新人教版九年级上册数学期末复习资料知识点归纳

二次根式

知识点1

a ≥0）叫做二次根式． 1、 下列各式 ①－

12+m ②38- ③1-x

④5 ⑤π 是二次根式的是 2、x 为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义

知识点 2．最简二次根式

同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 1、下列式子中是最简的二次根式的是：

①

2

8y

②

③a ④7.1⑤34

⑥3

7

2

2、（1

,求自然数n 的值是

n 的最小值是

知识点3．同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 1

、若a

a =

b =

2

x =

知识点4．二次根式的性质

2

=a （a ≥0）

0(0)a ≥≥

│a │=(0)

0(0)(0)a a a a a >??=??-

；

1、化简x x -+-11= ______．

2、若a <0

，化简3______.a -

3、要使1

21

3-+

-x x 有意义，则x 的取值范围是

4、若,x y 为实数，

且20x ++=，则

2010()x y +的值为___________．

5

2n =-，求n 的取值范围

知识点5．分母有理化及有理化因式

把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积

不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．

1

、已知：2a =

2b =a b

b a

-的值 2

、a b ==

则a b

知识点6．二次根式的运算

a ≥0，

b ≥0）

；

=

b ≥0，a>0）． 1

、÷

、2

3

、 4、)12

1

31(12-÷

一元二次方程

知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是整式方程

（2）只有一个未知数——（一元）

（3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程

1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2

-2x=1；③x+3=

1x

；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2

-1．一元二次方程的个数是 .

2、若方程kx 2+x=3x 2

+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程0512

2=+-+-x k x

k 是一元二

次方程，则k 的取值范围是_________．

4、若方程（m-1）x |m|+1

-2x=4是一元二次方程，则m=______．

知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式

20 (0)ax bx c a ++=≠，

2ax 是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b

为一次项系数，c 为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式

1、说明代数式2

241x x --总大于2

24x x --

2

、已知1a a +

=求1

a a

-的值.

3、若x 2

+mx+9是一个完全平方式，则m= ，

若x 2+6x+m 2

是一个完全平方式，则m 的值是 。若942++kx x 是完全平方式，则k = 。 知识点4．整体运算

1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2

+9x+12的值为

2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解

1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2

=0的一个根是x=-1，则k=_ __．

2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程 。

知识点6．方程的解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次 1、直接开方解法方程

2(6)30x -+= 21

(3)22

x -=

2、用配方法解方程

2210x x +-= 2430x x -+=

3、用公式法解方程

03722=+-x x 210x x --=

4、用因式分解法解方程

3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+

5、用十字相乘法解方程

2900x x --= 22100x x +-=

知识点7．一元二次方程根的判别式：2

b 4a

c ?=- 1、 关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x .

求证：方程有两个不相等的实数根

2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

3、关于x 的方程()0212

=++-m mx x m 有实数根，

则m 的取值范围是

知识点8．韦达定理 1212,b c x x x x a a

+=-=(a ≠0, Δ=b 2

-4ac ≥0)

使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件0?≥

1、 已知方程2

5x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它

的另一个根及m 的值。

2、 已知2

2x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于

系数的关系求下列各式的值

12

11x x + 22

12

x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x -

3、已知关于x 的一元二次方程x 2

－（m+2）x+

14

m 2

－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12

+x 22

=18，求m 的值．

知识点9．一元二次方程与实际问题

1、 病毒传播问题

2、 树干问题

3、 握手问题（单循环问题）

4、 贺卡问题（双循环问题）

5、 围栏问题

6、 几何图形（道路、做水箱）

7、 增长率、折旧、降价率问题

8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、 数字问题 10、折扣问题

旋转

知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度

1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D ′的形状是 。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度

知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；

1、如图，9030AOB B ∠=∠=°

，°，A OB ''△可以看作是由AOB △绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上。（1）求旋转角大小；

（2）判断OB 与A B ''的位置关系，并说明理由。

A O

B

A '

B '

2、将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是多少？

3、如图，在△ABC 中,

70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△/

/

C AB 的位置, 使得

AB CC ///, 求/

BAB ∠ 的度数。

4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 、F 分别在边AB 和BC 上，DCM ?是由ADE ? 逆时针旋转得到的图形。

（1）旋转中心是点__________；

（2）旋转角是________度，EDM ∠=_________度； （2）若45EDF ∠=?，求证EDF MDF ??≌.并求此时BEF ?的周长.

5、△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，AP ＝3.（1）求△APQ 的面积；（2）判断BQ 与CQ 的位置关系，并说明理由。

6、如图，将正方形ABCD 中的△ABD 绕对称中心O 旋转

至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．

7、如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上 两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接 EF ，证明①△AED ≌△AEF ②222BE DC DE +=

8、如图（1），点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． （1）求∠AEB 的大小； （2）如图（2），ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠)，求∠AEB 的大小.

