九年级数学几何模型压轴题单元培优测试卷
九年级数学几何模型压轴题单元培优测试卷
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE
△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有
EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即
180
ADG ADF
∠+∠=?，即180
B D
∠+∠=?；
（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．
【详解】
（1）解：如图，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
（2）解：∠B+∠D=180°，
理由是：
如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴F、D、G在一条直线上，
和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC中，2BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22
AB AC
+，
如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ． 则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ， ∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中
AD AD FAD EAD AF AE =??
∠=∠??=?
∴△FAD ≌△EAD ， ∴DF=DE ， 设DE=x ，则DF=x ， ∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：222DF BF BD =+，
22(3)1x x =-+，
解得：x=53
， 即DE=
53． 【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
2．探究：如图1和图2，四边形ABCD 中，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝45°．
（1）①如图1，若∠B 、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，直接写出线段BE 、DF 和EF 之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B 、∠D 都不是直角，但满足∠B +∠D ＝180°，线段BE 、DF 和EF 之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝
5
3
．
【解析】
【分析】
（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】
解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝90°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：
EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵
AF AF
EAF GAF AE AG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝22
AB AC
+＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在
△FAD和△EAD中
AD AD
FAD EAD AF AE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝5
3
，
即DE＝5
3
．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
3．综合与实践
问题情境
在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1，MN是过点A的直线，点C为直线MN外一点，连接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一点B，使∠DBN=60°．
观察发现
（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；
（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；
实践探究
（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：
在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；
在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；
提出问题
（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.
【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23【解析】
【分析】
（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB
（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；
（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系；
（4）过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明
△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在
Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度.
【详解】
综合与实践
（1）AB+DB=CB
（2）线段CE如图所示.
证明：∵∠ECB=∠ACD=60o，
∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，
∴∠2=∠1.
∵∠ACD=∠DBN=60o, ∠ABD+∠DBN=180o，
∴∠ABD+∠ACD=180o，
∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180o.
∵∠CAB+∠4=180o，
∴∠4=∠3.
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴EA=BD，EC=BC.
又∵∠ECB=60°，
∴△ECB为等边三角形,
∴EB=CB.
而EB=EA+AB=DB+AB,
∴CB=DB+AB.
（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；
（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.∵∠DCA=60o
∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA
即∠ECA=∠BCD
∵∠DBN=120o
∴∠DBA=60o
又∵∠AFB=∠DFC
∴∠EAF=∠BDC
又∵AC=DC
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴BC=EC
∴△ECB为等边三角形
∴∠CEB=60o
∵BC⊥CD
∴∠ECA=∠BCD=90o
∴在Rt△AEC中，∠CAE=30o
∵BC=2，EC=BC
∴AC=EC·tan60o= 23
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，根据题中条件适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等的性质得出线段关系是本题的关键.
4．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；
问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
【答案】（17；（25
【解析】
试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.
(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.
（17
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=2；
连接PP′，在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，
∴PP′=2，∠BP′P=45°；
在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，
∵2
22
+=，即AP′2+PP′2=AP2；
125
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，
∴∠AP′B=135°，
∴∠B PC=∠AP′B=135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B=45°，
∴EP′=BE=1，
∴AE=2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5；
∴∠BPC=135°，正方形边长为5．
点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.
5．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.
（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；
（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.
（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.
∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.
（2）∵MN∥AC，∴,.
∴.∴.
又∵，∴.
又∵,∴.
∴.∴.
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为.
(3)不变化，证明如下：
如图，延长BA交DE轴于H点，则
，，
∴.
又∵.∴．
∴．
又∵, ,∴．
∴.∴.
∴.
∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.
考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.
