2017图形的变换综合题

2017年九年级数学组卷

一．选择题（共1小题）

1．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的

中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，

连接CF，则CF的长为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

二．选择题（共28小题）

2．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．

（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

3．如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4．将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长．（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），过P 点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）当t（0＜t＜3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．（1）当x=s时，DE⊥AB；

（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长；

（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．

5．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AC 向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（0＜t＜5），△PQC 的面积为Scm2．

（1）求S与t之间函数关系式．

（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？

（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

6．如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4．

求：（1）cos∠F的值；（2）BE的长．

7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA 的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：AP=AO；

（2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

9．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求的值．

（2）若E为x轴上的点，且S△AOE =，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以

A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

11．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．

（1）求tan∠FOB的值；

（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；

（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．

（1）求等腰梯形的腰长；

（2）证明：△ABP∽△PCE；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．

13．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；

（2）如图b，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的

函数关系式，并写出它的定义域；

（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．

14．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S （cm2）

（1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

15．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC 于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP=∠EPB；

（2）求∠CBE的度数；

（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

16．如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB 边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

17．如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM 对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．

（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；

（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S 与t的函数关系式；

（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH 为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．

18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M 为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；

（2）当⊙O的半径为2时，求的长．

19．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．

（1）当α=60°时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD=AE；

（2）当α=90°时（如图2），求的值．

20．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：

（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；

（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

21．如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动．连接DF，DE，EF．过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D、E、F在一条直线上的情况）．

（1）填空：当t=时，AF=CE，此时BH=；

（2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；

（3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S，△DEF的周长为C．

①求S关于t的函数关系式；

②直接写出C的最小值．

22．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．

（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；

（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．

23．在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、点F，设BE=x，CF=y，∠BOE=α（45°≤α≤90°）．

（1）试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

（2）试判断∠BEO与∠OEF的大小关系？并说明理由．

（3）在三角板绕O点旋转的过程中，△OEF能否成为等腰三角形？若能，求出对应x的值；若不能，请说明理由．

24．数学活动课上，小颖同学用两块完全一样的透明等腰直角三角板ABC、DEF进行探究活动．

操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点C（如图1），然后将其绕点D顺时针旋转，直至点E落在AC的延长线上时结束操作，在此过程中，线段DE与AC或其延长线交于点K，线段BC与DF相交于点G（如图2，3）．

探究1：在图2中，求证：△ADK∽△BGD．

探究2：在图2中，求证：KD平分∠AKG．

探究3：①在图3中，KD仍平分∠AKG吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由．

②在以上操作过程中，若设AC=BC=8，KG=x，△DKG的面积为y，请求出y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

25．小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC 的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边△ABC外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到AD与DE的数量关系．（1）AD与DE相等吗？请你说明理由；

【类比探究】

（2）当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其它条件不变，如图2，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；【拓展应用】

（3）当点D在BC的

延长线上，且满足

CD=BC，连接AE，其

它条件不变，如图3，

若AD=6，求DE的长．

26．如图1，在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF=α，AB=AC，AE=AF，点D是BC的中点，点M是EF的中点，连接CE，点N是CE的中点，连接DN，MN．

（1）如图2，将△AEF绕点A旋转，使点E，F分别在边BA，CA的延长线上．

①试探究线段DN与MN的数量关系，并证明你的结论；

②此时，∠DNM与α之间存在等量关系，这个等量关系为（不必说

明理由）．

（2）将△AEF绕点A旋转，使点E落在△ABC内部，如图3，此时，你在（1）中得到的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

27．如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．

28．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．29．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．

（1）求证：四边形DEFG为菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

三．解答题（共1小题）

30．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4．把△BCD沿对角线BD 折叠，使点C落在E处，BE交AD于点F；

（1）求证：AF=EF；

（2）求tan∠ABF的值；

（3）连接AC交BE于点G，求AG的长．