数学(理)卷·2014届湖南省株洲市二中高二下学期末考试

2012-2013年株洲市二中高二下学期期末考试题

数 学（理科）

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集

()

,U =-￥+￥，

()

0,2A =，

()

,1B =-￥，则图中阴影部分表示的集合是

A ．{|1}x x 3

B ．{|12}x x ￡<

C ．{|01}x x <￡

D ．{|1}x x ￡

2．已知

,x y R ?，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x y

i ++的值为 A ． 2 B ．2i

-

C ．4-

D ．

2i

3．执行右图所示的程序框图，输出的S 值为

A ．3-

B ．1

2-

C ． 2

D ． 1

3

4．

()sin()cos()(0,2f x x x p w j w j w j =+++><

的最小正周期为p ，且

()()f x f x -=，则

A ． ()y f x =在3(,44p p 单调递增

B ． ()y f x =在

(0,2p 单调递增

C ． ()y f x =在3(,44p p 单调递减

D ． ()y f x =在

(0,)

2p

单调递减 5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面

积是

A ． 6

B ． 8 C

．

D ． 3

6．双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>> 的渐近线与抛物线

24y x =-的准线交于P 、Q 两点，O

为原点，若OPQ D 的面积等于3 ，则双曲线的离心率为

A ．

B ．

C ．3 D

7. 在ABC D 中，已知向量)72cos ,18(cos °°=，)27cos 2,63cos 2(°°=，则

ABC D 的

最大内角为

A. 135o

B. 120o

C. 150o

D. 90o

8. 若函数

1

y x =

和()2

,,0y ax bx a b R a =+?1的图象有且只有两个不同的公共点

()

11,M x y 、

()

22,N x y ，则下列判断正确的是

A ．当0a <时，120x x +>，120y y +<

B ．当0a <时，120x x +<，120y y +>

C ．当0a >时，

120x x +<，120y y +< D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

广告费用x （万元） 3 4 5 6 销售额 y （万元）

25

30

40

45

根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 为7，据此模型预报广告费用为10万元时销

售额

为 （万元）

10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y a a =+ìí

=+?

（其中a 为参数，

R a ?）．在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方

程为

cos 42p r q ?

?-=

?÷è?．则曲线1C 与2C 交点间的距离为 11．设

sin cos 22x x a dx p =

ò

，则二项

式

6

?+?è的展开式中的常数项等于 12．正项等比数列{}n a 满足21212n n a a -×=（n N *?），则

2123221log log log n a a a -+++=L 13．已知实数x 、y 满足222242(1)(1)(0)y x

x y y x y r r ￡ì?+￡?í

3-??++-=>? ，则r 的最小值为 14．若平面向量a r ，b r 满足||1a =r ，||1b ￡r ，且以向量a r ，b r 为邻边的平行四边形的面积为12，则a r 与b r

的夹角q 的取值范围是

15．一艘轮船从O 点的正东方向10km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间]10 ,5[内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边

2sin 0c A -=． （1）求角C 的大小；

（2）若2c =，求证：4a b +￡．

17．（本小题满分12分）

某工厂2013年第一季度生产的A ，B ，C ，D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品，参加7月份的一个展销会．

（1）问A ，B ，C ，D 型号的产品各抽取多少件？从50件样品中随机的抽取2件，求这两件产品恰好是不同型号的产品的概率；

（2）从A ，C 型号的产品中随机的抽取3件，用x 表示抽取A 种型号的产品件数，求x 的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB//CD ，

2AD CD AB ==，

E 、

F 分别为PC 、CD 的中点． （1）求证：CD ⊥平面BEF ；

（2）设PA kAB =，且二面角E BD C --的度数大于30°，求k 的取值范围．

19．（本小题满分13分） 已知公差不为0的等差数列

{}n a 的首项1a 为a （a R ?），设数列{}n a 的前n 项和为

n S ，

且11a ， 21a ，41a 成等比数列.

（1）求数列

{}n a 的通项公式及n S ；

（2）记1231111n n A S S S S =

+++×××+

，

2112221111n n B a a a a -=+++×××+，当2n 3时，试比

较

n A 与

n B 的大小．

P

20． （本小题满分13分）

椭圆22

221(0)x y a b a

b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 的直线l 与椭圆相

交于A 、B 两点.

（1）如果点A 在圆222

x y c +=（c 为椭圆的半焦距）上，且1

||F A c =，求椭圆的离心率；

（2）若函

数

log (01)

m y x m m =>1且的图象，无论m 为何值时恒过定点(,)b a ，求

22F A F B ×uuur uuur

的取值范围．

21．（本小题满分13分）

已知函数()2

112f x x

=

，()2ln f x a x =（其中0a >）．

（1）求函数

()()()

12f x f x f x =×的极值；

（2）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1

(,)

e e 内有两个零点，求a 的取值范围；

（3）求证：当0x >时，

231

ln 04x

x x e +

->．（e 是自然对数的底数，e =2．71828×××）．

二中2012-2013年下学期高二年级期末考试 学（理科）答案 题教师：李平凡 时量：120分钟 满分：150分 座位号

一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集

(),U =-￥+￥，

()0,2A =，

()

,1B =-￥，则图中阴影部分表示的集合是 （ B ）

A ．{|1}x x 3

B ．{|12}x x ￡<

C ．{|01}x x <￡

D ．{|1}x x ￡

2．已知,x y R ?，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则

(1)x y

i ++的值为 （ D ） A ． 2 B ．2i

-

C ．4-

D ．

2i

3．执行右图所示的程序框图，输出的S 值为 （ C ）

A ．3-

B ．1

2-

C ． 2

D ． 1

3

4．

()sin()cos()(0,2f x x x p w j w j w j =+++><

的最小正周期为p ，且

()()f x f x -=，则

A ． ()y f x =在3(,44p p 单调递增

B ． ()y f x =在

(0,)