B '

图

6

知识点3．旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋

转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫

做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

1、如图，五角星的顶点是一个正五

边形的五个顶点．这个五角星可以

由一个基本图形（图中的阴影部分）

绕中心O至少经过____________次

旋转而得到，每一次旋转_______

度．

2、如图，点O是正六边形ABCDEF的

中心，问此正六边形绕正六边形的中

心O旋转___ ___度能与自身重

合。

3、如图的图形旋转一定角度后能与自

身重合,则旋转的角度可能是__

知识点4．中心对称和中心对称图形

1、如图，下列4个数字有（）个是中心对称

图形．

A．1 B．2 C．3 D．4

2.下列图形中不是中心对称图形的是（）

A、①③

B、②④

C、②③

D、①④

知识点5．作图

1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关

于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标

2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交

点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）

1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）

(1)作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；

写出A1 ，B1，C1点坐标；

(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90o后得到△A3B3C3，

画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标

2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．

（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；

（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图

形，请写出这个整体图形的对称轴有条；

这个整体图形至少旋转度与自身重合

知识点6．旋转割补法

如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD，AE⊥BC

于E，若线段AE=5，求

ABCD

S

四边形

（提示：将四边形

ABCD割补为正方形）

知识点7．关于原点对称

填空：⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′

（，）；⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关

于的对称。⑶C（－4，－2）关于y轴的对称

点为C′（，）；⑷点D（5，0）关于原点的对

称点为D′（，）。

圆

【考点1】和圆有关的概念

（1）等弦对等圆心角（）

（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（）

（3）等弧对等弦( ) （4）等弦对等弧（）

（5）等弧对等圆心角（）(6)直径是圆的对称轴（）

【考点2】垂径定理及其推论

E

D

B

A

B

A

如果一条直线满足

(1)过圆心（2）垂直弦（3）平分弦(4)平分弧（优

弧和劣弧）（5）平分圆心角

知之其中两个条件可以推出三个（知二求三）特别：

当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。

(1)平分弦的直径垂直于弦. （）

(2) 垂直于弦的直径平分弦. （）

1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，

EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

2、如图，⊙O 中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，

OE=OF，(1)求证：AB＝CD (2) 如果AB>CD，则

OE OF

3．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶

部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C为

圆心，CA为半径画圆交AB于点D，求AD的长

【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：

（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包

括圆心角和圆周角）

1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，

MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．求证：AM=BN

（连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等

弧）

2、如图15，AB、CD是⊙O的直径，DE、BF是弦，且

DE=BF,求证：∠D=∠B。

3．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且

OP=PC，求证：⌒

AD=3

⌒

CB(连接OC、OD，外角，

圆心角证弧)

4．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂

足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF BF

=；

（2）若2

AD=，⊙O的半径为3，求BC的长．

F

【考点4】：直径所对的圆90°

1.已知△ABC 中，AB=AC ，AB 为⊙O 的直径，BC 交⊙O 于D ，求证：点D 为BC 中点

【考点5】知识点(4)圆内接四边形对角互补 1、如图，AB 、AC 与⊙O 相切 于点B 、C ，∠A=40o，

点P 是圆上异的一动点，则∠BPC 的度数是 【考点6】外接圆与内切圆相关概念

三角形的外心是 三边垂直平分线 的交点，它到 三个顶点 的距离相等；

三角形的内心是 三个内角平分线 的交点，它到 三边 的距离相等

1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是

2、如图，已知⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。

3、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D 、E 、F ，若∠B=50°, ∠C=60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，则∠EDF 等于

【考点6】与圆有关的位置关系 画圆与圆位置关系的数轴

【考点7】切线的性质

切线性质定理：圆的切线垂直于 过切点 的半径

4、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 。

【考点8】切线的证明（两种方法）

1、 已知圆上一点 “连半径，证垂直”

2、 没告诉圆与直线有交点 “作垂直，证半径”。 1、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。

2、如图，AB=AC ，OB=OC ，AB 切⊙O 于D ， 证明⊙O 与AC 相切

【考点9】切线长定理

切线长相等，平分切线所成的夹角。

1、如图5，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，

BAC

∠=（1）求P ∠的度数；

（2）若2BC cm =，求PB 的长。

3、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是一条弦，连结OC 并延长OC 至P 点，并使PC=BC ，

∠BOC = 60o (1)求证：PB 是⊙O 的切线。

(2)若⊙O 的半径长为1，且AB 、PB 的长是一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根，求b 、c 的值。

4、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 相切于点A 、B ，是点C 劣弧AB 上任一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E 若PA=10，求△PDE 的周长

5、如图（1）所示，直线34

3

+-=x y 与x 轴相交于

点A ，与y 轴相交于点B ，点C （m ，n ）是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F 。所示，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r 。

【考点10】正多边形的计算

1、 正n 边形的每内角= n

n 0

180)2(?-

2、 正n 边形的中心角=

n

360

3、 正n 边形的外角=n

360

4、 边心距r 、半径R 、边长a 之间的关系：

222)2

(a

r R +=

5、 正n 边形的周长C=na

6、 正n 边形的面积S=nCr/2

1、如图，正五边形ABCDE 的顶点都 在⊙O 上，P 是CD ?

上一点，

则∠BPC=____________

2、如图，小明在操场上从点O 出发，沿直线前进5米后向左转045，再沿直线前进5米后，又向左转

045，……照这样走下去，他第一次回到出发地O 点

时，一共走了___ __米。

3、求半径为6的正六边形的中心角度数 .周长和面积。

4已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，尺规作图: (1)作出⊙O 1的内接正三角形; (2)作出⊙O 2的内接正四边形; (3)作出⊙O 3的内接正六边形