ππ θπ θθπθθ=-?=?? 2230 00 24cos 3 3 R P R P πππθ ==-。 13-2．平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87 -?±，在两板间充满电介质后，其场强为V/m 104.16 ?，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密度。 解：（1）由0r E σεε=，有：18.710100104.11085.8109.84 61270=??????==---ES Q r εε （2）520'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=? 13-3．面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为3 d ，相对介电常数为r ε的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3 d 的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？ 解：（1）电介质外的场强为：00 E σε=， 而电介质内的场强为：0r r E σεε= ， 所以，两板间电势差为：00233r d U d σσεεε= ?+?， 那么，03(21)r r S Q S C U U d εεσε===+，而00S C d ε=，∴0321r r C C εε=+； （2）插入厚度为3d 的导电板，可看成是两个电容的串联， 有：00123/3S S C C d d εε===， ∴002 1212 323C d S C C C C C ==+= ε?0 3 2 C C =。 P v θ 3 d 3d 3 d 第六章 静电场中的导体和电介质 将一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内激发的电场是否等于零静电屏蔽的效应是如何体现的 答：带电体单独在导体空腔内激发的电场不为零。静电屏弊效应体现在带电体的存在使导体腔上的电荷重新分布（自由电子重新分布），从而使得导体空腔内的总电场为零。 将一个带正电的导体 A 移近一个接地的导体 B 时，导体 B 是否维持零电势其上面是否带电 答：导体B 维持零电势，其上带负电。 在同一条电场线上的任意两点 a 、b ，其场强大小分别为a E 及b E ，电势分别为a V 和b V ，则以下结论正确的是： (1 ) b a E E =； (2 ) b a E E ≠； (3) b a V V = ； (4) b a V V ≠ 。 答：同一条电场线上的两点，电场强度可以相同，也可以不同，但沿着电场线电势降低，所以选（4）。 电容器串、并联后的等值电容如何决定在什么情况下宜用串联什么情况下宜用并联 解：串： ∑=i i c c 1 1 并：∑=i i c c 当手头的电容器的电容值比所需要的电容值小，宜用并联。当手头的电容器的耐压值比所需要的大，宜采用电容器串联。 两根长度相同的铜导线和铝导线，它们两端加有相等的电压．问铜线中的场强与铝线中的场强之比是多少铜线中的电流密度与铝线中的电流密度之比是多少（已知 m 1082m,104487?Ω?=ρ?Ω?=ρ--..铝铜） 答：电压V 相同和导线长度l 相同，则电场强度E 相同； 由 ρ σE E j = = 得：1107 10 4410827 8=??=ρρ= ? ρ=ρ--..铜 铝铝 铜铝铝铜铜j j j j 第1页共6页 2 静电场中的导体和电介质习题详解习题册-下-2 习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1和 r2的金属球壳。设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r的P点处的场强和电势为［］ （A）E= Q4πε0r 2 , U=Q4πε0r Q4πε0r ； （B）E=0, U=（D）E=0, U= Q4πε0r1 Q4πε0r2 ；（C）E=0, U=； 。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内E=0；外球壳内、外表面分别带电为-Q和+Q，根据电势叠加原理得 U= Q4πε0r + -Q4πε0r + Q4πε0r2 = Q4πε0r2 2．半径为R的金属球与地连接，在与球心O相距d=2R处有一电量为q的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q'为［］ （A）0；答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即U0=球心的距离相等，均为R），由此解得q'=- 3．如图，在一带电量为Q的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为εr，壳外是真空，则在壳外P点处(OP=r)的场强和电位移的大小分别为［］（A）E=（C）E=答案：C 解：由高斯定理得电位移 D= 4．