物理竞赛中数学知识

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物理竞赛中的数学知识一、重要函数

1．指数函数

2．三角函数

y=sinx y

y=cosx

y

3 7 3 7

-5

-

21-5

--21

2 2 2

4x-4-7-32 2 32

-4-7-3-2-3

-o 253 -2-3o

25 4x 2 2 -12 2 2 2 -12 2

y

y=tanx

3 - o 3 x

-2-2 2 2

3．反三角函数

反正弦Arcsinx ，反余弦 Arccosx，反正切Arctanx ，反余切 Arccotx 这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

二、数列、极限

1．数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项??排在第n位的数称为这个数列的第n项。

数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，?，an，a（n+1），?

简记为｛an｝，

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公

式就叫做这个数列的通项公式。

2．等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公

差，公差通常用字母 d表示。

通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和S n a1a n

nna1

n(n1)

d

2 2

等比数列：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公

比，公比通常用字母 q表示。

通项公式a=aq (n，前n项和S n a1a n qa1(1q n) (q1)

-

1)

n1

1 q 1q .....

.

所有项和S n

a1

(q1) 1 q

3． 求和符号

4．数列的极限：

设数列a n ,当项数n 无限增大时,若通项a n 无限接近某个常数 A,则称数列 a n 收敛

于A,或称A 为数列 a n 的极限,记作lima n A n

否则称数列 a n 发散或lima n 不存在. n

三、函数的极限：在自变量 x 的某变化过程中，对应的函数值 f (

x )无限接近于常

数 ， A

则称常数A 是函数f(x)当自变量x 在该变化过程中的极限。

设f(x)在x>a(a>0)有定义,对任意>0,总存在X>0,当x>X 时，恒有|

f(x) A|< ，则

称常数A 是函数f(x)当x +时的极限。记为 lim f ( x )=

A ，或f ( ) ( + ) 。

x x Ax

运算法则

lim[f(x) g(x)]= limf(x) limg(x)

xx 0 xx 0

xx 0 lim[f(x) g(x)]

= limf(x) limg(x) xx 0 xx 0 xx 0

f(x) limf(x)

lim xx 0

，其中limg(x)0. xx

0g(x) limg(x)

xx 0

x x 0

四、无穷小量与无穷大量

1．若limf(x)0，则称f(x)是x x0时的无穷小量。

xx0

.....

.

（若lim (),则称f (x)是

x x0

时的无穷大量）。

xx0

gx

或：若lim (x)=0,则称(x)当x x0时为无穷小。

x x0

在自变量某变化过程中，|f(x)|无限增大，则称f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。

记为limf(x).

2．无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3．无穷小量的运算性质

（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。

（i i）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。

（i ii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。

4．无穷小的比较

定义：设lim (x)=0，lim (x)=0，

x 0 x 0

1)若lim(x)=0，则称当xx0时(x)是比(x)高阶无穷小。

x0(x)

2)若lim (x)=，则称当xx0时(x)是比(x)低阶无穷小。

x0(x)

3)若lim (x)

，则称当x x 时(x)与

(x)是同阶无穷

小，=C(C0)

x0(x)

4)若lim (x)

则称当x x 时(x)与

(x)是等价无穷

小。

=1,

x0(x)

5．常用的等价无穷小为：

当x0时：sinxx，tanxx，arcsin xx，arctan xx，1cosx 1 x2，n1 x1 1 x。

2 n

等价无穷小可代换

五、二项式定理

1．阶乘：n!=1×2×3×??×n

2．组合数：从m个不同元素中取出n（n≤m）个元素的所有组合的个数，叫做从m 个不同元素中取出n个元素的组合数

3．二项式定理.....

.

即

六、常用三角函数公式 sin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos α

tan sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝—sin α

tan

（π＋α）＝tan α

（π/2＋α）＝－cot α

sin(A B) sinAcosB cosAsinB sin(A B) sinAcosB cosAsinB

cos(A B) cosAcosB sinAsinB cos(A B) cosAcosB

sinAsinB

sin2A 2sinAcosA

cos2Acos 2

Asin 2

A 1 2sin 2

A 2cos 2

A1 tan2A 2tanA

1 tan 2

A

sin A

1 cosA

cos A

1 cosA

tan A

1 cosA

1 sinA

2 2 2 2

2 1 cosA cosA

和差化积公式

sina sinb 2sin a b a b

sina sinb a b a b

2 cos 2cos 2 sin 2 2

cosa cosb a b a b

cosa cosb a b a b

2cos 2

cos 2sin sin

2 2 2 tana tanb sin a b

cosacosb 积化和差公式

sinasinb 1

cosa bcosa b

cosacosb

1 cosab cosa

b

2

2

sinacosb 1

a b sin a b cosasinb 1

sina b sin a b sin 2 2 万能公式

2tan a

1 tan 2

a 2tan a

sina

2

cosa 2

tana

2 1tan 2a

1 tan 2

a 1 tan 2a

2

2

2

.....

