探究基本不等式及其几何意义

——探究基本不等式及其几何意义

□童雁

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）第三章3.4《基本不等式》。根据任教的学生的实际情况，将《基本不等式》划分为两节课（探究基本不等式及其几何意义，基本不等式及其应用），这是第一节课“探究基本不等式及其几何意义”。基本不等式是不等式中的重要不等式，应用它不仅可以证明不等式，同时在生活及生产实际中对于部分函数的最值的求法是一个有力的工具，所以对基本不等式的探究很重要。

二、学情分析

基本不等式是在学生学习了不等式的基本性质的基础上，对不等式性质及证明的应用。教材一开始就以中国古代数学家赵爽的弦图为背景，力图探究基本不等式与其几何意义。同时教材通过例1、例2已经让学生感受到基本不等式的实际背景与应用，但这两个例子匆忙放在第一节来处理，显然会冲淡对基本不等式的结构和几何意义的探究。因此，本节主要从培养学生数形结合的思想为出发点，设计了一系列基本不等式（链）的问题，通过代数与几何作图方法，使学生感受不等式结构中蕴含的数形结合的美。

三、设计思想

1.通过具有一定思考价值的问题情境，提升学生持久的好奇心。使学生直接感受和体会平均数的实际意义；

2.教材对两个基本不等式各给出一种几何解释。本节课，力图让学生从不同的角度去探究基本不等式，让学生体会到基本不等式不仅是一个简单的式子，而且具有丰富的几何意义。

3.感受数学文化的影响并体会这种数形结合的研究方法,以便能将其迁移到其它不等式与数学知识的研究中去。

4.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

5.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四、教学目标

新课程高中数学教材(必修5)中，对基本不等式的教学提出了“探索并了解基本不等式的证明过程”。根据学生的实际情况，本节课确定的教学目标是：通过类比，从图象和代数结构这两种不同角度探究基本不等式的证明过程，加深对基本不等式的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生感受数学文化的影响，进一步培养探究数学问题的兴趣；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：基本不等式链的代数证明与几何意义的阐释。

教学难点：对基本不等式链的几何意义的阐释。

六、教学过程：

创设情景、提出问题

师：用一个两臂长短略有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就是物品的重量了.你觉得这种做法对吗？若不是，那比实际重量轻了还是重了？

学情预设：（学生可能会说出以下可能）

1.实际重量应该在a,b之间；

2.实际重量可能是■

3.好像有问题，不会那么简单，但不知怎么说；

4.想到物理中的杠杆原理，但不知怎么说明；

5.利用物理中的杠杆原理，推出实际重量是■。

可以请答对的学生到台上给大家讲讲。

若无人答对，教师讲授如下：

解：设物品的实际重量是G，天平的两臂长分别为l1,l2，由杠杆原理有：l1G=，l2a,l1b=l2G,两式相除得G=■（a>0,b>0）。

故物品的实际重量应该是■。

师：一般地，对于非负实数a、b，我们称■为a、b的算术平均数，■为a、b 的几何平均数，二者之间的大小关系如何呢？大家可以再猜一猜。

（设计意图）

设计这样一个具有一定思考价值的问题情境，提升学生学习新知的兴趣和欲望，使学生直接感受和体会平均数的实际意义和研究价值。

师生互动、探究新知

1.■≤■的探求：

学情预设：（学生可能会说出以下可能）

（1）用两个数字代入检验可以知道■<■；

（2）用两个相等的数字代入检验可以知道■=■；

（3）用a=0,b=-4代入检验可以发现■>■符合a、b是非负实数的条件吗?）（4）预习的学生可以给出不等式的证明。

2.■≤■的证明：

师：根据大家的讨论，对于非负实数a、b，通过实验，我们发现这样一种关系：■≤■，即: 两个非负实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。我们能继续给出严格的证明吗？为探究证明方法，先让我们观察以下图形：

（1）以下图1是我国古代数学家赵爽证明定理时所用过的“勾股方圆图”，是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（希望通过这个实例引起学生的兴趣与讨论）