2p 单调递增 （ D ） C ． ()y f x =在3(,44p p 单调递减 D ． ()y f x =在

(0,2p

单调递减

5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面

积是 （ A ） A ． 6 B ． 8 C

．

D ． 3

6．双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>> 的渐近线与抛物线

24y x =-的准线交于P 、Q 两点，O

为原点，若OPQ D 的面积等于3 ，则双曲线的离心率为 （ B ）

A ．

B ．

C ．3 D

7. 在ABC D 中，已知向量)72cos ,18(cos °°=，)27cos 2,63cos 2(°°=，则

ABC D 的

最大内角为 （ A ）

A. 135o

B. 120o

C. 150o

D. 90o

8. 若函数

1

y x =

和()2

,,0y ax bx a b R a =+?1的图象有且只有两个不同的公共点

()

11,M x y ，

()

22,N x y ，则下列判断正确的是 （ A ）

A ．当0a <时，120x x +>，120y y +<

B ．当0a <时，120x x +<，120y y +>

C ．当0a >时，

120x x +<，120y y +< D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

广告费用x （万元） 3 4 5 6 销售额 y （万元）

25

30

40

45

根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 为7，据此模型预报广告费用为10万元时销

售额为 73.5

（万元）

10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y a

a =+ìí

=+?

（其中a 为参数，R a ?）．在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为

cos 42p r q ?

?-=

?÷è?．则曲线1C 与2C 交点间的距离为 2

11．设

sin cos 22x x a dx p =

ò

，则二项

式

6

?+?è的展开式中的常数项等于 20 12．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且21212n n a a -×=（n N *?），则

2123221log log log n a a a -+++=L 22n n -

13．已知实数x 、y 满足222242(1)(1)(0)y x

x y y x y r r ￡ì?+￡?í

3-??++-=>? ，则r 的最小值为

． 14．若平面向量a r ，b r 满足||1a =r ，||1b ￡r ，且以向量a r ，b r

为邻边的平行四边形的面积为12，则a r 与b r 的夹角q 的取值范围是5[,]66p p

15．一艘轮船从O 点的正东方向10km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间]10 ,5[内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率

是2- 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边

2sin 0c A -=． （1）求角C 的大小；

（2）若2c =，求证：4a b +￡．

17．（本小题满分12分）

某工厂2011年第一季度生产的A ，B ，C ，D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品，参加四月份的一个展销会．

（1）问A ，B ，C ，D 型号的产品各抽取多少件？从50件样品中随机的抽取2件，求这两件产品恰好是不同型号的产品的概率；

（2）从A ，C 型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A 种型号的产品件数，求ξ

的分布列和数学期望． 解析：（1）从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为

501

50010=

，

所以A ，B ，C ，D 四种型号的产品分别取

1111

10010,20020,505,1501510101010′=′=′=′=，

即样品中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件． ……………3分

从50件产品中任取2件共有

2

50C 1225=种方法， 2件恰为同一产品的方法数为

22221020515C C C C 350+++=种， 所以2件恰好为不同型号的产品的概率为

3505

112257-=

． ………………6分

（2）35315C 2(0)91C P x ==， 12105315C C 20(1)91C P x ×==， 2

1105

3

15C C 45(2)91C P x ×==， 3

10315C 24

(3)91C P x ==

， ………………10分

所以ξ的分布列为

………………11分

204524

232919191E x =

+′+′=．

……12分 18．（本小题满分12分）

在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB//CD ，

2AD CD AB ==，

E 、

F 分别为PC 、CD 的中点．

（1）求证：CD ⊥平面BEF ；

（2）设PA kAB =，且二面角E BD C --的度数大于30°，求k 的取值范围．

P

19．（本小题满分13分） 已知公差不为0的等差数列

{}n a 的首项1a 为a （a R ?），设数列{}n a 的前n 项和为

n S ，

且11a ， 21a ，41a 成等比数列.

（1）求数列

{}n a 的通项公式及n S ；

（2）记1231111n n A S S S S =+++×××+，2112221111n n

B a a a a -=+++×××+，当2n 3时，试比

较

n A 与

n B 的大小．

（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由22

14111

(

),

a a a =×

得

2

111()(3)a d a a d +=+ 因为0d 1，所以d a =所以

1(1)

,.2n n an n a na S +==

（2）解：因为1211

(1n S a n n =-+，所以

123111121(1)1n n A S S S S a n =

++++=-+L

因为

1122n n a a

--=，所以

21122211()11111212(11212n n

n n

B a a a a a a --=++++=×=--L

当

0122,21n n

n n n n n C C C C n 3=++++>+L 时， 即

11

11,12n n -<-+

所以，当0,;n n a A B ><时

当

0,.n n a A B <>时

20． （本小题满分13分）

椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 的直线l 与椭圆相交

于A 、B 两点.

（1）如果点A 在圆

222

x y c +=（c 为椭圆的半焦距）上，且1||F A c =，求椭圆的离心率；

（2）若函

数log (01)m y x m m >1且的图象，无论m 为何值时恒过定点(,)b a ，求

22F A F B ×uuur uuur

的取值范围．

21．（本小题满分13分）

已知函数()2

112f x x

=

，()2ln f x a x =（其中0a >）．

（1）求函数

()()()

12f x f x f x =×的极值；

（2）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1

(,)

e e 内有两个零点，求a 的取值范围；

（3）求证：当0x >时，231ln 0

4x x x e +

->．（e 是自然对数的底数，e =2．71828…）．