八年级数学培优

目录

第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)

第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)

第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)

第4讲等腰三角形(P25----36)

第5讲等边三角形(P37----42)

第6讲实数(P43----49)

第7讲变量与函数(P50----54)

第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)

第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)

第10讲一次函数的应用(P69----80)

第11讲幂的运算（P81----86)

第12讲整式的乘除((P87----93)

第13讲因式分解及其应用(P94----100)

第14讲分式的概念?性质与运算(P101----108)

第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)

第16讲分式方程及其应用(P118----125)

第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)

第18讲反比例函数的应用(P139----146)

第19讲勾股定理(P147-----157)

第20讲平行四边形(P158-----166)

第21讲菱形矩形(P167-----178)

第22讲正方形(P179-----189)

第23讲梯形(P190-----198)

第24讲数据的分析(P199-----209)

模拟测试一

模拟测试二

模拟测试三

第01讲全等三角形的性质与判定

考点·方法·破译

1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；

2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；

4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；

5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.

A F C

E

D B B A C D E

F 经典·考题·赏析

【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对

【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一

对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.

解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中

AB DC ABC DCB BC CB =??

=??=?

∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中

A D

AED DEC AB DC =??

=??=?

∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中

∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）

A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、

E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，

则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，

连接EF （如图所示）.

⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为

结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是

_______命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.

证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF A B

C D O F

E A C

E

F

B

D

在△ABE 和△DCF 中, AB DC AE DF BE CF =??

=??=?

∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C

在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =??

=??=?

∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE

【变式题组】

01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长

为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD

⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝

BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .

【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .

⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;

⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗请说明理由_____________.

A

F

E C

B D

A E

第1题图

A

B

C D

E B

C

D

O

第2题图

【解法指导】⑴∠

AFD ＝∠DCA

⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC

在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =??

=??=?

∠∠

∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF

∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA

∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C

落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）

A ．△ABC ≌△DEF

B ．∠DEF ＝90°

C ． AC ＝DF

D ．EC ＝CF

03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下

图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；

⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

E

F

B A

C

D

G

第2题图

B （E ） O

C

F 图

③

D

A

【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ

【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.

证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，

∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =??

=??=?

∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，

∴AP ＝AQ ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】

01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为

A ．2a b m +

B ．2

a b m - C ．bm D ．am

03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边

形ABCDE 的面积为__________

演练巩固·反馈提高

01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）

A ．72°

B ．60°

C ．58°

D ．50°

A

E

C

B

A 75° C 45

°

B N

M

第2题图

第3题图

D

2

1

A

B

C P Q

E F D

02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）

A ．20°

B ．30°

C ．35°

D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、

OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1

2

CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作

射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是

（ ）

A . C

B ＝CD B .∠BA

C ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCA

D .∠B ＝∠D ＝90°

05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，

将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）

A . △ABE ≌△CBD

B . ∠ABE ＝∠CBD

C . ∠ABC ＝∠EB

D ＝45° D . AC ∥BE

06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，

小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对

07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的

度数是___________.

08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，

则∠DFB 的度数为_______.

09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______

第1题图

a α

c

c a

50

b

72

58

10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，

P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .

12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足

为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；

⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.

13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于交DE 于点F , 加以证明.

14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；

⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.形法） 15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF . 16全等，那么在什么情况下，它们会全等 ⑴阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们明略）；

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；

已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）

D

A

C

.

Q

P

.

B

A

E

F C

D

B

A

E

B D

C

⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.

培优升级·奥赛检测

01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点

O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对

02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE ,

则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）

A ．DC

B . B

C C . AB

D .A

E ＋AC

04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）

A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等

B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE

＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）

07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .

⑴求证：BE ⊥AC ；

⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗证明你的判定. 08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD

的中线.求证：AC ＝2AE .

09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE

＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.

A

B

E

D

C F

第6题图 2

1

A B

C E N

M 3

2

1

A

D

E B

C

F

A D

E

C

O

A E

O B

F

C

D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A

B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

A B C D E

10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，

∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .

⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;

⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；

⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。 11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13, 求BC 边上的中线AD 的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE ＝AD ，再连接BE ，把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可

以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF .

求证：BE ＋CF ＞EF ；

⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC 中，∠B ＋∠C ＝180°，DB ＝DC ，∠BDC =120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并加以证明.

12．（北京）如图，已知△ABC . ⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连接AD 、

AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB ＋AE .

13．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH 于G. 求

证：GD ＝GE . 14．已知，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，BA ＝BC ＝

120°，∠MBN ＝60°, ∠MBN 绕B 点旋转，DC （或它们的延长线）于E 、F.

