动态数据建模

一、课程的主要内容

随机过程建模是以随机过程为模型的建模，包括静态数据建模和动态数据建模。时间序列是指有序的随机数据，实际上是离散的随机过程，也称为动态数据。时间序列的滤波、平滑、去噪、预报和控制的基础和前提是建模。建模是时间序列分析中的重要分支，由于客观现象存在的不确定性和获取观测数据时受条件与环境的制约，从数据到模型往往要经过多次反复探索，因而必须采取科学合理的建模过程，才能得到满意的结果。

动态系统是指其输入和输出数据都随着时间的推移而变化的系统。直接应用测量手段得到的动态观测数据，在线建立观测对象/系统的等价随机过程数学模型，进而为具体的应用对象研究服务，包括性能分析、特征提取、参数转换、行为预测及控制等。RDM是一门以数学理论为根本、算法为核心、计算机软硬件为工具的交叉学科，是DSP的一个分支。建模问题本质上是具有优化性质的系统辨识问题。其中模型参数估计的性能准则，实质上是误差准则。因此在模型探索优化过程中，计算量通常十分大，计算效率不高。

动态数据建模的主要内容包括采样数据的检验和预处理(非平稳趋势的检验、剔点处理、提取趋势项、随机数据的周期性检验)、平稳随机过程及其模型(白噪声、一阶、二阶、n阶自回归过程、滑动平均过程、自回归滑动平均过程)、时间域模型的估计（自协方差和自相关函数的估计、模型的相关矩估计、模型参数的最小二乘估计、模型阶数的确定）、周期图与加窗谱估计、极大熵谱估计、时间序列的预报、多变量实际序列以及一些特定

形式的模型。

二、基本应用原理与研究思路

1、了解信号来源和分析要求，了解信号特点，观测数据获取

观测数据时建模的基础。在获取观测数据时要努力减少来自观测手段造成的干扰，同时还要创造良好的环境条件，使建模对象在受观测时，建模者所关心的特性尽可能充分表现出来。

2、采样数据检验和预处理

系统建模时，要求输入输出数据的统计特性与统计时间的起点无关，且均值为0.实际中测量直接得到的数据是随机时间序列，必须进行平稳化预处理，去除或提取趋势项，把测量的数据变为0均值平稳过程。为了建立系统模型，需要对检测的输入输出数据进行滤波，去除数据中与系统本身无关的干扰分量。

3、模型结构初选

模型结构是指模型的类型和阶次。时间类型的模型类型通常有AR、MA、ARMA、ARX、MAX等。一般建模刚开始时，是凭建模者经验或凭建模对象特征的先验知识或按预定程序初选结构方案，然后在后续各步探索中进行修正。

4、时间域模型的估计

模型参数估计中常用有相关矩估计、最小二乘估计（LS）、误差预测估计法、辅助变量法（IV估计）等。模型阶数的确定可以采用：残差方差图、偏相关函数和模型、F检验、FPE,AIC,BIC 准则

5、模型检验与动态仿真

由给定的观测数据建立系统数学模型后，还需要进行检验，看模型是否适用，如果不适用，则要修改模型结构，重新进行参数估计等。

三、心得与建议

1、学习心得：

通过本课程的学习，我掌握了动态数据建模的基本方法，要点和思路，加深了对基本理论和概念的理解。了解了动态数据建模的过程，重点理解了参数模型法估计信号功率谱。典型的离散参数模型包括白噪声、一阶，二阶，n阶自回归过程、滑动平均过程、自回归滑动平均过程。AR、MA、ARMA是功率谱估计中最主要的参数模型，我重点理解了AR模型法用于功率谱估计。对于AR谱的平滑特性、分辨率及统计特性进行了系统的学习。学会了利用FPE和AIC进行AR模型阶次的选择。AR模型系数的求解算法有自相关算法、Burg算法等，将现代功率谱估计与经典功率谱估计进行比较，现代谱估计方法有效的改善了经典谱估计的分辨率和方差性能。与随机信号分析课程的一些理论相融合，加深了对随机过程建模理论的认识。

