高中数学选修2-1优质学案8：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

教材新知

知识点一空间向量基本定理 提出问题

如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，在AB ，AD ，AD 1上分别取单位向量e 1，e 2，e 3.

问题1：e 1，e 2，e 3共面吗？

问题2：试用e 1，e 2，e 3表示AB 1―→.

问题3：若M 为A 1B 1的中点，能否用e 1，e 1，e 3表示AM ―→

？ 导入新知

空间向量基本定理

如果三个向量a ，b ，c ，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .

其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个，a ，b ，c 都叫做． 化解疑难

1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．

2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.

3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．

知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示

提出问题

{a ，b ，c }是空间的一个基底，{e 1，e 2，e 3}是空间的单位正交基底． 问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？

问题2：任一向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则数组(x ，y ，z )是唯一的吗？

问题3：单位正交基底之间的数量积e 1·e 2，e 1·e 3，e 2·e 3，e 1·e 1，e 2·e 2，e 3·e 3分别为多少？ 导入新知

空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底：

三个有公共起点O 的的单位向量e 1，e 2，e 3称为． (2)空间直角坐标系：

以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz . (3)空间向量的坐标表示：

对于空间任意一个向量p ，一定可以把它，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP ―→

＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，即点P 的坐标为． 化解疑难

空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e 1，e 2，e 3}，b ＝λe 1＋μe 2＋k e 3，则b 的坐标为(λ，μ，k ). 常考题型

题型一空间向量基本定理的理解

例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ―→＝e 1＋2e 2－e 3，OB ―→＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ―→

＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ―→，OB ―→，OC ―→

}能否作为空间的一个基底． 类题通法

判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，

首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 活学活用

设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }， ②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }， ④{x ，y ，a ＋b ＋c }．

其中可以作为空间的基底的向量组有______个． 题型二空间向量基本定理的应用

例2 如图，四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ―→＝a ，OC ―→＝b ，OP ―→＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF ―→，BE ―→，AE ―→，EF ―→.

类题通法

用基底表示向量时：

(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；

(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 活学活用

如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．

(1) BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋z AA ′―→； (2)AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋z AA ′―→.

题型三空间向量的坐标表示

例3 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量MN ―→

的坐标．

类题通法

用坐标表示空间向量的方法步骤为

活学活用

在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π

2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在

如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→

的坐标．

随堂即时演练

1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c

D ．c ，a ＋c ，a －c

2.如图，在四面体OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→

＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN ―→

＝( )

A.12a －23b ＋12c

B.－23a ＋12b ＋12c

C.12a ＋12b －23

c D.23a ＋23b －12

c 3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别为________________．

4．如图所示，点M 是OA 的中点，以{OA ―→，OC ―→，OD ―→}为基底的向量DM ―→＝x OA ―→＋y OC

―→

＋z OD ―→

，则(x ，y ，z )＝________.

5．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB ―→，AD ―→，AA 1―→

}为基底，求下列向量的坐标：

(1)AE ―→，AG ―→，AF ―→； (2)EF ―→，EG ―→，DG ―→.

——★ 参 考 答 案 ★——

教材新知

知识点一空间向量基本定理 提出问题

问题1：提示：不共面．

问题2：提示：AB 1―→

＝4e 1＋4e 2＋4e 3. 问题3：提示：能，AM ―→

＝4e 1＋2e 2＋4e 3. 导入新知 不共面基底基向量

知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示 提出问题

问题1：提示：一定． 问题2：提示：是．

问题3：提示：e 1，e 2，e 3是两两垂直的单位向量，故有e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 1·e 3＝0，e 1·e 1＝e 2·e 2＝e 3·e 3＝1. 导入新知

(1)两两垂直单位正交基底 (3)平移x ，y ，z (x ，y ，z ) 常考题型

题型一空间向量基本定理的理解

例1 解：假设OA ―→，OB ―→，OC ―→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→

成立．

∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)． ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴????

?