当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时，如图1＋CF ＝EF ；（不需证明）

当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明.

D

A B C F

N

E

M D 图1

A

B C

F

N E M D

A

B C F N

E

M 图2

图3 A F D F C B E

D A C B E

A C

B 图① 图② 图③ A

B E F

C

D A

E B F

C

D

第02讲 角平分线的性质与判定

考点·方法·破译

1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析

【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN

【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.

证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2 在△OBD 与△OAD 中，12OB OA

OD OD =??

∠=∠??=?

∴△OBD ≌△OAD

∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】

01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上. 02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM

＝PN 【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝1

2

(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数

【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，

又由AE ＝1

2

(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.

或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.

解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，

∴CE ＝CF

在Rt △CFA 和Rt △CEA 中，CF CE

AC AC =??=? ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE

又∵AE ＝

1

2

(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90° 在△CEB 和△CFD 中，CE CF

F CEB DF BE =??

∠=∠??=?

，∴△CEB ≌△CFD

∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°. 【变式题组】

第2题图

第4题图01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求

ACD

CBD

S S ?? 02．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC 对角

线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.

【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12

BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ，因而可以考虑过点D 作BC 的垂线或延长CE 从而构造全等三角形.

证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∠BEF ＝∠BEC

∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ，∴CE ＝1

2

CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°，

∴∠1＝∠3

在△ABD 和△ACF

中，13AB AC

BAD CAF ∠=∠??

=??∠=∠?

，∴△ABD ≌△ACF

∴BD ＝CF ∴CE ＝

12

BD 【变式题组】

01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .

02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 平分线，AD 、CE 相交于点F .

⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .

演练巩固·反馈提高

01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD

＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）

A ．13mn

B ．1

2

mn C ． mn D ．2 mn

02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；

④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个

A ． 1

B ．2

C ．3

D ．4

03．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、

S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ）

A ． ①③

B ．②③

C ．①②

D ．①②③

04．如图，△AB ＝AC ，AD 平分∠AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，

AD B 、C 的距离相等；②AD 上

任意一点到AB 、AC AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠

BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④

05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平

第4题图

第5

题图

分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ）

A ．50°

B ．45°

C ．40°

D ．35°

06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给

出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）

A ．①②③④

B ．①②③

C ．①②④

D ．②③④

07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）

A ．点P 到△ABC 三边的距离相等

B ．点P 在∠AB

C 的平分线上

C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°

D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝1

2

∠P

08．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、

AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

09．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD

平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个

10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q

到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF 12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，⊥于点F .求

证：AD ⊥EF . 培优升级·奥赛检测

01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）

A ．一处

B ．二处

C ．三处

D ．四处 02．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，

则D 到AB 边的距离为（ ）

A ．18

B ．16

C ．14

D ．12

03．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：

DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________

04．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝，则∠BPD ＝

__________ 05．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠的平分线的交

点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于__________

06．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：

∠G ＝12

(∠ACB －∠B ) 07．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 一点.求

证:AB －AC ＞DB －DC 08．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC BQ ＋AQ ＝AB ＋BP

第3讲轴对称及轴对称变换

考点·方法·破译

1．轴对称及其性质

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.

轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

2．线段垂直平分线

线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；

②数量关系——平分.

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.

经典·考题·赏析

【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）

【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.

【变式题组】

01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）

02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；

然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）

【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.

【变式题组】

01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3

02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.

03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.

【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°

【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD

＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故选D.

【变式题组】

01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.

若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）

A．70°B．65°C．50°D．25°

02．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________. 03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗请说明理由.

⑵实践与运用：

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；

再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小.

【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF 交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．

【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．

证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4

【变式题组】

01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．02．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．

03．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．

04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，

则△ABC的周长是___________cm．

【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．

【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF 如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示．【变式题组】

01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．

02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

⑵涂黑部分成轴对称图形．

如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）

【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短

【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM 为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．

解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点M，则点M为所求，下面证明此时的AM＋BM最小．

证明：在CD上任取与M不重合的点M’，

∵AA’关于CD对称，∴CD为线段AA’的中垂线，

∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，

∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，

即AM＋BM最小．

【变式题组】

01．（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）

02．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．

演练巩固·反馈提高

01．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（）．

A．48°B．54°C．74°D．78°

02．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

03．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）

A．80°B．85°C．95°D．110°

04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）

A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）

C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）

05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（）

A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）

06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（）A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－1

07．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．

08．（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2. 09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________. 10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．

11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球请画出A球经过的路线，并写出作法．

12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．

13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形

的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）

培优升级·奥赛检测

01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P 的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点