2、建议：

裴老师提供给了我们一种平等、轻松的上课氛围，上课时很多工程举都让我们受益匪浅。老师百忙之中抽出时间来给我们上课，非常感谢老师。我在学习动态数据建模时，由于之前没有这方面的基础，所以听的云里雾里，应该在课前看看书，至少做到心中有数。如果老师可以在上课时演示一些MATLAB例程，相信会让我们可以有更好的理解。

四、算例及结果分析

1、参数模型法的研究思路如下：

(1)假设所研究的过程x(n)是由一个输入序列u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。

(2)由已知的x(n),或者其自相关函数来估计H(z)的参数

(3)由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱

2、选取AR(2)模型：

x(n)=-0.3x(n-1)-0.5x(n-2)+ u(n)，u(n)是零均值正态白噪声，方差为4

(1)用MATLAB模拟产生x(n)的500观测点的样本函数，此AR过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，产生的AR随机序列如图1所示

图1 产生的AR随机序列

(2)画出系统理论的功率谱曲线

这个系统的传递函数为：

H(z)=1

1+0.3z+0.5Z 理论的功率谱为：

P X(w)=P w(w)|H(e jw)|2=4|H(e jw)|2

理论的功率谱曲线如图2所示

图2 理论的功率谱曲线

(3)在实际应用中，常常需要根据信号的有限个采样值来估计AR 模型的参数，应用较多的参数提取方法有解Yule-Walke方程法(自相关法)、Burg法、协方差法及改进的协方差法，MUSIC方法。以上方法都可以用由时间平均代替集合平均的最小平方准则推导得到。

Yule-Walker法功率谱估计，如图3所示

图3 Yule-Walker法功率谱估计（阶数50）

图4 Burg法功率谱估计（阶数50）

修正的协方差法功率谱估计，如图5所示

图5 修正的协方差法功率谱估计（阶数50）

图6 Music法功率谱估计（阶数：50）

3、结果分析：

(1)由以上对比可知，Yule-Walker法比Burg法的分辨率要低，采取修正协方差法可以进一步提高分辨率，增加AR模型的阶数也可以提高分辨率，在以上几种方法中，MUSIC法的分辨率最高

(2)AR模型是被研究最多并且获得广泛应用的一种模型，易反映谱中的峰值，是在最小平方意义上对数据的拟合。由于AR 模型是一个有理分式，因而估计出的谱要比经典法的谱平滑，分辨率有了比较好的提升，匹配性质比较好。

AR模型在谱估计中同样存在一些缺点，一些缺点和模型本身有关、一些则和采用的求解模型参数的方法有关。一个明显的缺点是AR谱的分辨率和求AR模型时所使用信号的信噪比SNR有着密切的关系。其二，如果x(n)是含有噪声的正弦信号，在应用时

发现，谱峰的位置易受到x(n)的初相位的影响。其三，谱估计的质量受到阶次P的影响，P选的过低，谱太平滑，反映不出谱峰，P选的过大，可能会产生虚假的峰值，当然，通过适当的选择阶次可以克服这一缺点

五、附录

MATLAB程序代码：

clear all;

b=[1];

a=[1 0.3 0.5];

randn('state',0);

w=normrnd(0,2,1,500);

x=filter(b,a,w);

plot(x,'r');

ylabel('x(n)');

title('产生的AR随机序列');

grid on;

delta=2*pi/1000;

w_min=0;

w_max=pi;

Fs=1000;

w=w_min:delta:w_max;

Gx=4*(abs(1./(1+0.3*exp(-i*w)+0.5*exp(-2*i*w))).^2);

Gx=Gx/max(Gx);

f=w*Fs/(2*pi);

figure(2);

plot(f,Gx,'b');

xlabel('f(HZ)');

ylabel('dB');

title('理论的功率谱曲线');

grid on;

order2=50;

nfft=512;

window=boxcar(length(x));

figure(3);

pyulear(x,order2,nfft,Fs);

grid on;

figure(4);

pburg(x,order2,nfft,Fs); grid on;

figure(5);

pmcov(x,order2,nfft,Fs); grid on;

figure(6);

pmusic(x,order2,nfft,Fs); grid on;