三相逆变器的建模

1

三相逆变器的建模

1.1 逆变器主电路拓扑与数学模型

三相全桥逆变器结构简单，采用器件少，并且容易实现控制，故选择三相三线两电平全桥逆变器作为主电路拓扑，如图 1所示。

图 1三相三线两电平全桥逆变拓扑

图 1中V dc 为直流输入电压；C dc 为直流侧输入电容；Q 1-Q 6为三个桥臂的开关管；L fj (j =a ,

b ,

c )为滤波电感；C

fj (j =a ,b ,c )为滤波电容，三相滤波电容采用星形接法；N 为滤波电容中点；L cj (j =a ,b ,c )是为确保逆变器输出呈感性阻抗而外接的连线电感；v oj (j =a ,b ,c )为逆变器的滤波电容端电压即输出电压；i Lj (j =a ,b ,c )为三相滤波电感电流，i oj (j =a ,b ,c )为逆变器的输出电流。

由分析可知，三相三线全桥逆变器在三相静止坐标系abc 下，分析系统的任意状态量如输出电压v oj (j =a ,b ,c )都需要分别对abc 三相的三个交流分量v oa 、v ob 、v oc 进行分析。但在三相对称系统中，三个交流分量只有两个是相互独立的。为了减少变量的个数，引用电机控制中的Clark 变换到三相逆变器系统中，可以实现三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换，即将abc 坐标系下的三个交流分量转变成αβ坐标系下的两个交流分量。由自动控制原理可以知道，当采用PI 控制器时，对交流量的控制始终是有静差的，但PI 控制器对直流量的调节是没有静差的。为了使逆变器获得无静差调节，引入电机控制中的Park 变换，将两相静止坐标系转换成两相旋转坐标系，即将αβ坐标系下的两个交流分量转变成dq 坐标系下的两个直流分量。

定义αβ坐标系下的α轴与abc 三相静止坐标系下的A 轴重合，可以得到Clark 变换矩阵为：

11122230Clark

T ?

?--??

?

=??? (1)

两相静止坐标系αβ到两相旋转坐标系dq 的变换为Park 变换，矩阵为：

2

cos()sin()sin()cos()Park t t T t t ωωωω??=??-??

(2)

对三相全桥逆变器而言，设三相静止坐标系下的三个交流分量为：

cos()cos(2/3)cos(2/3)

a m

b m

c m u U t u U t u U t ωωπωπ==-=+ (3)

经过Clark 和Park 后，可以得到：

d m q u U u == (4)

由式(3)和式 (4)可以看出，三相对称的交流量经过上述Clark 和Park 变换后可以得到在 d 轴和 q 轴上的直流量，对此直流量进行 PI 控制，可以取得无静差的控制效果。

1.1.1 在abc 静止坐标系下的数学模型

首先考虑并网情况下，微电网储能逆变器的模型。选取滤波电感电流为状态变量，列写方程：

000a a a la b f b b lb c c lc c di dt u u i di L u u r i dt u u i di dt ??

??

????

????????????=--????????????????????????

????

（5）

其中，f L 为滤波电感，r 为滤波电感寄生电阻，系统中三相滤波电感取值相同。 在abc 三相静止坐标系中，三个状态变量有两个变量独立变量，需要对两个个变量进行分析控制，但是其控制量为交流量，所以其控制较复杂。

1.1.2 在αβ两相静止坐标系下的数学模型

由于在三相三线对称系统中，三个变量中只有两个变量是完全独立的，可以应用Clark 变换将三相静止坐标系中的变量变换到αβ两相静止坐标系下，如图 2所示。

A

图 2 Clark 变换矢量图

3

定义αβ坐标系中α轴与abc 坐标系中a 轴重合，根据等幅变换可以得到三相abc 坐标系到两相αβ坐标系的变换矩阵：

12

12120

3a b c u u u u u αβ??--??????

=??????????

????

（6）

联立式（5）与式（6），可以得到微电网储能逆变器在αβ坐标系下的数学模型：

00f di u u i dt L r u u i di dt α

αααββββ??