图1

图2

（2）师生：将图1中的“风车”抽象成图2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，设其两直角边长为a、b(a≠b)，由面积的几何意义得到一个不等式a2+b2>2ab。

那么何时等号成立呢?(学生不难看出)

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点.这时有a2+b2=2ab：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab。当且仅当a=b时等号成立。（时间允许的话，可以引导学生在正方形中折出一个内接正方形。利用图形可以给出勾股定理的两种证法。让学生回到折纸游戏中来，体会游戏与数学的奇妙性。）

（3）师：你还能从以下的图形中发现什么结论?(试图拓展学生对类似问题的几何构思与联想)

学情预设：在教师的引导下一些学生会发现和说出以下不等式成立的几何意义，为此请学生作答。

a2+b2≥2ab

■+■≥ab

(a+b)2≥4ab

（4）师：以上一些不等式的几何意义我们已经找到，能用代数方法给出a2+b2≥2ab的证明吗?

学情预设：

①对于(a-b)2≥0?圳a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立)，学生不难证明。

②若a>0，b>0，用■，■代替a，b可得?圳■≤■（a>0,b>0）a+b≥2■这种换元的方法学生也不难证明。

师：看来通过证明a2+b2≥2ab，以换元的方法即可推出■≤■

（设计意图）

将学生引入不等式成立的几何世界中，让学生不只是关注不等式成立的代数结构，而是希望学生以数形结合的观点与思维，全面理解和感受数学的魅力。3．进一步探求不等式■≤■的几何意义

师：前面对于不等式a2+b2≥2ab，我们可以构造几何图形说明其意义。那么我们能否也构造不等式■≤■的几何背景呢？

如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，且AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能用这个图形得出不等式■≤■的几何解释吗?

图3

学情预设：

在直径为a与b的和所对应的外接圆中，学生不难看出半径不小于半弦，这恰恰说明不等式■≤■的几何意义。当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立。

师生总结：

不等式■≤■的代数意义：

（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；

（2）如果把■看做是两正数a、b的等差中项,■看做是两正数a、b的等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 不等式■≤■的几何意义：

半径不小于半弦。

设计意图：

用对应的手法，将不等式■≤■中包含的代数结构（等差中项与等比中项）与其几何意义交织起来，使学生认识数形结合的本质意义。

4．不等式链■≤■≤■≤■的进一步探求

师：有人认为不等式链■≤■≤■≤■成立，你认为对吗？含有几个不等式？学情预设：（学生能将不等式链分成以下几部分）

（1）■≤■

（2）■≤■

（3）■≤■

师：同学们能分别给出代数证明吗？

学情预设：

（1）对于（2）前面已经证明；

（2）学生在讨论的前提下，可以由以下途径证明不等式■≤■：

2■≤a+b?圳■≤1?圳■·■≤■?圳■≤1?圳■≤■

（3）学生在讨论的前提下，可以由以下途径证明不等式：■≤■2ab≤a2+b2?圳a2+b2+2ab≤2a2+2b2?圳(a+b)2≤2a2+2b2?圳■≤■?圳■≤■

5．不等式链■≤■≤■≤■的几何解释：

师：在半径不小于半弦的几何背景下，我们还能继续探求不等式链的几何意义吗？

学情预设：对此问题难度较大，学生不一定能够想到几何图形的构造…

图4

师:如图4所示,过C作OD的垂线段交OD于E,则

OC=■-b=■

MC=■=■

那么DE=■=■=■

由图形的直观可以得到:DE

所以■≤■≤■≤■

（设计意图）

为了提升学生的探究能力，有意识的在半径不小于半弦的几何图形中，穷追不舍，进一步挖掘不等式链■≤■≤■≤■的几何意义，进行一个全方位的研究，力图使学生产生数形结合的思维惯性。更重要的是让学生体会到对数学的研究方法,做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。达到深入理解和欣赏数学的目的。

6.思考问题：

（1）如图5，构造直角三角形ABC,使BC=■,AC=■，再以BC=■为斜边，CD=■为直角边构造直角三角形BCD.延长CD，使得CD=CD,在三角形BCD中，过D作边BC的垂