一种确定含参函数零点区间端点的新方法

一种确定含参函数零点区间端点的新方法

摘要 本文讨论了函数的零点问题.以近几年的高考题为例，通过构造不定方程并求其一组解，可以确定含参单调函数零点所在的区间端点.

关键词 零点；单调函数；不定方程 1 问题提出

近几年来，含参函数的零点问题在高考题中常常出现，并且一般出现在压轴题的位置.如2015年高考新课标卷Ⅰ文科第21题，命题组给出的标准答案如下：

引例1 （2015年高考新课标卷Ⅰ文科第21题（节选））已知函数()2ln x f x e a x =-，讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数.

解 ()f x 的定义域为()0,+∞，()22x

a

f x e x

'=-.当0a ≤时，()0f x '>，()f x '没有零点；当0a >时，因为2x

e 单调递增，a

x

-单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增.又()0f a '>，当b 满足04a b <<且1

4

b <时，()0f b '<，故当0a >时，()f x '存在唯一零点.

特别在所给的“答案”中，区间端点b 是怎么来的，为什么要满足04a b <<

且1

4

b <，就像“魔术师帽子里跑出来的兔子”让人摸不着头脑.显然，在规范答题时利用零点定理找到相应的区间端点是束缚学生解题的一个瓶颈.笔者翻阅了一些文献如文[]1-2，查其究竟，大多是利用放缩，把超越函数转化为可解的多项式函数，但是有时候放缩可能会比题目本身

都困难，学生也难以把握.

笔者发现一种新的方法通过构造不定方程，若能给出其一组特殊解，就可以确定零点所在区间端点或者其中一侧端点的取值，仅供大家参考.由于本文主要研究利用零点存在性定理处理问题，故默认所研究的函数均是连续函数. 2 思路来源

引例2 求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数[]3.

这是人教A 版必修一第三章“函数的应用”第一节“函数与方程”中的一个例题.由于该函数是单调递增的，故零点至多有一个.该函数的零点问题本质上方程ln 260x x +-=的解，若把该方程看作如下的不定二元方程12ln 260x x +-=，求出一组解1x a =，2x b =，满足a b ≠且(),0,a b ∈+∞.如令11x =，23x =，则不难发现()()130f f <.笔者猜想满足上述条件的情况下，函数的零点0x 必在,a b 之间.原因如下：

不妨令a b <，并且ln 260a b +-=.由于函数()ln x x ?=和函数()26x x ψ=-都是增函数，故()()ln 2620f a a a a b =+-=-<，()ln 26ln ln 0f b b b b a =+-=->.由此可得()0,x a b ∈.

因此，笔者发现有如下命题：

结论 1 函数()()()F x x x ?ψ=+是单调增函数，且满足()(),x x ?ψ均为单调递增函数，()()120x x ?ψ+=，12x x ≠，则()F x 必有一个零点0x ，且0x 在12,x x 之间.

证明 当12x x <时，由于

()()21x x ψ?=-且()x ?单调递增，则

()()()()()222210

F x x x x x ?ψ??=+=->；

同

理

，

()()()()()111210F x x x x x ?ψψψ=+=-+<.故知()F x 必有一个零点0x ，且0x 在

12,x x 之间.

注 该命题中单调增函数都变为单调减函数，结论依然成立. 引例1的解析 由于当0a >时，因为2x

e 单调递增，a

x

-单调递增，符合上述条件，因此可以构造方程1

22

20x a

e

x -

=.由于该方程的解()12,0,x x ∈+∞，于是选取10x >，故22a x >，故不妨令23a x =，则113

ln 22x =.由于不能确定12,x x 大小，不妨令13max ,ln 322a M ??>????，13min ,ln 322a m ??

，则()0f M '>，()0f m '<，故当0a >时，

()f x '存在唯一零点.

事实上，()22a x n n =>即可，故可得到不同的解11ln 22

n

x =.不难发现当4n =时，可得24a x =

，111ln 224x =>，此时令1min ,44a b ??

，必有()0f b <，这与命题组给出的答案04a b <<

且1

4

b <是殊途同归. 事实上，利用零点存在性定理处理零点问题时，许多场合，函数会在零点附近是单调的.

因此，如果函数能表示成两个单调函数之和时，利用结论1很容易找到零点所在区间的端点. 3 推而广之

3.1 单调函数可变形为两个单调函数之和 我们遇到一些单调函数，虽然不能表示成两个单调函数之和，但是经过变形仍可以转化为两个单调函数之和，如2016年高考全国新课标Ⅰ卷文科第21题： 例1 已知函数()()()2

21x

f x x e a x =-+-有两个零点.

（1）求a 的取值范围；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

解析 这里仅考虑0a >的情形.由于()()()21x f x e a

x '=+-，故()f x 在区间

(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞单调递增.故()()min 10f x f e ==-<.当1x <时，由于

()f x 与()()

2

2

1x x a F x e x -=

+

-符号相同且有相同的零点.令()()

22

1x x x ?-=-，()x

a x e ψ=.不难发现，()x ?和()x ψ在区间(),1-∞上都是单调递减函数.令()()120x x ?ψ+=且

()12,,1x x ∈-∞.不妨令20x =，则()120x a ?+=解得1x =

或者

1x =.则当min m ??

