【教师版】小学奥数5-3-3 质数与合数(三).专项练习及答案解析

1.

掌握质数与合数的定义 2.

能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.

能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用

一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

二、判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

模块一、质数合数综合 【例 1】 写出10个连续自然数，它们个个都是合数．

【考点】质数合数综合 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，

91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就

行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在

这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．

【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123

例题精讲

知识点拨

知识框架

5-3-3.质数与合数（三）

【例2】老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．

【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答

【解析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2

m+，m+3，，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3，，11的公倍数，这10个连续整数

就一定都是合数．设m为2，3，4，，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，

m+4，，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10

个数都是合数．所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，

3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，

411的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11

++++ (其中n！=1?2?3??n)这10个连续合数来．同样，

(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1是m个连续的合数．那么200个连续的自然数

可以是：201!2,201!3,,201!201

+++

【答案】201!2,201!3,,201!201

+++

【例3】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数是。

【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级

【解析】四个质数乘积2357

???＝210；200到220的质数，因为210＝2357

???，所以

±，2108

±，2107

±，21010

±

±，2109

±，2106

2102

±，2105

±，2103

±，2104

都是合数，所以只需要判断2101

±中谁是质数即可，209和211中211是质数。【答案】积为210，质数是211

【例4】有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．

【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答

【解析】略

【答案】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、

6、7、8整除，就是说它们都不是质数．有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻

质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)

这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表

示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．

【例5】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？

【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答

【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界线”。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8，它们的和是18,

则比18小的数一定都是智康数，而比18大的数中，我们可以分为与18的差是“奇

数”或者是“偶数”。如果与18的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可

以写作4+6+(8+2n),如果与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也

不是一个智康数，所以最大的智康数为17。

【答案】17

【例6】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？

A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）

【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空

【解析】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这

两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该

是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。大部分

的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。

【答案】A的最小值为29

【例7】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答

【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。从2开始数的

13个质数分别是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么这

个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的

和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只

要都是一个大于2的偶数即可满足条件。答案为47

【答案】47

【例8】求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？

【考点】质数合数综合【难度】4星【题型】解答

【解析】考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4?合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4?(2?n)＋合数即8n+合

数(其中n＞1即可)

当该数被8整除时，该数可表示为4?(2n)+8 ，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示

当该数被8除余1时，该数可表示为4?(2n)+9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1都可表示

当该数被8除余2时，该数可表示为4?(2n)+10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示

当该数被8除余3时，该数可表示为4?(2n)+27，n＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示

当该数被8除余4时，该数可表示为4?(2n)+4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示

当该数被8除余5时，该数可表示为4?(2n)+21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示

当该数被8除余6时，该数可表示为4?(2n)+6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示

当该数被8除余7时，该数可表示为4?(2n)+15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示

综上所述，不能表示的最大的数是43835

-=

经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35。

【答案】35

模块二、互质

【例 9】 将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数

都互质，则至少需要将这些数分成____组。

【考点】互质 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，决赛，第5题，10分

【解析】 先将所有数都分解质因数得：

14=2×7

20=2×2×5

33=3×11

117=3×3×13

143=11×13

175=5×5×7

注意到33，117，143两两都不互质，所以至少应该分成3组，同样14，20，175也必须分为3组，互相配合就行。

【答案】3组

【例 10】 把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最

大公约数是1，那么至少要分几组.

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能

实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组.

【答案】3

【例 11】 把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘

积相等。

【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】

34025=?，244211=?，24553=?，26373=?，65513=?，782313=??，299311=?，105357=??，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有40，第二组含有44，78，再看11,13，第一组应有40，99，65，再看5第二组应有44，78，45，105，最后看7，第一组应有40，99，65，63．

【答案】40，99，65，63

【例 12】 已知三个合数A ，B ，C 两两互质，且A ×B ×C =11011×28，那么A +B +C 的最大值

为

【考点】互质 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，决赛，第6题，10分

【解析】 分解质因式：A ×B ×C =11011×28=11×1001×28=222271113???，由于A ，B ，C

两两互质，并且A +B +C 要最大，则让数尽量的大，则最大为：4、49、1573，则A +B +C 的最大值为1626。

【答案】1626