算法——图灵机

算法作业1

一、 说明什么是图灵机，给出确定型图灵机和非确定型图灵机的数学描述。

解答：

1.什么是图灵机

图灵机是一个结构简单而且计算能力很强的计算模型。一台多带图灵机是由一个有限状态控制器和和k条读写带（k≥1）组成的。这些读写带的右端无限，每条带都从左到右划分为方格，每个方格可以存放一个带符号。带符号的总数是有限的。每条带上都有一个由有限状态控制器操纵的读写头或称为带头，它可以对这k条带进行读写操作。有限状态控制器在某一时刻处于某种状态。且状态是有限的。右图为示意图。

根据有限状态控制器的当前状态及每个读写头读到的带符号，图灵机的一个计算步可实现下面3个操作之一或全部。（1）改变有限状态控制器中的状态。（2）消除当前读写头下的方格中原有带符号并写上新的带符号。（3）独立地将任何一个或所有读写头，向左移动一个方格（L）或向右移动一个方格（R）或停在当前单元不动（S）。

2.确定性图灵机的数学描述

k带确定性图灵机可以形式化地描述为一个7元组

（Q,T,I,δ,b,q,q），其中，

(1)Q是有限个状态的集合。

(2)T是有限个带符号的集合。

(3)I是输入符号的集合，IT。

(4) b是唯一的空白符，bT-I。

(5) q是初始状态。

(6) q是终止（或接受）状态。

(7) δ是移动函数。它是从Q×T的某一个子集映射到Q×（T×{L,R,S}）的函数。

这种图灵机中，因为移动函数δ是单值的，即对于Q×T中的每一个值，当它属于δ的定义域时，Q×（T×{L,R,S}）中只有唯一的一个值与之对应，所以称之为确定性图灵机，简记为DTM(Deterministic Turing Machine)。

对于某个包含一个状态及k个带符号的k+1元组，移动函数将给出一个新的状态和k个序偶，每个序偶由一个新的带符号及读写头的移动方向组成。形式上可表述为

δ（q，a，a，…，a）=δ（q’，(a’，d),(a',d),…，(a’,d)）当图灵机处于状态q且对一切 1≤i≤k，第i条带的读写头扫描着的当前方格中的符号正好是a时，图灵机就按这个移动函数所规定的内容进行工作：

（1） 将图灵机的当前状态q改为状态q’.

（2） 将第i条读写头下当前方格中的符号a清除并写上新的带符号a’, 1≤i≤k。

（3）按d指出的方向移动各带的读写头。这里d=L表示读写头左移一格，d=R表示读写头右移一格，d=S表示读写头不动。

3.非确定性图灵机的数学描述

一个k带的非确定性图灵机M也是一个7元组（Q,T,I,δ,b,q,q）。与确定性图灵机不同的是非确定性图灵机允许δ具有不确定性，即对于Q×T中的每一个值（q，x，x，…，x），当它属于δ的定义域时，

Q×（T×{L,R,S}）中只有唯一的一个子集δ（q，x，x，…，x）与之

对应。这个不确定的函数δ仍称为移动函数。

k带非确定性图灵机的瞬像与k带确定性图灵机的瞬像一样定义，它是一个k元组（q，α，α，…，α）。α是形如xqy的符号串。设非确定性图灵机M=（Q,T,I,δ,b,q,q）正处于状态q，且第i个读写头

（1≤i≤k）正扫描着第i条带上有符号x的方格。若有（r,( y,D ),…, ( y, D)）δ（q，x，x，…，x）, 则说表达（q，x，x，…，x）的瞬像（记为B）与表达（r,( y,D ),…,( y, D)）产生的瞬像（记为C）之间有关系

(M),记为B

（M）C（在不引起混淆时可略去（M））。

二、解释什么是P问题和NP问题

解答：

P问题和NP问题是两个重要的语言类，借助于图灵机来定义，定义如下：

P={L|L是一个能在多项式时间内被一台DTM所接受的语言}

NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}

由于一台确定性图灵机可看作是非确定性图灵机的特例，所以可在多项式时间内被确定性图灵机接受的语言也可在多项式时间内被非确定性图灵机接受，故PNP。

P问题和NP问题也可以用其他计算模型来定义。直观上可以认为P是在多项式时间内的可识别的语言类。而且在非确定性RAM或RASP计算模型下，NP语言类语言可定义为

NP={L|L是一个能在多项式时间内被一个非确定性RAM或RASP所接受的语言}。

三、什么是NP完全问题？什么是NP难解问题？试分析两者的关系。

解答：

如果一个NP完全问题能在多项式时间内得到解决，那么NP中的每一

个问题都可以在多项式时间内求解，即P=NP。

NP完全问题：如果有语言L同时满足 L属于N

则称语言L是NP完全的NP 难解题：如果语言L不一定属于NP,但满足

，则称该语言为NP难解问题。

关系：NP完全问题可在多项式时间内求解，NP难解问题需在指数函数内求解，而且难度较大。

四、是否能够求解NP 完全问题？如何求解？

解答：

NP完全问题目前没有多项式时间算法，但可以用以下几种策略近似求解。

(1)只对问题的特殊实类求解。（即：针对某种特殊情形求解。）

(2)用动态规划法或分支限界法求解。（解决许多NP完全问题的有效方法）

(3)用概率算法求解。（在平均情况下的高效算法）

(4)只求近似解。（在一定的误差范围内近似求解）

(5)用启发式方式求解。（其他方法不可奏效时用此法，但难说清其道理）