时，()0F m >即()0f m >，

故可得()f x 在(),1-∞有且只有一个零点.当1x >时，()20f a =>，故()f x 在区间

()1,+∞有且只有一个零点.因此，可得当0a >时，该函数有两个零点.

3.2 单调函数可变形为一个单调函数与一个函数之和

事实上，很多单调函数未必可以表示为两个单调函数之和或者不容易变形为两个单调函数之和，如函数()sin f x x x =+.虽然该函数是单调增函数，也能构造成不定方程

12sin 0x x +=，也可以给出一解如112x =

，()226

x k k Z π

π=-+∈或()2726

x k k Z π

π=

+∈，但是这不能保证在1x 与2x 之间有一个零点的.因此，结论1还有很多的局限.

对于很多含参函数问题来说，比如例1函数的极值可以判定正负，故零点所在区间端点有一端可以取极值点.但是另外一个端点不好确定.若能找到另一个端点函数值的正负，问题也能得到解决.笔者发现有如下命题：

结论2 设函数()()()F x x x ?ψ=+，()()120x x ?ψ+=，则当21x x >时， （1）若()x ψ是单调递增函数，则()10F x <；若()x ψ是单调递减函数，则()10F x >； （2）若()x ?是单调递增函数，则()20F x >；若()x ?是单调递减函数，则()20F x <. 证明 （1）由于

()()12x x ?ψ=-，当()x ψ是单调递增函数时，则

()()()()()111120F x x x x x ?ψψψ=+=-<；当()x ψ是单调递减函数时，则()()()1120F x x x ψψ=->；同理可得（2）也成立.

注 当12x x >时，也有类似的结论，在此不作赘述.这些不等式为我们提供了一个可以

判断函数在某点正负的一个依据.

笔者尝试利用这个结果解决2017年全国数学高考新课标Ⅰ卷理科第21题，如下：

例2 （2017年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）已知函数()()22x x f x ae a e x =+--.（1）略；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

解析

限于篇幅，这里仅讨论

01a <<情况.由于

()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，不难得到()f x 在区间()ln ,a -+∞上

单调递增；在区间(),ln a -∞-上单调递减，且ln x a =-为其极小值点.进一步得到

()1

ln 1ln 0f a a a

-=-

+<. 当ln x a >-时，令()()()f x x x ?ψ=+，其中()()22x

x x ae

a e ?=+-，()x x ψ=-.

易知()x ψ单调递减函数.若()()120x x ?ψ+=，满足()12,ln ,x x a ∈-+∞，故不妨令

14ln

ln x a a =>-，则284x a =+.下面说明21x x >，即()()84

4ln 0,1a a a +>∈.令()844ln p x x x =+-，由于()22188

0x p x x x x

-'=-=<，所以()p x 在()0,1上递减.又因为

()10p >，所以任意()0,1x ∈，()0p x >，故()()84

4ln ln 0,1a a a a

+>>-∈.由于函数

()f x 在区间()ln ,a -+∞是单调递增函数，故当4

ln m a

>，有()0f m >成立.故可得到

()f x 在区间()ln ,a -+∞上有且只有一个零点.当ln x a <-时，()0220f a =-<，

()

()22

1210e a e e f e

+-+-=

>，且()f x 为单调递减函数，所以()f x 在区间()1,0-有且

只有一个零点.综上可得当01a <<时，函数()f x 有两个不同的零点.

注 若对该题解析所给的不定方程，不难也可给出另外一组解12

ln x a

=，22x =，这组解不符合结论2的条件即不满足()12,ln ,x x a ∈-+∞.虽然有12

ln

ln x a a

=>-，但是()()2ln 0,1a a >-∈不一定成立，故此解不能作为我们判断正负的依据.经过计算也不难发

现：由于()()2

2

2221f e

e

a e ?

?=+- ???，2ln 2ln 2ln f

a a ??

=-+ ???

不能确定其在()0,1a ∈上的正负.因此，在所在单调区间内找到符合条件的解是解决该问题的关键. 4 反思

由于含参函数零点问题一直是高考考查的热点问题，对于零点所在区间端点的选取一直

是学生难以跨越的鸿沟.文[]1中用到的放缩法是要以学生熟悉泰勒公式为基础，这超出了高中学生的范围，并且对于放缩时“度”的选取还是比较难以把握的.而本文的想法是从函数本身入手，构造出相应的不定方程，只要找到一组适合题意的解至少可以确定零点所在区间的一个端点.从上面的讨论来看，也是通用通法.事实上，这也是困扰笔者多年的一个问题，总希望找到一个让学生能够解决问题的抓手，让他们觉得零点端点的选取不再那么突兀.

在平时的教学或者学习中，难免会对很多问题的解决有自己的想法，而又转瞬即逝，要是能把这些想法仔细的琢磨，会有“在你找到第一个蘑菇时，继续观察，你就能发现一堆蘑菇”（波利亚语）.同时，格奥尔格·康托尔说过“数学的本质在于自由”，寻找问题不同的解决方案，每个人总会有不同的见解，所谓的仁者见仁智者见智.因此，我们要做个“有心人”，并且对这些想法之上进行火热的思考，必定会有所收获！