－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，

此方程组无解，

即不存在实数x ，y ，使OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→

成立． ∴OA ―→，OB ―→，OC ―→

不共面．

故{OA ―→，OB ―→，OC ―→

}能作为空间的一个基底． 活学活用 [答案]3

[解析]如图，所设a ＝AB ―→，b ＝AA 1―→，c ＝AD ―→，则x ＝AB 1―→，y ＝AD 1―→，z ＝AC ―→

，a ＋b ＋c ＝

AC 1―→

.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．

题型二空间向量基本定理的应用 例2 解：连接BO ，

则BF ―→＝12BP ―→＝12(BO ―→＋OP ―→)＝1

2(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ，

BE ―→＝BC ―→＋CE ―→

＝－a ＋12CP ―→

＝－a ＋12(CO ―→＋OP ―→

)

＝－a －12b ＋1

2c ，

AE ―→＝AP ―→＋PE ―→

＝AO ―→＋OP ―→＋12(PO ―→＋OC ―→)

＝－a ＋c ＋1

2(－c ＋b )

＝－a ＋12b ＋1

2c ，

EF ―→＝12CB ―→＝12OA ―→＝1

2a .

活学活用

解：(1)∵BD ′―→＝BD ―→＋DD ′―→＝BA ―→＋BC ―→＋DD ′―→ ＝－AB ―→＋AD ―→＋AA ′―→， 又BD ′―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋z AA ′―→， ∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.

(2)∵AE ―→＝AA ′―→＋A ′E ――→＝AA ′―→＋12A ′C ′――→

＝AA ′―→＋12

(A ′B ′――→＋A ′D ′――→)

＝AA ′―→＋12A ′B ′――→＋12A ′D ′――→

＝12AD ―→＋12AB ―→＋AA ′―→

， 又AE ―→＝x AD ―→＋y AB ―→＋z AA ′―→， ∴x ＝12，y ＝1

2，z ＝1.

题型三空间向量的坐标表示 例3 解：∵P A ＝AB ＝AD ＝1， P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，

∴AB ―→，AD ―→，AP ―→

是两两垂直的单位向量．

设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→

＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→

＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→

＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(P A ―→＋AC ―→)

＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(P A ―→＋AB ―→＋AD ―→)

＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋1

2e 3， ∴MN ―→

＝???

?0，12，12. 法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O .则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ，

∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→

，

ON ―→＝12AP ―→

，

∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→

＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→

＝????0，12，12. 活学活用

解：∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→

) ＝－[OO 1―→＋12(OA ―→＋OB ―→)]

＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→

＝－4e 3－12×4e 1－1

2×2e 2

＝－2e 1－e 2－4e 3， ∴DO ―→

＝(－2，－1，－4)．

∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→

＝2e 2－4e 1－4e 3， ∴A 1B ―→

＝(－4,2，－4). 随堂即时演练 1．[答案]C

[解析]对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基底；同理可判断B ，D 错误． 2.[答案]B

[解析]连接ON (图略)，MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝1

2(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b

＋1

2

c . 3．[答案](2，－4,5)，(1,2，－3)

[解析]由空间向量坐标概念知a ＝(2，－4,5)，b ＝(1,2，－3)． 4．[答案]???

?1

2，0，－1 [解析]∵DM ―→＝DO ―→＋OM ―→＝－OD ―→＋12OA ―→

，

又∵DM ―→＝x OA ―→＋y OC ―→＋z OD ―→ ∴x ＝1

2

，y ＝0，z ＝－1.

5．解：(1)AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→＝AD ―→＋12AA 1―→

＝????0，1，12， AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋12

AD ―→＝????

1，12，0，

AF ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1F ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12

AB ―→＝????1

2，1，1. (2)EF ―→＝AF ―→－AE ―→＝????AA 1―→＋AD ―→＋12 AB ―→→ －????AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12AA 1―→＋12AB ―→＝

????12

，0，12，

EG ―→＝AG ―→－AE ―→＝????AB ―→＋12 AD ―→ －AD ―→＋12AA 1―→＝AB ―→－12AD ―→－12AA 1―→＝??

??1，－12，－12， DG ―→＝AG ―→－AD ―→＝AB ―→＋12AD ―→－AD ―→＝AB ―→－12

AD ―→＝??

??1，－12，0.