??????????=--??????????????????

（7）

从式（7）可以看出，与三相静止坐标系下模型相比，减少了一个控制变量，而各变量仍然为交流量，控制器的设计依然比较复杂。

1.1.3 在dq 同步旋转坐标系下的数学模型

根据终值定理，PI 控制器无法无静差跟踪正弦给定，所以为了获得正弦量的无静差跟踪，可以通过Clark 和Park 变换转换到dq 坐标系下进行控制。dq 两相旋转坐标系相对于αβ两相静止坐标系以ω的角速度逆时针旋转，其坐标系间的夹角为θ，图 3给出了Park 变换矢量图。

图 3 Park 变换矢量图

Park 变换矩阵方程为：

cos sin sin cos d q u u t t u u t t αβωωωω??????=??????-?

????? （8）

联立式（7）和式（8）可得微电网储能逆变器在dq 坐标系下的数学模型：

00d

f d d f q d q

f q q f d q di L u u L i ri dt

di L u u L i ri dt

ωω?=-+-????=---??

（9）

在两相旋转坐标系下电路中控制变量为直流量，采用PI 控制能消除稳态误差，大大简化了系统控制器的设计。但是，由于dq 轴变量之间存在耦合量，其控制需要采用解耦控制，解耦控

4

制方法将在下节介绍。

1.1.4 解耦控制

从式（9）可以看出，dq 轴之间存在耦合，需要加入解耦控制。令逆变器电压控制矢量的d 轴和q 轴分量为：

d gd q d

q

gq d q v u Li v v u Li v ωω=+-????

=--??? （10）

其中d v ?，q v ?分别是d 轴和q 轴电流环的输出，当电流环采用PI 调节器，满足：

**()()()()

ii d ip d d ii q ip q q K v K i i s

K v K i i s ??=+-???

??=+-??

（11）

ip K ，ii K 分别是电流PI 调节器的比例系数和积分系数，*d i ，*

q i 分别为d 轴和q 轴的参考

电流，d i ，q i 分别为d 轴和q 轴的实际电流采样。

把公式（10）代入公式（9）可得：

d

d d q q q

di L ri v dt

di L ri v

dt

?=-+????

?=-+??? （12）

由式（12）可以看出，由于在控制矢量中引入了电流反馈，抵消了系统实际模型中的耦合电流量，两轴电流已经实现独立控制。同时控制中引入电网电压前馈量gd u 和gq u ，提高了系统对电网电压的动态响应。图 4是电流解耦控制框图。解耦方法为在各轴电流PI 调节器输出中加入其他轴的解耦分量，解耦分量大小与本轴被控对象实际产生的耦合量大小一致，方向相反

[1]

。

5

图 4 电流解耦控制图

对公式（12）进行拉普拉斯变换，同时把公式（11）代入公式（12）可得：

()()()()()()

ii d ip d d ii q ip q q

k Ls r i k i i s

k Ls r i k i i s **?

+=+-???

?+=+-??

（13） 在采用解耦控制之后，d 轴电流和q 轴电流分别控制。图 5给出电流内环的结构框图。

*

图 5 电流内环结构框图

其中，s T 为电感电流采样周期，ip K 和ii K 对应电流环的PI 参数，1/(10.5)s T s +代表PWM 控制产生的惯性环节[2]，1/(1)s T s +代表电流采样的延迟[3]。PWM K 为调制比，由于本文空间矢量调制(Space Vector Pulse Width Modulation, SVPWM)，调制过程中引入了直流电压的前馈环节，所以PWM K 可以表示为：

1PWM K =

(14)

本系统开关频率和器件参数为：1/1/15kHz=66.7us s s T f ==， 1.5mH L =，0.1R =Ω，

50uF C =。

由于d 轴和q 轴电流环完全对称，所以本文只分析d 轴电流环的设计过程。由于合并小惯性环节并不会影响系统低频特性，可以将错误！未找到引用源。化简，得到图 6。

图 6 d 轴电流环简化结构框图

6

1.2 电压电流双环设计

1.2.1 电流环设计

由上述分析可知，在环路设计时可以对d 轴电流和q 轴电流分别进行控制[4]，从而可以得到如图 7所示的电流环控制框图。

图 7 电流环控制框图

其中， K ip 和K ii 对应电流环的PI 参数，T s 为电流内环采样周期，1/(1+T s s )和1/(1+0.5T s s )分别代替电流环信号采样的延迟和PWM 控制的小惯性延时环节[5]。

