2017年高考文科数学全国卷3及答案解析

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷III )

文科数学

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出

的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1,2{},3,4A =,2,4{},6,8B =,则A B 中元素的个数为

( )

A .1

B .2

C .3

D .4 2.复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于

( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是

( )

A .月接待游客量逐月增加

B .年接待游客量逐年增加

C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D .各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更

小,变化比较平稳

4.已知4sin cos 3

αα-=,则sin2α=

( )

A .79

-

B .29-

C .29

D .79

5.设,x y 满足约束条件3260,

0,

0,x y x y +-?????

≤≥≥则z x y =-的取值范围是

( ) A .[]3,0-

B .[]3,2-

C .[0,2]

D .[0,3] 6.函数1ππ()sin()cos()5

3

6

f x x x =++-的最大值为

( ) A .65

B .1

C .35

D .15

7.函数2

sin 1x

y x x

=++的部分图象大致为

(

)

A

B

C D

8.执行如图所示的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 ( )

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

-----------------

此

------------------

卷------------------上

------------------答

------------------题

-------------------无

---------------效

------------

A .5

B .4

C .3

D .2

9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A .π

B .3π4

C .π2

D .π4

10.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则

( )

A .11A E DC ⊥

B .1A E BD ⊥

C .11A E BC ⊥

D .1A

E AC ⊥

11.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=＞＞的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线

段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为

( ) A

.

3

B

.

3

C

.

3

D .13

12.已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点,则a =

( ) A .12

-

B .13

C .12

D .1

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量(2,3)=-a ,(3,)m =b ,且⊥a b ,则m = . 14.双曲线

22

21(0)9

x y a a -=＞的一条渐近线方程为

35

y x =,则

a =

. 15.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知

60

C =

,b =

,3c =,则A = .

16.设函数

1,0,()2,0,x x x f x x +?=??

≤　＞则满足1

()()1

2f x f x +-＞的x 的取值范围

是 .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17.(12分)

设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.

(1)求{}n a 的通项公式；

(2)求数列{

}21

n

a n +的前n 项和. 18.(12分)

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过

300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值,并估计Y 大于零的概率. 19.(12分)

如图,四面体ABCD 中,ABC △是正三角形,AD CD =.

(1)证明：AC BD ⊥；

(2)已知ACD △是直角三角形,AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE EC ⊥,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.

20.(12分)

在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1),当m 变化时,解答下列问题： (1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；

(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.

21.(12分)

已知函数2ln )1((2)x ax f x a x =+++. (1)讨论()f x 的单调性； (2)当0a ＜时,证明3

()24f x a

--≤.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.[选修4―4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,

x t y kt =+??

=?

(t 为参数),直线2l 的参数方程为2,

x m m y k =-+?

??

=??

(m 为参数).设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .

(1)写出C 的普通方程；

(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l ：

(cos sin )0ρθθ+=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.

23.[选修4—5：不等式选讲](10分) 已知函数()|1||2|f x x x =+--. (1)求不等式()1f x ≥的解集；

(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空,求m 的取值范围.

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

-------------在

-----------------

此

------------------

卷------------------上

------------------答

------------------题

-------------------无

---------------效

------------

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3)

文科数学答案解析

一、选择题

1.【答案】B

【解析】A,B两集合中有两个公共元素2,4,故选B.

2.【答案】C 【解析】2

i(2i)2i i12i

z=-+=-+=--,故复平面内表示复数i(2i)

z=-+的点位于第三象限,故选C.

3.【答案】A

【解析】由折线图可知,各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势,故选A.

4.【答案】A

【解析】将4

sin cos

3

αα

-=的两边进行平方,得22

16

sin2sin cos cos

9

αααα

-+=,即7

sin2

9

α=-,故选A.

5.【答案】B

【解析】不等式组

3260,

0,

x y

x

y

+-

?

?

?

?

?

≤

≥

≥

表示得平面区域如图中阴影部分所

示,作出直线

l：y x=,平移直线0l,当直线z x y

=-过点(2,0)

A

时,z取得最大值2,当直线z x y

=-过点(0,3)

B时,z取得最小值3-,

所以z x y

=-

的取值范围是[3,2]

-,故选B.

6.【答案】A

【解析】因为ππππ

cos()cos[()]sin()

6323

x x x

-=+-=+,所以6π

()sin()

53

f x x

=+,于是()

f x的最大值为

6

5

,故选A.

7.【答案】D

【解析】易知函数2sin ()x

g x x x

=+

是奇函数,其函数图象关于原点对称,所以函数2sin 1x

y x x

=++的图象只需把()g x 的图象向上平移一个

单位长度,结合选项知选D . 8.【答案】D

【解析】当输入的正整数

N

是所给选项中最小的正整数2时

,

1

t =,100M =,

S =,则第一次循

环,0100100S =+=,100

1010

M =-

=-,2t =；第二次循环,1001090S =-=,10

110

M -=-=,3t =,此时2t ≤不成立,输出9091S =＜.故选D .