6．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为2
1.(2
a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE
()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．
()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为
2
12
a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为
2
14a ． 【解析】 【分析】
()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌
BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形
的性质可以得出1
BF BC 2
=
，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】
()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，
ABC DBE 90∠∠∴+=，
A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABC ∴≌()BDE AAS BC DE a ∴==，
BCD 1
S BC DE 2=?，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()2BCD 的面积为21a 2
，
理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE ，
AB BD
∴=，ABD90
∠=，
ABC DBE90
∠∠
∴+=，
A ABC90
∠∠
+=，
A DBE
∠∠
∴=，
在ABC和BDE中，
ACB BED
A DBE
AB BD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
ABC
∴≌()
BDE AAS，
BC DE a
∴==，
BCD
1
S BC DE
2
=?，
2
BCD
1
S a
2
∴=；
()3如图3，过点A作AF BC
⊥与F，过点D作DE BC
⊥的延长线于点E，AFB E90
∠∠
∴==，
11
BF BC a
22
==，
FAB ABF90
∠∠
∴+=，
ABD90
∠=，
ABF DBE90
∠∠
∴+=，
FAB EBD
∠∠
∴=，
线段BD是由线段AB旋转得到的，
AB BD
∴=，
在AFB和BED中，
AFB E
FAB EBD
AB BD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
AFB
∴≌()
BED AAS，
1
BF DE a
2
∴==，
2BCD
1111S
BC DE a a a 2224
=
?=??=， BCD ∴的面积为21
a 4
．
【点睛】 本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
7．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 的坐标为(6，6)，将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连接CH 、CG ． (1)求证：△CBG ≌△CDG ；
(2)求∠HCG 的度数；并判断线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系，说明理由；
(3)连接BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）45°；HG= HO+BG ；（3）（2，0）． 【解析】
试题分析：（1）求证全等，观察两个三角形，发现都有直角，而CG 为公共边，进而再锁定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证． （2）根据（1）中三角形全等可以得到对应边、角相等，即BG=DG ，∠DCG=∠BCG ．同第一问的思路容易发现△CDH ≌△COH ，也有对应边、角相等，即OH=DH ，
∠OCH=∠DCH ．于是∠GCH 为四角的和，四角恰好组成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG ．
（3）四边形AEBD 若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G 为AB 中点的时候．由上几问知DG=BG ，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG ，即四边形AEBD 为矩形．求H 点的坐标，可以设其为（x ，0），则OH=x ，AH=6﹣x ．而BG 为AB 的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt △HGA 中，三边都可以用含x 的表达式表达，那么根据勾股定理可列方程，进而求出x ，推得H 坐标． （1）证明：∵正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ， ∴CD=CB ，∠CDG=∠CBG=90°． 在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，
，
∴△CDG≌△CBG（HL）；
（2）解：∵△CDG≌△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．
在Rt△CHO和Rt△CHD中，
∵，
∴△CHO≌△CHD（HL），
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，
∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=∠OCD+∠DCB=∠OCB=45°，
∴HG=HD+DG=HO+BG；
（3）解：四边形AEBD可为矩形．
如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．
∵DG=BG，
∴DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，
∴当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．
∵四边形DAEB为矩形，
∴AG=EG=BG=DG．
∵AB=6，
∴AG=BG=3．
设H点的坐标为（x，0），则HO=x
∵OH=DH，BG=DG，
∴HD=x，DG=3．
在Rt△HGA中，
∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，
∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．
∴H点的坐标为（2，0）．
考点：几何变换综合题．
8．已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE=BD．将
△ABE绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′．
（1）如图1，当α=30°时，求证：B′C=DE；
（2）连接B′E、DE′，当B′E=DE′时，请用图2求α的值；
（3）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为．
【答案】（1）证明见解析（2）45°或22.5°（3）22-2≤PQ≤42+2
【解析】
【分析】
（1）先由正方形的性质得到直角三角形AOE，再经过简单计算求出角，判断出
△ADE≌△AB′C即可；（2）先判断出△AEB′≌△AE′D，再根据旋转角和图形，判断出
∠BAB′=∠DAB′即可；（3）先判断出点Q的位置，PQ最小时和最大时的位置，进行计算即可．
【详解】
解：（1）如图1，
连接AC，B′C，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°，
∵AE=BD，
∴AC=AE=2OA，
在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA，
∴∠E=30°，
∴∠DAE=∠ADB-∠E=45°-30°=15°，
由旋转有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°，
∴∠DAE=15°，
在△ADE和△AB′C中，
'
'
AD AB
DAE CAB
AE AC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADE≌△AB′C，
∴DE=B′C，
（2）如图2，
由旋转得，AB′=AB=AD，AE′=AE，
在△AEB′和△AE′D中，
'
'
''
AE AE
AD AB
DB DE
=
?
?
=
?
?=
?
，
∴△AEB′≌△AE′D
，
∴∠DAE′=∠EAB′，
∴∠EAE′=∠DAB′，
由旋转得，∠EAE′=∠BAB′，
∴∠BAB′=∠DAB′，
∵∠BAB′+∠DAB′=90°，
∴α=∠BAB′=45°，或α=360°-90°-45°=225°；（3）如图3，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴1
2
BD=22，
连接AC交BD于O，
∴OA⊥BD，OA=1
2
AC=
1
2
BD=22
在旋转过程中，△ABE在旋转到边B'E'⊥AB于Q，此时PQ最小，由旋转知，△ABE≌△AB'E'，
∴AQ=OA=1
2
BD（全等三角形对应边上的高相等），
∴PQ=AQ-AP=1
2
BD-AP=22-2
在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E'重合，
∴AE'=AE=42，
∴PE'=AE'+AP=42+2，
故答案为22-2≤PQ≤42+2．
．
二、初三数学圆易错题压轴题（难）
9．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，
()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)，
(1)求的值；
(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；
(3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．
【解析】
试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；
（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；
（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过
（0，0）和（，）两点，
∴抛物线的一般式为：y=ax2，
∴=a（）2，
解得：a=±，
∵图象开口向上，∴a=，
∴抛物线解析式为：y=x2，
故a=，b=c=0；
（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，
又∵y=x2，则r=，
化简得：r=＞x2，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；
五年级数学上册培优测试题
姓名：_________ 一、填空题。（21分） 1、甲乙两数的商是0.5，如果甲和乙都扩大10倍，商是（）。 2、一个三角形的底是12m，是高的一半，它的面积是（）。 3、一个梯形上底和下底的和是28m，高是15m，面积是（）。 4、a和b的和的5倍是（）。 5、三个连续整数，中间一个是n，其它两个是（）和（）。 6、一个三角形比一个与它等底等高的平行四边形的面积少48㎡，已知三角形的底是12m，，高是（）。 7、如果7x+8和9x相等，那么x=（）。 二、判断题。（15分） 1、平行四边形的底越长，它的面积就越大。（） 2、把平行四边形拉成长方形，周长不变，面积变大。（） 3、平行四边形的面积等于三角形面积的2倍。（） 4、a一定大于2a。（） 5、0.25×0.4÷0.25×0.4的结果是1。（） 三、选择题。（15分） 1、下面各组的两个式子中，结果相等的一组式子是（） A、2a和a+a B、a2和2a C、2（a―1）和2a―1 2、小明有38张邮票，送给小华8张，两人的邮票同样多，小华原有（）张。
A、22 B、30 C、11 3、三角形的底和高都扩大3倍，面积就扩大了（）倍。 A、3 B、6 C、9 4、x÷0.1＝0.1，这个方程的解是（） A、x＝1 B、x＝0.01 C、x＝0.1 5、a+5.2=b+64，那么（） 五、解决问题。（40分） 1、一个长方形的周长是120米，长是宽的2倍。这个长方形的面积是多少？ 2、某工厂原计划每天加工40个零件，30天完成。实际每天比原计划多做10个，可提前几天完成任务？ 3、王华借一本书看，每天看6页，8天看了一半。以后每天多看2页，正好在借期内看完。这本书的借期是多少天？ 4、甲乙两人同时从A地到相距396千米的B地，当乙到B地时，甲离乙地还有44千米。已知甲每小时行64千米，乙每小时行多少千米？
九年级数学培优练习题