本文设计的系统参数如下：L =1.5mH ，R =0.1Ω，C =50μF ，T s =1/f s =1/15k Hz=66.7μs 。由于d 轴与q 轴的电流环类似，故以d 轴电流环为例进行分析。

补偿前电流环的开环传递函数为：

0()(1.51)()

PWM

c s K G s T s R Ls =

++

(15)

补偿网络的传递函数为：

1()ip ii

K s K H s s

+=

(16)

直流增益20lg|G c 0(s)|=20dB ；幅频特性的转折频率为100Hz ，设定补偿后的穿越频率为1/10的开关频率，即1500Hz 。则有：

011(21500)(21500)

c G j H j ππ?=

?

(17)

若加入补偿网络后，系统回路的开环增益曲线以-20dB/dec 斜率通过0dB 线，变换器具有较好的相位裕量。由于补偿前的传递函数在中频段的斜率已经为-20dB/dec ，因此补偿网络在1500Hz 时斜率为零。将PI 调节器的零点设计在原传递函数的主导极点转折频率处，即100Hz 处。

令：

ip ii

K L

K R

= (18)

联立式(17)及式(18)可得电流环的PI 参数：K ip =18，K ii =1200。实际取值：K ip =10，K ii =1200。

7

频率/Hz

图 8 电流环补偿前后的波特图

图 8所示为电流环补偿前后的波特图。可以看出，补偿前电流环的开环传递函数G c 0(s )在低频段的增益为20dB ，并且在100Hz 时穿越0dB 线，相位裕度为75°；加入补偿环节后，电流环的闭环传递函数G il (s )其幅频特性曲线在1000Hz 处以-20dB/dec 斜率通过0dB 线，相位裕度为60°。

补偿之后回路的开环传递函数为：

()()(1.51)()

PWM ip ii s K K s K G s s T s R Ls +=

++

(19)

因此，补偿之后电流环的闭环传递函数为：

2()

(1.51)()()

1

()() 1.51()

11(1.51)()PWM ip ii s il PWM ip ii s ip PWM

ip PWM s K K s K s T s R Ls G s G s K K s K LT L

G s s s K K K K s T s R Ls +++=

=

=

+++++

++ (20)

1.2.2 电压环设计

电压外环主要是保证输出电压的稳态精度，动态响应相对较慢。设计电压外环时，可以将电流内环看成一个环节，其控制框图如图 9所示。

补偿前系统的开环传递函数为：

01

()C s ()(1)

v il s G s G s T s =

??+

(21)

8

图 9 电压环控制框图

PI 调节器的传递函数为：

2()vp vi

K s K H s s

+=

(22)

将电压环的穿越频率设计在150Hz 左右。由于G v 0(s )的幅频特性在150Hz 处的斜率为-20dB/dec ，因此需要设计PI 调节器的零点在小于200Hz 处，文中取为150Hz 。同理参照电流环设计方法，可以得到：

021

(2150)(2150)

v G j H j ππ=

(23)

并且

1

2150

vp vi

K K π=?

(24)

根据式(23)和式(24)，得出电压环的PI 参数为：K vp =20，K vi =0.06。画出初始的传递函数、补偿网络及补偿后系统的开环传递函数Bode 图如图 10所示。

由图 10可以看出，补偿前原始回路增益函数G v 0(s)在2k Hz 时穿越0dB 线；加入补偿网络之后，由图 10可知，幅频特性在150Hz 处以-20dB/dec 斜率通过0dB 线，相位裕度为55°。

在实际调试过程中，PI 参数进行了适当的调整，使系统能够得到最优化。

频率/Hz

图 10 电压环补偿前后的波特图

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