.

典型物理问题

数列极限等应用

1．蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离L1=1m的A点处时，速度是V1=2cm/s。试问蚂蚁继续由A点到距巢中心L2=2m的B点需要多长时间？

2．

m1m2a

2

a1

m3 a3

常见近似处理

1．人在岸上以v0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？

2．如图所示，顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与 A接触，法线 n与OA之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆 AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)

.....

.

3．三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点A,B,C出发，速率都是v，运动方向始终保持着 A朝着B,B朝着C,C朝着A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？

4．如图所示，半径为R2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R1与R2应满足什么条件?

5.一只狐狸以不变的速度1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.

.....

.

解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬

2

做匀速率曲线运动，根据向心加速度 a 2,r为猎犬所在处的曲

r

率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬

在D处的加速度大小，由于2大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.

猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一

段

很短的时间

t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半

径为R，则加速度2

a

2

R

其方向与速度方向垂直，如

图14—1—甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分

别到达

F与D，猎犬的速度方向转过的角度为 2 t/R

而狐狸跑过的距离是： 1 t≈L 因而2t/R≈1t/L，R=L2/ 1

2

所以猎犬的加速度大小

为 a 2=12/L

R

6．如图所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速

率绕中心轴O在光滑水平面上匀

速转动时，绳中的张力为多大？

解析取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心

角很小

时，有近似关系式sin.

若取绳圈上很短的一小段绳AB=L为研究对象，设这段绳所对应

的圆心角

为，这段绳两端所受的张力分别为T A和T B（方向见图14 —3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，

所以T A

和T B

的大小相等，均等于

. T A

和

T

T B在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心

力，设这段绳子的质量为m，根据牛顿第二定律

有：2Tsin m 2R；

2

因为L段很短，它所对应的圆心角很小所以sin

2 2

将此近似关系和m R

m m

代入上式得绳中的张力为T

2R 2 m 2R

2

.....

.

7．在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球

从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好

等于小球从顶点 A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所

需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆

弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.

在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑

轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有

极小圆弧（作用同上），轨道均从 A点出发到 C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试

求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到 C点所经时间的上限与下限之比值.

解析直角三角形 AB、BC、CA三边的长分别记为

l1、l2、l3，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间

记为T1，再从B到C的时间为T2，而从A直接沿斜边到 C

所经历的时间记为 T3，由题意知T1T2T3，可得l1：l2：l3=3：4：5，

由此能得T1与T2的关系.

因为l11gT12l1gT1T2

2

所以l1 T1

l22T2

因为l1：l2=3：4，所以T22T1

3

小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为t1T1，经各水平段所需时间之和记为 t2，则从A到C所经时间总和为t T1t2，最短的t2对应t的

下限t

min，最长的t2对应t的上限t max.

小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重合）时t2最短，其值即为T2，故

5

t min=T1T2

T1.

3

t2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降

小量l1，便接一段水平小量l2，这两个小量之间恒有l2l1cot，角即为∠ACB，

水平段到达斜边边界

后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示

的微齿形轨道，由于l1、l2均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所

.....

.

经的时间小量t1(i)与t2(i)之间有如下关联：

t2(i)l2

cot

t1(i)l1

于是作为t2(i)之和的t2上限与作为t1(i)之和的T1之比也为cot .故t2的上限必为

T1 cot

，即得：t max T

1T1cot

7

T1.

3

这样tmax:tmin=7:5

求导与微分

一、导数的概念

1．导数定义

设y=f(x)在x0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x,函数值有一相应改变量y f(x0x) f(x0),若极限

lim y lim f(x0x)f(x0)

x 0 x x0 x

存在,则称此极限值为函

数y=f(x)在x0点的导数,此时称y=f(x)在x0点可导,用

f(x0)或y ,或dy

,或

df(x)

表示. dyxx dx

xx0x0xx0

若y f(x)在集合D内处处可导（这时称f(x)在D内可导）,则对任意x0D,相应的导数f(x0)将随x0的变化而变化,因此它是x的函数,称其为y=f(x) 的导函数, 记作

f(x)或y,或dy,或df(x) .

dx dx

2．导数的几何意义

若函数f(x)在点x0处可导,则f(x0)就是曲线y=f(x)在点（x0,y0）处切线的斜率,此时

切线方程为 y y0f(x0)(x x0).