一大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半 Q4πr 2 （B） q2 ；（C）- q2 ；（D）-q。 q4πε0dRd +q2 q'4πε0R =0（球面上所有感应电荷到 q=- 。 Q4πε0εrr 2 ,D= Q4πε0r 2 ；（B）E= Q4πεrr 2 ,D= Q4πr 2 ； Q4πε0r 2 ,D= Q4πr 2 ；（D）E= Q4πε0r 2 ,D= Q4πε0r 2 。 ，而 E= D ε0 = Q4πε0r 2 。 第2页共6页 2 静电场中的导体和电介质习题详解习题册-下-2 为空气，如图所示。当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个 质量为m、带电量为+q的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。此后，若把电介质抽去，则该质点［］ 习题7 27-2 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与 C相距2.0 mm．B，C都接地，如题7-2图所示．如果使A板带正电3.0×-710C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题7-2图示，令A板左侧面电荷面密度为σ1，右侧面电荷面密度为σ 2 题7-2图 (1)∵ UAC=UAB，即 ∴ EACdAC=EABdAB ∴ σ1EACdAB===2 σ2EABdAC qA S且σ1+σ2= 得σ2=qA2q, σ1=A 3S3S 而 qC=-σ1S=-2qA=-2?10-7C 3 qB=-σ2S=-1?10-7C (2) UA=EACdAC= σ1dAC=2.3?103V ε0 7-3 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电+q；球壳内表面带电则为-q,外表面带电为+q，且均匀分布，其电势 题7-3图 U=?∞ R2 ∞E?dr=?qdrq= R24πεr24πε0R0 (2)外壳接地时，外表面电荷+q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为-q．所以球壳电势由内球+q与内表面-q产生： U=q 4πε0R2-q4πε0R2=0 (3)设此时内球壳带电量为q'；则外壳内表面带电量为-q'，外壳外表面带电量为-q+q' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 UA=q' 4πε0R1-q'4πε0R2+-q+q'=0 4πε0R2 得 q'= 外球壳上电势 R1q R2 -q+q'(R1-R2)q= 24πε0R24πε0R2UB=q'4πε0R2-q'4πε0R2+ 7-4 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d=3R 处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量． 解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q'，则球接地时电势U O=0 7-4图 参考答案 第一章 1. 电介质在电场作用下，在介质内部感应出偶极矩、介质表面出现束缚电荷的现象称 为电介质的极化。其宏观参数是介电系数ε。 2. 在电场作用下平板介质电容器的介质表面上的束缚电荷所产生的、与外电场方向相反的电场，起削弱外电场的作用，所以称为退极化电场。 退极化电场： 平均宏观电场： 充电电荷产生的电场： 3. 计算氧的电子位移极化率:按式代入相应的数据进行计算。 4．氖的相对介电系数: 单位体积的粒子数:，而 所以: 5．洛伦兹有效电场： εr与α的关系为： 介电系数的温度系数为： 6．时，洛伦兹有效电场可表示为： 7. 克----莫方程赖以成立的条件：E”=0。其应用范围：体心立方、面心立方，氯化钠型以及金刚石型结构的晶体；非极性及弱极性液体介质。 8．按洛伦兹有效电场计算模型可得： E”=0 时, 所以 9. 温度变化1度时, 介电系数的相对变化率称为介电系数的温度系数. 10. 如高铝瓷, 其主要存在电子和离子的位移极化, 而掺杂的金红石和钛酸钙瓷除了含有电子和离子的位移极化以外, 还存在电子和离子的松弛极化。极性介质在光频区将会出现电子和离子的位移极化, 在无线电频率区可出现松弛极化、偶极子转向极化和空间电荷极化。 11. 极化完成的时间在光频范围内的电子、离子位移极化都称为瞬间极化。而在无线电频率范围内的松弛极化、自发式极化都称为缓慢式极化。电子、离子的位移极化的极化 完成的时间非常短，在秒的范围内，当外电场的频率在光频范围内时，极 化能跟得上外电场交变频率的变化，不会产生极化损耗；而松弛极化的完成所需时间比较长，当外电场的频率比较高时，极化将跟不上交变电场的频率变化，产生极化滞后的现象，出现松弛极化损耗。 12．参照书中简原子结构模型中关于电子位移极化率的推导方法。静电场中的导体和电介质习题详解
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