数学建模示例

【前言：笔者在养猪场工作期间，每天清晨第一件乐事就是推着独轮车运送猪粪。小路高低不平，而年轻人的躁动与乐天驱使饲养员们推车飞跑，翻车是屡见不鲜的喜剧。笔者注意到，轮子越大的粪车推起来越平稳，越不容易翻车。2002年，有中学生问我数学建模问题，使我想起了当年思考过的粪车问题。粪车当然不在城市少年的视野之内，于是便从自行车谈起，是为本文缘起。初稿发表于苏州大学出版的《中学数学月刊》2002年第10期，标题为《行车颠簸问题的数学模型与分析》。此为修订稿，对于建模的过程解说得更加详细。】

数学建模示例

——行车颠簸问题的数学模型与分析

“建立数学模型”（本文简称建模），就是以准确的数学语言来描述一件具体的事情，为的是以数学的方法或计算机软件对它进行分析处理。这在应用数学和计算机软件设计中是极为重要的手段。

一件具体的事情往往有很多方面的属性，但是在建模时，只需要抽出与当前研究的问题相关的那些属性，这叫做抽象。例如，对于一个杯子，可以有形状、材质、透明度、颜色、保温性等等方面的描述。如果当下我们要研究它的形状与装水多少的关系，则只需要将它作为一个几何体来计算它的容积，而忽略其颜色、材质等其他方面的属性。

骑过自行车的人都有体会：小轮自行车在经过路面上的不平整之处时要比大轮自行车更为颠簸一些，这是生活常识。那么，其中有什么数学道理吗？本文打算建立这个问题的数学模型并讨论之，所用的知识不超出中学课本，涉及的知识点有：圆、勾股定理、根式、函数等。

1.建立“颠簸程度”的数学模型

我们在研究行车颠簸问题时，把车轮抽象为一个几何上的圆，而忽略其材料、辐条、轴承等方面的属性，这是我们为建模所做的第一重抽象。

这个圆在理想的平整路面上滚动时，圆心对路面没有垂直方向的位移，这叫做没有颠簸。当这个圆在不平整路面上滚动时，会有上下跳动，即圆心对路面有垂直方向的位移，这叫做有颠簸。这是我们将“颠簸”这种日常的语言转化为数学语言。

但是，不同大小的车轮在同样一段不平整的路面上行进，都会产生相同的垂直方向的位移，为什么给骑车人的颠簸感觉不一样呢？这与完成垂直方向位移所用的时间长短有关。同样大小的垂直方向位移在越短的时间内完成，造成的颠簸感觉就越强烈，即颠簸程度越大。这已经很接近准确的

数学定义了。

不管是驾车还是骑车，我们在通过不平整路线时都会自觉或不自觉地减速，这是何故？是因为同一辆车子通过同样的不平整路线，行进得越快，则颠簸感越强烈。正是基于这种常识，我们必须忽略车速不同的情况，而只考虑大小不同的车轮在水平方向都以相同的速度v 前进，颠簸程度才有可比性。这是我们为建模所做的第二重抽象。

这样，“在时间t 内完成垂直方向的位移h ”就等同于“在完成水平位移vt 的同时完成垂直位移h ”。设s =vt ，我们进一步把“颠簸程度”k 定义为“在单位水平距离上的垂直位移”，即：

这就是颠簸程度的数学模型，这是一个代数公式。数学模型可以是但不限定是代数公式，它也可能是几何图形，或曲线图表等其他形式。

以上我们经过逐步抽象，将颠簸问题变成了一个可以用公式来演算的数学问题。

2.“颠簸程度”是车轮半径的函数

以下用一个半径为R 的圆代表车轮，在本文的图中，车轮都是从左向右运动的。

第一种场景：如图1所示。圆O 运动到圆O’，圆心在移动水平距离s=OB 的同时完成垂直上移h=O’B 。一般情况下，h 总是比车轮半径小，故h

图1

。故

，或即2222222222)(,''h Rh s h Rh h R R s B A OA OB -=-=--=-=)

0(s h

k =

第二种场景：如图2所示。圆O 运动到圆O’，圆心在移动水平距离BO’=s 的同时完成垂直下移OB=h 。

图2

与第一种场景类似可得：

以上两种场景下，h 是定值，对于不同的R 就有不同的s ，因而有不同的k 。如果不考虑垂直位移的方向，只考虑其绝对值，可以认为（1）（2）两式是相同的。

第三种场景：如图3所示。路面上有一宽度为2s 的缺口，但s

)

2(22h Rh h h k -==)

1(22h Rh h s h k -==

图3

与第一、第二两种场景不同，这里s 是定值，h 是随R 变化的量。对于不同的R 就有不同的h ，因而有不同的k 。

公式（1）（2）（3）都是公式（0）在不同场景下的具体化。从（1）、（2）、（3）式可以看出，在各种不同的场景下，“颠簸程度”k 都是车轮半径R 的函数。

3．“颠簸程度”随车轮半径变大而减小

在（1）（2）两个函数式中，自变量R 只出现在分母上，并且只出现在分母的被减数中，显然车轮半径R 越大则分母越大，从而“颠簸程度”k 越小。

在（3）式中，关系不是这样简单明确，因为自变量R 既出现在分子的被减数中，又出现在分子的减数中，R 变化时k 如何变化不易看出来。为此，将（3）的右边分子有理化：

在（4）式中，R 只出现在分母中，且容易看出：R 越大则分母越大，从而k 越小。于是我们得到结论：在各种情况下，“颠簸程度”总是随车轮半径变大而减小。这就解释了为何车轮越小，车子颠簸程度越大。

)

3(,222222s s R R s h k s R R h DE BD BG BE BG EG --==--=--=-=故

，即因为)

4()()

)((2222222222s R R s s R R s s R R s R R s

s R R s h k -+=-+-+--=--==

4.方法总结与进一步的思考

4.1本文為了建立车轮颠簸问题的数学模型，对具体的事物进行了几次抽象，这是建模的第一步。值得读者细心体会。

4.2本文给“颠簸程度”建立的数学模型是：k=h/s，即在单位水平距离上的垂直位移。象这样用两个量的比值来考察事物的变化程度，使得不便于比较的量成为可以比较的，是一种极为常见的数学方法，广泛应用于各种学科和应用领域（例如，数学中的斜率，物理学中的速度、密度、比热，经济学中的人均GDP等），希望读者仔细领会，并在平时的生活、学习和看报读书中随时留意。4.3中学课本上只讲根式的分母有理化，而以上讨论中用到了根式的“分子有理化”。其实，它也是一种有用的恒等变形，方法与分母有理化是一样的。

4.4事实上，道路上的凸凹并非总是如图1、图2与图3那样呈直角的形状，道路上的缺口的两边一般也非如图3那样高低平齐。在讨论中对问题进行了一些简化。对于更一般的场景的深入研究留给读者思考。事实上，任何数学模型都是对现实对象的抽象与简化。建立数学模型的主要工作正是进行准确的抽象与适当的简化。

4.5数学不仅存在于那些玄妙的难题之中，也广泛存在于各种实际应用问题之中。发现和提出问题，进而解决自己提出的问题，真是一件饶有趣味的事情。