当f(x0)=0,曲线y=f(x) 在点（x0,y0）处的切线平行于x 轴,切线方程为

y y0f(x0).

若f(x)在点x0处连续,又当x x0时f(x) ,此时曲线 y=f(x)在点（x0,y0）处的

.....

.

切线垂直于 x轴,切线方程为x=x0.

1．几个基本初等函数的导数

⑴c0⑵x x 1 ⑶sinxcosx⑷cosx sinx

2．导数的四则运算

（1）[cu(x)] cu(x)；

（2）[u(x) v(x)] u(x)v(x)；

（3）[u(x) v(x)] u(x) v(x)u(x)v(x)；

（4）u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)

v(x) v2(x)

二、微分

1．微分的概念

设y f(x)在x0的某邻域内有定义,若在其中给x0一改变量x,相应的函数值的改变量y可以表示为

y f(x0x)f(x0)Ax0(x) (x 0).

其中A与x无关,则称f(x)在x0点可微,且称A x为f(x)在x0点的微分,记为

dy df

xx0A x.

x x0

Ax是函数改变量y的线性主部.

y f(x)在x0 可微的充要条件是f(x)在x0可导,且dy f(x0x).当

x x0

f(x)x时,可得dx x,因此

dy f(x0)dx,dyf(x)dx.

xx0

由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.

（2）微分的几何意义当x由x0变到x0x时,函数纵坐标的改变量为y,此时过x0点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.

当dy

当dy>y时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.

.....

2．微分运算法则

设u(x),v(x)可微,则

d(cu(x)) cdu(x), d(c) 0.

d[u(x) v(x)] du(x) du(x).

d[u(x)v(x)] u(x)dv(x) v(x)du(x).

u(x) v(x)du(x) u(x)dv(x)

d v(x) v2(x)

三、不定积分

1．不定积分概念

【定义】(原函数) 若对区间I上的每一点x,都有

F(x) f(x)或dF(x) f(x)dx,

则称F（x）是函数f(x)在该区间上的一个原函数.

原函数的特性若函数f(x)有一个原函数F(x),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F（x）+C的形式,其中C是任意常数.

【定义】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作f(x)dx. 若F(x)是f(x)的一个原函数,则

f(x)dx F(x) C (C是任意常数)

2．不定积分的性质

（1）积分运算与微分运算互为逆运算.

d

f(x)或d f(x)dxf(x)dx,

f(x)dx

dx

F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C.

（2）kf(x)dx kf(x)dx (常数k0)

（3）[f(x) g(x)]dxf(x)dx g(x)dx.

.....

. 3．基本积分公式

kdxkx c

x 1 xdx c

1

cosxdx sinxc sinxdx cosxc

四、定积分

【定义】(定积分) 函数f(x)在区间[ a,b]上的定积分定义为

b

n

f(x)dx lim f(i)xi，

I

a x0 i1

【定理】(牛顿-莱布尼茨公式) 若函

数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在

[a,b]上的一个原函数，则

b b

f(x)dx F(x) F(b) F(a).

a a

上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式 .

常见应用

1．一石砌堤，堤身在基石上，高为h，宽为b，如图所示。堤前水深等于堤高h，谁和堤身的单位体积重量分别为q和γ，问欲防止堤身绕A点翻倒，比值b/h应等于多少？

2．一个半径为四分之一的光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑均匀的匀质铁链，

一端固定于球面顶点A，另一段恰好与桌面不接触，且单位长度铁链的质量为p，求铁链A端所受到拉力以及铁连所受球面的支持力．

.....

.

3．质量为 m的均匀橡皮圈处于自然状态下的半径为r1，弹性系数为k。现将它保持水平套

在半径为 r2的竖直圆柱上（r2＞r1），套上后橡皮圈的质量分布仍是均匀的，橡皮圈与柱面

之间的静摩擦因数为μ。现在圆柱体绕竖直轴转动起来，如图所示：问要保持橡皮圈不滑下，圆柱转动的角速度ω不能超过多少？

常用数学知识汇总

一、三角函数公式

1.两角和公式

sin(A B) sinAcosB cosAsinB sin(A B) sinAcosBcosAsinB

cos(A B) cosAcosB sinAsinB cos(A B) cosAcosB sinAsinB

tan(A B)

tanAtanB

tan(A B)

tanAtanB 1tanAtanB 1tanAtanB

cot(A B) cotAcotB 1

cot(A B)

cotAcotB 1 cotBcotA cotBcotA

2.二倍角公式

sin2A 2sinAcosA cos2A cos2A sin2A 1 2sin2A 2cos2A 1