（第2题图） A D C B P N M l 九年级数学培优练习题 1、二次函数542 +-=x x y 中，已知1≤x ≤4，则y 的取值围是 。 2、如图，正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均 为4cm ，且AB 与MN 都在直线l 上，开始时点B 与点M 重合. 让正方形沿直线向右平移，直到A 点与N 点重合为止，设正方 形与三角形重叠部分的面积为y(cm 2 )，MB 的长度为x(cm)，则 y 与x 之间的函数关系的图象大致是 【 】 3、若抛物线2 (1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，，则b c +的值为 ；如果 3b =，则此条抛物线的顶点坐标为 。 4、如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点； （2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值围，当t 为何值时，S 的值最大； x
九年级数学培优练习题 1、如图，直线MN 和EF 相交于点O ，∠EOF ＝60°，AO ＝2，∠AOE ＝20°。设点A 关于EF 的对称点是B ，点B 关于MN 的对称点是C ，则A 、C 两点间的距离为 。 2、如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（3，0），B 点坐标为（0，4），把线段AB 绕原点顺时针方向旋转，使AB 与y 轴平行，则A 点的坐标为 。 3、抛物线bx x y 23 22 +- =与x 轴的两个不同交点是O 、A ，顶点B 在直线x y 33=上，则关于△OAB 是 三角形。 4、如图，从等边三角形ABC 一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 。 5、如图①，OABC 是一放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4. （1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标； （2）图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（0＜t ＜5），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标. A M N O F E
人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．
七年级上册数学 期末试卷培优测试卷
七年级上册数学期末试卷培优测试卷 一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难） 1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G． （1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：． （2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． （3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系． （4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系． 【答案】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴
（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 （3）解：过点G作交BE于点H ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即
故的关系仍成立 （4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180° 【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H ∴∠DEC=∠EGH ∵ ∴ ∴∠HGF+∠BFG=180° ∵∠HGF=∠EGF-∠EGH ∴∠HGF=∠EGF-∠DEC ∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180° ∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180° 【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，， ，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到 ，因为，所以，得到，
五年级数学培优综合训练试题(含答案).doc
小学五年级数学培优综合训练试题 一、选择题（把正确答案的序号填入（）中，共10 分） 1．A＋5.2＝b＋6.4 那么（） A . a＞b B.a＜b C. a＝b 2．连续自然数a，b，c，…，g，h 一共有（）个自然数。 A. h B. h－a ＋1 C. h－a 3．数学书的封面面积约是250 （） A. 平方厘米 B. 平方分米 C. 平方米 4．画一个长和宽都是整数的长方形，要求面积为24，那么可以画出不同的长方形有（）种 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．用1、0、3、5 组成（）个不含重复数字的三位数。 A. 24 B. 8 C. 18 D. 12 二、填空（每小题 2 分，共20 分） 1．在0.6、20÷3 和0.666 这三个数中，最大的数是（），最小的数是（）。 2．有数组｛1，2，3，4｝，｛2，4，6，8｝，｛3，6，9，12｝．．．．．那么第100 个数组的四个数的和是（）。 3．某同学在计算一道除法题时，误将除数32 写成23，所得的商是32，余数是11，正确的商与 余数的和是（）。 4．3÷7 的商是一个循环小数，这个小数的小数点后第2006 个数字是（）。 5．在一个面积为10 的平行四边形的纸片中剪出一个三角形，这个三角形的面积最大为（）。6．某年的九月份有五个星期天，已知这个月的1 号不是星期天，那么这个月的25 号是星期（）7．幼儿园里买来一些玩具，如果每班分8 个玩具，就多出2 个玩具，如果每班分10 个玩具,就 少12 个玩具,幼儿园里有（）个班。 8．一个长方形若长增加 2 厘米,面积就增加10 平方厘米,若宽减少3 厘米,面积就减少 18 平方厘 米,原长方形的面积为（）平方厘米。 9．在a÷b＝5．．．．．3 中，把a、b 同时扩大3 倍，商是（），余数是（）。 10．用3 个大瓶和5 个小瓶可装墨水5.6 千克，用1 个大瓶和3 个小瓶可装墨水2.4 千克。那么 用 2 个大瓶和 1 个小瓶可装墨水（三、计算下面各题（12 分） （1）5×125×5×32 ）千克。 （2）89＋899＋8999＋89999＋899999 （3）4.27×8.3＋42.7×1.9－0.427×2 （4）105.5＋〔（40＋9.338÷2.3）×0.5－1.53〕÷\u65288X53.6 ÷26.8×0.125） 四、完成下列各题（第1、2、3 小题每题 2 分，第4、5 小题每题 5 分，共16 分） 已知长方形甲的面积为32，长方形乙的面积为20 1．将它们如图1 摆放在桌面上，根据图中条件，阴影部分的面积为（ 2．将它们如图2 摆放在桌面上，则图中阴影部分面积为（）。 ）。 3．将它们如图3 摆放在桌面上，若组成的图形的面积为40，则阴影部分的面积为（ ）。
