函数曲线和极限

函数曲线和极限

{范例2_1}比正弦函数

比正弦函数为

sin ()x

y f x

x

==

画出函数曲线。当x→0时，函数的极限是多少？

[程序]P2_1sinx_x.m如下。

%sinx/x的计算和图示

clear %清除变量

x=-1:0.1:1; %自变量向量(有零点)

y=sin(x)./x %函数向量(1)

figure %创建图形窗口

plot(x,y) %画曲线(x=0处有一缺口)(2)

grid on%加网格

y0=sin(eps)/eps %用最小间隔计算数值极限(3)

hold on%保持图像

plot(0,y0,'.') %画点补充缺口

x=x+eps; %每个数加一个最小间隔(4)

y=sin(x)./x; %函数向量

plot(x,y,'r') %画无缺口的红色曲线(5)

x=-1:0.03:1; %自变量向量绕过奇点(6)

y=sin(x)./x %函数向量

plot(x,y,'k') %再画无缺口的黑色曲线

syms x%定义符号变量(7)

ys=limit(sin(x)/x) %求符号表达式的极限(8)

plot(0,double(ys),'o') %画圈表示极限(9)

[说明](1)除号前面要加点，称为点除或数组除法，表示正弦函数向量sin(x)与x向量中对应的元素相除。

(2)在x = 0处有一个很大缺口，如P2_1a图所示。这是因为MA TLAB计算sin(0)/0得出非数。分母为零的点称奇点，由于sin x/x→1，这种奇点是可去奇点。

(3)数值的最小间隔用变量eps表示，其值为2.2204e-016，通过最小间隔计算数值极限，结果为1。

(4)将每一个数加一个最小间隔，一般的数几乎没有增加，而零改为最小间隔。此句可改为

x(x==0)=eps;

其功能是将为零者改为最小间隔。

(5)这样画出的曲线没有缺口。

(6)适当地取间隔，使自变量向量绕过零点(奇点)，同样可画出无缺口的曲线。

(7)定义符号变量。

(8)求符号表达式的极限。

(9)虽然符号极限的值是1，这个数是符号值，需要用double函数化为双精度数，如P2_1b 图所示。

P2_1a图P2_1b图

{范例2_2}求e的函数

一函数为

y = f(x) = (1 + x)1/x

画出函数曲线。当x→0时，函数的极限是多少？

[程序]P2_2e.m如下。

%e的计算和图示

clear %清除变量

x=-0.5:0.01:0.5; %自变量向量

y=(1+x).^(1./x); %函数值(1)

figure %创建图形窗口

plot(x,y) %画有缺口的曲线(2)

grid on%加网格

e=(1+eps)^(1/eps); %数值极限值(3)

hold on%保持图像

plot(0,e,'.') %画点

text(0,e,num2str(e)) %显示极限

x(x==0)=eps; %零改为最小间隔(4)

y=(1+x).^(1./x); %函数值

plot(x,y,'r') %画无缺口的曲线

x=linspace(-0.5,0.5); %绕过奇点的自变量向量(5)

y=(1+x).^(1./x); %函数值

plot(x,y,'k','LineWidth',2) %画无缺口的曲线

syms x%定义符号变量

ys=limit((1+x)^(1/x)) %求符号表达式的极限

plot(0,double(ys),'o') %画圈表示极限(6)

[说明](1)乘方和除号前面要加点，表示向量中对应的元素相除再乘方。

(2)如P2_2a图所示，函数是单调下降的，在x = 0处有一个缺口。

(3)通过最小间隔计算数值极限，结果为2.7182。这个值也可直接根据对数函数计算

e=exp(1);

(4)将为零者改为最小间隔当然可以计算e的值，画出无缺口的曲线。

(5)linspace函数将-0.5到0.5之间的数分为100个点，也绕过了奇点，从而画出无缺口的

曲线。

(6)利用符号函数也可计算函数的极限，如P2_2b图所示。

P2_2a图P2_2b图[作业]

一函数为

y = f(x) = (1 + 1/x)x

画出函数曲线。当x→±∞时，函数的极限是多少？