9.【答案】B

【解析】球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的1

2

,球的半径为1,则

圆柱底面圆的半

径

r =,故该圆柱的体

积

23π

π14

V =??=,故选B .

10.【答案】C

【解析】由正方体的性质得111A B BC ⊥,11B C BC ⊥,所以1BC ⊥平面11A B CD ,

又1A E ?平面11A B CD ,所以11A E BC ⊥,故选C . 11.【答案】A

【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)O ,半径为

a .由题意,圆心到直线20bx ay a

b -+=

的距离为

a

=,即

223a b =.又2

22213

b e a =-

=,

所以e ,故选A .

12.【答案】C

【解析】由211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得

2

21

(2)1

2

11

21

1

(2)(2)2(2)[(e

e

)]4442(e e

)2(e

e

)

x x x

x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++,所以(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 图象得对称轴.

由题意得()f x 有唯一零点,所以()f x 得零点只能为1x =,即

21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=,解得1

2

a =

.故选C . 二.填空题

13.【答案】2

【解析】因为⊥a b ,所以2330m =-?+=a b ,解得2m =. 14.【答案】5

【解析】因为双曲线22

21(0,0)9x y a b a -=＞＞的渐近线方程为b y x a

=±,所以

5a =.

15.【答案】°75

【解析】由正弦定理,得sin 6sin602

sin 2

b C B c

==

=,所以45B =或135,

因为b c ＜,所以B C ＜,故45B =,所以75A =. 16.【答案】1(,)4

-+∞

【解析】当0x ≤时,由113()()(1)(1)212

22

f x f x x x x +-=++-+=+＞,得

104x -＜≤；当1

2

x 0＜≤时,111()()2(1)21222x x f x f x x x +-=+-+=++＞

,即1202x x +-＞,因为01112200222x x +++-=＞＞,所以12x 0＜≤；当1

2

x ＞

时,1102

21()()222212x x f x f x -+-=+++＞＞,所以12x ＞.综上,x 得取值

范围是1

(,)4

-+∞.

三、解答题

17.【答案】解：(1)2

21

n a n =

-； (2)1111112 (1335212121)

n n

S n n n =-+-++-=-++.

【解析】(1)因为123(21)2n a a n a n ++

+-=,故当2n ≥时,

1213(23)2(1)n a a n a n -++

+-=-,

两式相减得(21)2n n a -=,

所以2

(2)21

n a n n =

-≥, 又由题设可得12a =, 从而{}n a 的通项公式为221

n a n =-. (2)记{

}21

n

a n +的前n 项和为n S , 由(1)知

211

21(21)(21)2121

n a n n n n n ==-

++--+. 则1111112 (1335212121)

n n

S n n n =-+-++

-=-++. 18.【答案】(1)0.6； (2)0.8.

【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高

气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为

21636

0.690

++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,

若最高气温不低于25,则64504450900Y =?-?=；

若最高气温位于区间[20,25),则63002(450300)4450300Y =?+--?=； 若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =?+--?=-； 所以,Y 的所有可能值为900,300,100-,

Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不

低于20的频率为

362574

0.890

+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.

19.【答案】解：(1)取AC 的中点O ,连结DO ,BO , 因为AD CD =,所以AC DO ⊥.

又由于ABC ?是正三角形,故BO AC ⊥. 从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥； (2)连结EO .

由(1)及题设知90ADC ∠=,所以DO AO =, 在Rt AOB ?中,222BO AO AB +=, 又AB BD =,所以

222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=.

由题设知AEC △为直角三角形,所以1

2EO AC =.

又ABC △是正三角形,且AB BD =,所以1

2

EO BD =.

故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离

的12

,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12

,即四面体

ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1. 【解析】(1)取AC 的中点O ,连结DO ,BO , 因为AD CD =,所以AC DO ⊥.

又由于ABC ?是正三角形,故BO AC ⊥. 从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥； (2)连结EO .

由(1)及题设知90ADC ∠=,所以DO AO =, 在Rt AOB ?中,222BO AO AB +=, 又AB BD =,所以

222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=.

由题设知AEC △为直角三角形,所以12

EO AC =. 又ABC △是正三角形,且AB BD =,所以12

EO BD =.

故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离

的12

,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12

,即四面体

ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1.

20.【答案】解：(1)不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下： 设1(,0)A x ,2(,0)B x ,则1x ,2x 满足220x mx +-=,所以122x x =-.

又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为1

2

1112

x x --?=-,

所以不能出现AC BC ⊥的情况. (2)BC 的中点坐标为21

(

,)22

x ,可得BC 的中垂线方程为221

()22

x y x x -=-.

由(1)可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2

m

x =-.

联立22

,21()22m x x y x x ?=-????-=-??

又22220x mx +-=,可得,2

1.2m x y ?=-????=-??

所以过A ,B ,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22

m --,

半径r ,

故圆在y

轴上截得的弦长为3=,即过

A ,

B ,

C 三点的圆在

y 轴上截得的弦长为定值.