九年级数学下学期培优扶困计划
九年级数学下学期培优扶困计划 杨金花 本学期我担任初三（2）班的数学课，这一学期是非常关键的一个学期，做好培优扶困工作至关重要，我所采取的具体措施如下： 一、多关注学生，做好学生的思想工作 做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，尤其对学困生更要挤时间找他们谈心，及时了解他们的思想动态。因为他们更容易情绪化，分不清主次，针对这种情况，给他们讲道理端正他们的思想态度。距离中考越来越近了，每年到这个时候，对于初三的学生来说也是很关键的时候，中国有句古话叫"行百里者半九十"，意思是说如果把走一百里的路看成一件事的话，前面走过的九十理路，仅仅完成了一半，也就是说最后虽然仅剩十里路，十整个路程的十分之一，但承担任务却是整个事情的一半。让学生从思想上非常重视最后这一段时间，这是根据学生的思想心态进行相应的辅导。 二、分析学情，因材施教 对于知识基础薄弱，学习态度不端正、学习习惯不好、学习方法不理想的学生，一方面我们要对他们的闪光点及时鼓励，以激发他们学习的积极性；另一方面进行有针对性的辅导： 1.利用自习课、晚自习，根据他们的作业情况，以及试卷解答情况，及时寻找他们的知识盲点和易误点，然后有针对性的进行查漏补缺。并要求学生及时反思，了解自己巩固了那些知识点，又长了什么见识，从中受到了什么启发。 2、课上差生板演，中等生订正，优等生解决难题。
3、安排座位时坚持“好差同桌”结为学习对子。 4、优化备课，向课堂40分钟要质量。备好学生，备好教材，备好练习，保证培优补差的效果。精编习题，习题设计要有梯度，紧扣重、难点，巩固“双基”。习题的讲评要增加信息程度，围绕重点，引导学生高度注意，教学生学会解答。解答习题要有多角度，一题多解，一题多变，多题一解，拓展思路，努力培养学生思维的灵活性、广阔性和变通性。解题的训练要讲精度，精选构思巧妙、新颖灵活的典型题，有代表性和针对性的题，练不在数量而在质量。 5、对于学生的作业完成情况要及时地检查，发现错误要及时订正。作业还要统一要求。要求学生按时完成作业，按时交作业，做到堂堂清、天天清，有练必交，有错必改。及时做到知识内化，查漏补缺。对于差生的作业尽量面批面改，及时指导。 6、采用激励机制，对后进生提出适当的切实可行的要求，对于他们的每一点进步都给予肯定，以此来增强他们的学习兴趣和信心。 7、经常与家长联系，相互了解学生在家与在校的一些情况，共同督促孩子按时完成作业。 在不到一个学期的时间里，我会再接再厉，不断改进教育手段，努力把工作做得更好！
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
七年级数学期末试卷培优测试卷
七年级数学期末试卷培优测试卷 一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难） 1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3． （1）求∠DOE、∠COF的度数． （2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值． 【答案】（1）解：∵∠BOC：∠AOC=1：3， ∴∠BOC=180°× =45°， ∴∠AOD=45°， ∵∠BOE=90°， ∴∠AOE=90°， ∴∠DOE=45°+90°=135°， ∠BOD=180°-45°=135°， ∵FO平分∠BOD， ∴∠DOF=∠BOF=67.5°， ∴∠COF=180°-67.5°=112.5° （2）解：∠EOF=90°+67.5°=157.5°， 依题意有 4t-2t=157.5-90， 解得t=33.75． 故t值为33.75． 【解析】【分析】（1）根据∠BOC：∠AOC=1：3，∠BOC+∠AOC=180°，即可算出∠BOC 的度数，然后根据对顶角相等由∠AOD = ∠BOC得出∠AOD 的度数，根据平角的定义，由∠AOE=∠AOB-∠BOE算出∠AOE的度数，进而根据∠DOE=∠AOE+∠AOD算出∠DOE的度数，∠BOD=∠AOB-∠AOD算出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得出∠BO 的度数，最后根据∠COF=∠COB+∠BOF即可算出答案； （2）根据角的和差，由∠EOF=∠EOB+∠BOF算出∠EOF的度数，根据题意OE转过的角度为4t°，OF转过的角度为2t°，根据题意列出方程 4t-2t=157.5-90，求解即可。
五年级数学培优测试卷
五年级数学培优测试卷集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
五年级数学等级测试卷 1、简算（7分）12.5×6.7＋1.25×21 1、简算（7分） 5.4×3.8－6.5×5.4＋2.7×5.4 3、简算（7分）1.25×3.2×0.25 4、简算（7分） 15.48×35－154.8×1.9+15.48×84 5、五个数的平均数是18，把其中一个数改为12后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是（）。（5分） 6、16位同学拍集体照，照一次付8.5元（内有底片和4张照片），加洗一张另付1.25元。如果每人要得到一张照片，一共要付（）元。（5分） 7、两个数的乘积是2.6，如果一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原 1 10 ，那么积是 （）。（5分） 8、甲乙两车同时从相距360千米的两地相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时 行44千米，（）小时后，两车第一次相遇。再过（）小时两车第二次相距 60千米. （6分） 9、自来水公司发布信息：本市居民每月每户用水缴费由原来的每立方米2.5元，作如下调整。
李大叔家本月用水量24.4立方米，他按新的收费标准应缴（）元的水费，比原来少 （）元。（6分） 10、某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要30秒，请问以同样的速度走到8层，还需要（）秒。（5分） 11、一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要（）分钟。（5分） 12、3333.3×12340-111110×370.2=（）（5分） 13、8.90.28.80.28.70.28.10.2 ?+?+?+???+?=（）（5分） 14、有这样一列数：0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.1……这列数的第20个数是（）这20个数的和是（）。（6分） 15、（1+0.5）+（2+0.5×2）+（3+0.5×3）+…+（11+0.5×11）=（）（5分） 16、一个小数，如果把它的小数部分扩大到4倍，就得到5.4；如果把它的小数部分扩大到9倍，就得到8.4，那么这个小数是（）。（5分） 17、解决问题（9分） 某校师生开展行军活动，以每小时6千米的速度前进，3小时后学校派通迅员骑自行车走同一条路去传达命令，如果通讯员以每小时15千米的速度去追赶队伍，需要多少小时才能赶上？
九年级数学培优补差总结
九年级数学第一学期帮困总结 青化中学高伟 本学期，我担任九年级（1）（2）班数学课，从这两个班的整体情况来看，学生的数学成绩比较差，一学期的初三毕业班的教学工作终于结束了，回顾这一年来的点点滴滴，甜酸苦辣五味具全，下面我就这一年中的帮困工作做简单的小结： 本学期，我做了以下几个方面： 一、确立指导思想 以教师特别的爱奉献给特别的学生。“帮学生一把，带他们一同上路”。对差生高看一眼，厚爱三分，以最大限度的耐心和恒心补出成效。 1．做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，让学生觉得老师是重视他们的，激发他们学习的积极性。了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。 2．定期与学生家长、班主任联系，进一步了解学生的家庭、生活、思想、课堂等各方面的情况。 二、差生原因分析 寻找根源，发现造成学习困难的原因有生理因素，也有心理因素，但更多的是学生自身原因。 1、志向性障碍：学习无目的性、无积极性和主动性，对自己抱自暴自弃的态度。 2、情感性障碍：缺乏积极的学习动机，随着时间的推移，知识欠帐日益增加，成绩每况愈下，久而久之成为学习困难学生。 3、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，他们一般贪玩，上课注意力不集中，上课不听讲，练习不完成，作业不能独立完成,甚至抄袭作业。 根据以上这些情况要做好后进生的思想工作。一些学生脑子也很聪明，但是
由于意识不到学习的重要性，对学习似乎一点兴趣都没有，再加上平时紧张不起来，这样日久天长，基础知识变逐渐拉了下来，从而变成后进生；对于这部分学生，我准备从三个方面做好工作： （一）．教师方面措施 利用课余时间，对各种情况的同学进行辅导、提高，“因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1．课上后进生板演，中等生订正. 2．课堂练习分层次满足不同层次学生的需要。 3．每一单元进行测试，重点分析他们的试卷。 （二）学生之间互相帮助 1.两人互相检测对方上课听讲效果，互相提问老师所讲知识点，重难点，概念，公式，定理，做题方法，技巧等，互相回答，直到双方均无问题。 2.以各种形式在教室黑板或教室内外地面画题，画重点记忆性知识点，命题，定理，互相督促，检查对方是否掌握。 3.及时将双方记性掌握情况汇报组长，组长做好课下监督工作。 （三）．注重学生内心交流 其一，多传输一些名人事迹，特别是从他们过去那种艰难的环境入手，告诉他们学习机会的来之不易；其二，提高课堂教学技能，尽量把课堂讲得的生动些，以提高他们的学习兴趣；其三，尽量多从生活中取材，以让学生意识到，学习并不是没有用，而是用途很大，因此来提高他们的学习积极性；通过这三项，来转化他们的学习态度，使他们从消极的学习态度转化为积极的学习态度。 其次，由易到难，提高后进生的自信心。后进生因为学习基础较差，所以学习起来，通常会较费劲，日久天长就会觉得很累，甚至没有兴趣，再加上心里上常常会觉得得不到师生的重视，因此可能会产生自暴自弃的念头，这是他们学习不积极的重要原因。还有部分后进生，本身学习欲望很强，但常常是付出与回报不成正比，付出了很多，成绩缺依然很差，日久天长的打击，是他们感觉不到一
专题28.1锐角三角函数-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】
2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】 专题28.1锐角三角函数 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020?河池）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sin B 的值是（ ） A ． 512 B ． 125 C ． 5 13 D ． 1213 【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案． 【解析】如图所示： ∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12， ∴AB =√52+122=13， ∴sin B =AC AB =12 13． 故选：D ． 2．（2019秋?玉环市期末）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，cos A =4 5 ，则AC 的长为（ ） A ． 125 B ． 165 C ． 203 D ．5 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【解析】如图所示： ∵∠C ＝90°，AB ＝4，cos A =4 5， ∴cos A = AC AB =AC 4=4 5 ， 故AC =16 5． 故选：B ．
3．（2020?普陀区一模）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A =1 3，那么下列说法中正确的是（ ） A ．cos B =1 3 B ．cot A =1 3 C ．tan A =2√2 3 D ．cot B =2√2 3 【分析】利用同角三角函数的关系解答． 【解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A =1 3，则cos A =√1?sin 2A =√1?19=2√23 A 、cos B ＝sin A =1 3，故本选项符合题意． B 、cot A =cosA sinA =2√2 313 =2√2．故本选项不符合题意． C 、tan A =sinA cosA =132√23 =√24 ．故本选项不符合题意． D 、cot B ＝tan A =√2 4．故本选项不符合题意． 故选：A ． 4．（2018秋?枞阳县期末）在△ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1 3，则sin B 的值为（ ） A ．1 3 B ．2 3 C ． √3 3 D ．1 【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【解析】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A +∠B ＝90°， 则sin B ＝cos A =13 ． 故选：A ． 5．（2018秋?市中区校级期中）已知α为锐角，且tan α=1 3 ，则sin α＝（ ） A ．2 3 B ． √10 5 C ． 3√10 10 D ． √10 10 【分析】根据tan α=1 3，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sin α的值．