【解析】(1)不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下： 设1(,0)A x ,2(,0)B x ,则1x ,2x 满足220x mx +-=,所以122x x =-.

又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为1

2

1112

x x --?=-,

所以不能出现AC BC ⊥的情况. (2)BC 的中点坐标为21

(

,)22

x ,可得BC 的中垂线方程为221

()22

x y x x -=-. 由(1)可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2

m

x =-.

联立22

,21()22m x x y x x ?=-????-=-??

又22220x mx +-=,可得,2

1.2m x y ?=-????=-??

所以过A ,B ,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22

m --,

半径r ,

故圆在y

轴上截得的弦长为3=,即过

A ,

B ,

C 三点的圆在

y 轴上截得的弦长为定值.

21.【答案】解：(1)

()f x 的定义域

为

(0,)+∞,1(1)(21)

()221x ax f x ax a x x

++'=+++=.

若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '＞,故()f x 在(0,)+∞单调递增.

若0a ＜,则当1

(0,)2x a

∈-时,()0f x '＞；当1(,)2x a ∈-+∞时,()0f x '＜.

故()f x 在1(0,)2a -

单调递增,在1

(,)2a

-+∞单调递减. (2)由(1)知,当0a <时,()f x 在1

2x a

=-取得最大值,最大值为

111()ln()1224f a a a

-=---. 所以3()24f x a --≤等价于113ln()12244a a a -----≤,即11

ln()1022a a

-++≤,

设()ln 1g x x x =-+,则1

()1g x x

'=-,

当(0,1)x ∈时,()0g x '＞；当(1,)x ∈+∞时,()0g x '＜.

所以()g x 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减. 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g =. 所以当0x ＞时,()0g x ≤.

从而当0a ＜时,11ln()1022a a -

++≤,即3

()24f x a

--≤. 【解析】(1)()f x 的定义域为

(0+∞,1(1)(21)

()221x ax f x ax a x x

++'=+++=.

若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '＞,故()f x 在(0,)+∞单调递增.

若0a ＜,则当1

(0,)2x a

∈-时,()0f x '＞；当1(,)2x a ∈-+∞时,()0f x '＜.

故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1

(,)2a

-+∞单调递减.

(2)由(1)知,当0a <时,()f x 在1

2x a

=-取得最大值,最大值为

111()ln()1224f a a a

-=---. 所以3()24f x a --≤等价于113ln()12244a a a -----≤,即11

ln()1022a a

-++≤,

设()ln 1g x x x =-+,则1

()1g x x

'=-,

当(0,1)x ∈时,()0g x '＞；当(1,)x ∈+∞时,()0g x '＜.

所以()g x 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减.

故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g =. 所以当0x ＞时,()0g x ≤.

从而当0a ＜时,11ln()1022a a -

++≤,即3

()24f x a

--≤. 22.【答案】解：(1)消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参

数m t 得2l 的普通方程21

:(2)l y x k

=+.

设(,)P x y ,由题设得(2),

1(2).y k x y x k =-???

=+??

消去k 得224(0)x y y -=≠, 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠；

(2)C 的极坐标方程为222(cos sin )4(02π,π)ρθθθθ-=≠＜＜.

联立222(cos sin )4,(cos sin )0

ρθθρθθ?-=??+??得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+. 故1

tan 3θ=-,从而29cos 10θ=

,21sin 10

θ=. 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M

【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2

l 的普通方程21:(2)l y x k

=+.

设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-???

=+??

消去k 得224(0)x y y -=≠, 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠；

(2)C 的极坐标方程为222(cos sin )4(02π,π)ρθθθθ-=≠＜＜.

联立222(cos sin )4,(cos sin )0

ρθθρθθ?-=??+??得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+. 故1

tan 3θ=-,从而29cos 10θ=

,21sin 10

θ=. 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M

23.【答案】解：(1)

3,1,

()21,12,3,2,x f x x x x --??

=--???

＜≤≤ ＞

当1x -＜时,()1f x ≥无解；

当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤； 当2x ＞时,由()1f x ≥解得2x ＞. 所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥.

(2)由2()f x x x m -+≥得2|1||2|m x x x x +---+≤,而

22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+++--+≤2

3

5(||)2

4x =--+

54

≤, 且当32x =时,25|1||2|4

x x x x +---+=, 故m 的取值范围为5(,]4

-∞. 【解析】(1)

3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --??

=--???

＜≤≤ ＞

当1x -＜时,()1f x ≥无解；

当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤； 当2x ＞时,由()1f x ≥解得2x ＞. 所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥.

(2)由2()f x x x m -+≥得2|1||2|m x x x x +---+≤,而

2

2

|1||2|||1||2||

x x x x x x x x +---+++--+≤235(||)24x =--+5

4

≤, 且当3

2

x =时,25|1||2|4x x x x +---+=,

故m 的取值范围为5

(,]4

-∞.