七年级上册数学 期末试卷培优测试卷
七年级上册数学 期末试卷培优测试卷 一、选择题 1．自南京地铁四号线开通以来，最高单日线路客运量是 2017 年 12 月 7 日的 191000 人次，数字 191000 用科学计数法表示为（ ） A ．19.1×410 B ．1.91×510 C ．19.1×510 D ．0.191×610 2．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x ”到“结果是否＞26”为一次程序操作，如果程序操作进行了2次后停止，那么满足条件的所有整数．．．．x 的和为( ) A ．30 B ．35 C ．42 D ．39 3．在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点。该几何体模型可能是（ ） A ．球 B ．三棱锥 C ．圆锥 D ．圆柱 4．下列各图是正方体展开图的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列各项中，是同类项的是（ ） A ．xy -与2yx B ．2ab 与2abc C ．2x y 与2x z D ．2a b 与2ab 6．如图，数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数为－2，那么点B 表示的数是（ ） A ．3 B ．2 C ．0 D ．－1 7．拖拉机加油50L 记作50L +，用去油30L 记作30L -，那么()5030++-等于（ ） A ．20 B ．40 C ．60 D ．80 8．－8的绝对值是（ ） A ．8 B ． 1 8 C ．－ 18 D ．－8 9．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：”一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人?设大和尚有x 人，依题意列方程得( ) A ．()31003 x x +-=100 B ．10033x x -+ =100 C ． ()31001003 x x --= D ．10031003 x x -- = 10．有轨电车深受淮安市民喜爱，客流量逐年递增.2018年，淮安有轨电车客流量再创新
九年级数学培优计划
九年级数学培优计划 以全面提高学生素质为契机，全面贯彻和落实党的教育方针，进一步更新教育理念，以创新精神和实践能力的培养为重点，突出学生的发展，积极推进素质教育课程改革，以提高教学质量为核心，重视基础，狠抓培优，为培养更多的优秀合格人才做出新的贡献。 培优目标： 1、在学期初找他们谈话，要他们戒骄戒躁，要更加努力学习，使成绩更上一层楼，从思想上积极起来。 2、平时在课堂上提问他们比较深的问题，从而锻炼他们的思维能力。 3、在作业上对他们要求更严格。 4、培养他们良好的学习习惯，以及有效的学习方法。 5、对优等生，多提问一些有针对性、启发性的问题 我打算制定课外资料让他们阅读，布置要求较高的作业让他们独立思考，指定他们对其他学生进行辅导，使他们的知识扩大到更大的领域，技能、技巧达到更高的水平，使他们永远好学上进，聪明才智得到更好地发挥。 6、课堂教学中，鼓励优等学生自主探索、自我尝试，使他们的创造思维能力得到不断增强。 培优措施：在平时多设计有梯度，形式多样的练习。在课堂上培养学生积极探索、认真思考、刻苦钻研的精神，提高观察、想象、理解、分析、判断、推理、概括、记忆、创造等各种数学能力。在应用题教学中，教给学生思考的方法，进行科学训练，提高解题能力，适当加强对比和变式练习。重视思考题教学，引导学生多角度思考问题，展开思维过程，培养创新精神和创新能力，全面开发各个层次学生的智力。 1、要对的优秀生进行思想教育，培养学生热爱科学，渴求知识的兴趣和愿望。 2、首先抓住课堂教学，调动积极思维，既发挥他们的榜样作用，带动其他同学，又在面向全体的同时给他们吃偏饭，要有详实的辅导记录。 3、一学期对培训的学生进行一次考试和问卷，及时了解培训情况及学生的反映。 4、培优期间，要把对优秀生的辅导与学科竞赛结合起来，注意培养优秀生的自学意识和探究能力。
九年级数学培优试题(五)(无答案) 新人教版
A B C 2013届九年级数学培优试题（五） 新人教版 1、如图1，半圆的直径10AB =，P 为AB 上一点，点C D ，为半圆的三等分点，则阴影 部分的面积等于_______． 2、如图2，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是_______ 3 、如图3，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是_______ 4、如图4，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE ，图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．_______ 5、如图5，在Rt ABC △中，90C ∠=，8AC =，6BC =，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和是_______ 6、如图6，从P 点引⊙O 的两切线PA 、PA 、PB ，A 、B 为切点，已知⊙O 的半径为2，∠P ＝60°，则图中阴影部分的面积为 。 7、如图7，正三角形ABC 内接于⊙O ，边长为4cm ，图中阴影部分的面积是_______． 8、如图8，等腰直角三角形ABC 的斜边AB=4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E ，图中阴影部分的面积是_______． 9、如图9，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ．若CE=2，则图中阴影部分的面积是_______ 10、如图10，矩形ABCD 中，BC= 2 , DC = 4．以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ，则 阴影部分的面积为 (结果保留л） л C D A P O B 图（9） P A E F D C B A 图9 B C E D O A B C D F 图A H B O C 1O 1H 1A 1C
七年级数学期末试卷培优测试卷
七年级数学期末试卷培优测试卷 一、选择题 1．我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．14×106 B ．1.4×107 C ．1.4×108 D ．0.14×109 2．若关于x 的方程2x ﹣m=x ﹣2的解为x=3，则m 的值是（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．7 D ．﹣7 3．下列说法错误的是( ) A ．对顶角相等 B ．两点之间所有连线中，线段最短 C ．等角的补角相等 D ．不相交的两条直线叫做平行线 4．已知关于x 的方程34x a -=的解是x a =-，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 5．2019年12月15日开始投入使用的盐城铁路综合客运枢纽，建筑总面积约为324 000平方米．数据324 000用科学记数法可表示为（ ） A ．324×103 B ．32.4×104 C ．3.24×105 D ．0.324×106 6．如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图不可能的是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（） A ．63 B ．70 C ．92 D ．105 8．小明在某月的日历中圈出了三个数，算出它们的和是14，那么这三个数的位置可能是 （ ）
A ． B ． C ． D ． 9．－8的绝对值是（ ） A ．8 B ． 18 C ．－ 18 D ．－8 10．如图，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，则下列等式中正确的有（ ） ①CD AC DB =-②CD AD BC =-③2BD AD AB =- ④1 3 CD AB = A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 11．下列叙述中正确的是（ ） A ．相等的两个角是对顶角 B ．若∠1+∠2+∠3 =180o，则∠1，∠2，∠3互为补角 C ．和等于90 o的两个角互为余角 D ．一个角的补角一定大于这个角 12．下列说法正确的是（ ） A ．如果ab ac =，那么b c = B ．如果22x a b =-，那么x a b =- C ．如果a b = 那么23a b +=+ D ．如果 b c a a =，那么b c = 13．如图，已知正方形2134A A A A 的边长为1，若从某一点开始沿逆时针方向走点的下标数字的路程，则把这种走法成为一次“逆移”，如：在点3A 开始经过3412A A A A →→→为第一次“逆移”， 在点2A 开始经过2341A A A A →→→为第二次“逆移”.若从点1A 开始，经过2020次“逆移”，最终到达的位置是（ ） A ．1A B ．2A C ．3A D ．4A 14．下列说法正确的是（ ） A ．两点之间的距离是两点间的线段 B ．与同一条直线垂直的两条直线也垂直 C ．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D ．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15．下列运用等式的性质，变形正确的是（ ） A ．若x=y ，则x ﹣5=y+5 B ．若a=b ，则ac=bc C ．若 a b c c =，则2a=3b D ．若x=y ，则 x y a a =
2020人教版五年级数学下册周测培优卷5含答案
周测培优卷5 体积、容积的能力检测卷 一、我会填。(每空2分，共28分) 1．填上合适的容积单位或体积单位。 2．1.5 dm3＝()cm3 3500 cm3＝()dm3 80000 cm3＝()dm3＝()m3 0．001 m3＝()L＝()mL 3．一个正方体的底面积是25 dm2，它的体积是()dm3，一个长方体的底面积是15 cm2，它的高是4 cm，它的体积是()cm3。4．妈妈准备将一桶5 L的色拉油分装在250 mL的小油瓶里，共需要()个小油瓶。 5．下图是一个长方体分别从它的前面和上面看到的平面图形，这个长方体的体积是()dm3。
二、我会辨。(对的画“√”，错的画“×”)(每题3分，共9分) 1．两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。 () 2．表面积相等的两个长方体，体积一定相等。() 3．棱长是20厘米的正方体油箱的体积和容积一样大。()三、我会选。(每题3分，共9分) 1．一根长方体木料，长10 m，横截面是边长为2 dm的正方形，这根木料的体积是()。 A．40 m3B．400 dm3C．4 m3D．4 dm3 2．将40升水倒入长0.4米，宽0.2米的长方体玻璃缸中，水深()分米。 A．50 B．5C．0.5 D．500 3．如果把长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么它的体积扩大到原来的()倍。 A．3B．9C．27D．81 四、计算下面图形的表面积和体积。(单位：dm)(每题6分，共12分) 1. 2.
五、走进生活，解决问题。(5题14分，其余每题7分，共42分) 1．妈妈把6盒同样的饼干摆成如图的形状，每盒饼干的体积是多少立方分米？ 2．观察下面的实验，你能求出铁块的高是多少吗？ 3．一个长方体的无盖玻璃金鱼缸，长是2 m，宽是40 cm，高是0.6 m。 这个金鱼缸的占地面积有多大？需要用多少平方米的玻璃？它的
初三下学期数学课外辅导计划
初三下学期数学培优辅差计划 一、指导思想 “希望每一个学生都成为优生”是每一个教师的共同愿望，本着“没有教不好的学生，确保教好每一个学生”、“没有差生，只有差异”的原则，从后进生抓起，课内探究与课外辅导相结合，让学生克服自卑的心理，树立起学习的信心和勇气。在学生中形成“赶、帮、超”的浓厚氛围，使每个学生学有所长，学有所用，提高数学学习成绩，全面提高教学质量。 二、工作目标 1、认真落实“培优转差”工作计划，做好参加对象的辅导工作和思想教育工作，培优和转差同步进行。 2、加强对培优补差工作的常规管理和检查。 3、让学生树立起学习的信心和勇气，克服自卑的心理。 4、在学生中形成“赶、帮、超”浓厚的学习氛围，使每个学生学有所长、学有所用。 5、做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，让学生觉得老师是重视他们的，激发他们学习的积极性。了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。 6、定期与学生家长、班主任联系，进一步了解学生的家庭、生活、思想、课堂 三、培辅对象： 培优：易梅惠、邵新跃、李硕、徐佳佳 辅差：每次质量检测后20%学生 四、“培优补差”工作措施 1、教师了解和正确对待学生中客观存在的个别差异，其实并不是以消灭差异为目的，而是推动有差异的发展。在“吃透两头”的基础上，通过分层教学目标的设计和实施，使快者快学，慢者慢学，先慢后快，全面提升。 2、教师坚持做到每节课“层级化”训练分明，练习由浅入深，体现层次性，既有“双基”知识，也有拓展训练，保证后进生学有所获，优等生能进一步提高自己的思维水平。 3、平时对学习有困难的学生努力做到多鼓励，多宽容。耐心细致地帮助，上课时多留意，多体贴，督促他们及时完成相关作业以及练习。
2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题)
5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1