P

，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……P n与P重合，4

则n的最小值是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

02．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．

⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC关

于y轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；

⑵如果点P的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P1，点P1关于

直线l的对称点是P2，求PP2的长．

03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．

04．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB 分别与线段CF、AF相交于P、M．

⑴求证：AB＝CD；

⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，

并说明理由．

05．在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC边的对称点为A’，点B关于AC边的对称点为B’，点C关于AB边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．

06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P

距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对1

称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以l为对称轴跳至P1点；

⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）

⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a＝8，b＝6，c＝3，计算这时它与A的距

离是多少

07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．

⑴若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝___________时，△PAB 的周长最短； ⑵若C （a ，0），D （a ＋3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝___________时 ，四边形ABCD 的周长最短；

⑶设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短若存在，请求出m ＝___________，n ＝___________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

第4讲 等腰三角形

考点·方法·破译

1．等腰三角形及其性质

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）

2．等腰三角形的判定

证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．

3．构造等腰三角形的常用方法

⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形

经典·考题·赏析

【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底

角为________________.

【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．

解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD ＝400，∴∠A ＝500

∴∠B ＝∠ACB ＝

如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD ＝400，∠DAC ＝500 ∴∠DAC ＝∠B ＋∠ACB ＝2∠B

∴∠B ＝∠ACB ＝250，故填650或250. 【变式题组】 01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC 中，AB ＝AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15

和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A .7 B .11 C .7或11 D ．7或10

02.（黄冈）在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为500，

则∠B ＝___________度．

03.（襄樊）在⊿ABC 中，AB ＝AC ＝12cm ，BC ＝6cm ,D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以

每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t ＝_________秒时，过D 、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 【例２】 如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，AD ＝BD ＝

BC ，求∠A 的度数．

【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，

C

A B

D

A B C

D P

E 用方程的思想求角的度数．

解：设∠A ＝x ,

∵BD ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ＝x ， ∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∵BD ＝BC ，∴∠C ＝∠BDC ＝2x ， ∵AB ＝AC ，∴∠ C ＝∠ABC ＝2x ，

∵在△ABC 中, ∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180° ∴x ＋2x ＋2x ＝180°， x ＝36°，∴∠A ＝36°． 【变式题组】

01．如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝BC ,AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数． 02．如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ ED ＝EA ，求∠A 的大小．

【例３】 已知坐标原点O 和点A （2，－2），B 是坐标轴上的一点．若⊿AOB 是等腰三角形，则这样的点B 一共有（ ）个

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8 【解法指导】 ⊿AOB 是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO ＝OB ,②OA ＝AB ,③BA ＝BO ,又∵B 是坐标轴上的点．要考虑x 轴与y 轴两种情况．

解：①如图1，当OA 是底边时，B 在OA 的中垂线上，又B 在坐标轴上，因而B 是OA 中垂线与坐标轴的交点；

②如图2，当OA 为腰时，若O 为顶点，则B 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点；

③如图3，当OA 为腰时，若A 为顶点，则B 在以A 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点.故选D .

【变式题组】

01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，－3），点P 是y 轴上一点，则

使⊿AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个 02．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，0),点B 的坐标是（0，

），点C 在坐

标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足

条件的点C 有_________个．

03.（南昌）如图，已知长方形纸片

ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG ＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

04．（济南）如图所示，矩形

ABCD 中，AB ＝4，BC ＝，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点

（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共

有（ ）

第2题图 第3题图 第4题图

B

M

D

(例4题图)

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【例４】 （枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．

【解法指导】 判断⊿MEC 为等腰直角三角形，M 为直角顶点，即想证∠EMC ＝900，而⊿ABD 为等腰三角形，M 是BD 的中点，若连接AM 则有∠AMD ＝900,因而只需证∠DME ＝∠AMC ,利用全等三角形即可．

解：EMC △的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接AM ，由题意得：

90DE AC DAE BAC =+=?，∠∠．

90DAB ∴=?∠． 又DM MB =Q ，

1

452MA DB DM MAD MAB ∴====?，∠∠．

10590MDE MAC DMA ∴==?=?，∠∠∠． EDM CAM ∴△≌△．

DME AMC EM MC ∴==，∠∠．

又90DME EMA +=?∠∠，

90EMA AMC ∴+=?∠∠． CM EM ∴⊥．

所以ECM △的形状是等腰直角三角形． 【变式题组】

01．如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点,以P 为直角顶点的两边分别与边

AB 、AC 交于点E 、F ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，⊿PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由．

02．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝900，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 垂足为E ，过点B 作

BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ． ⑴求证：AD ⊥CF ;

⑵连接AF ，试判断⊿ACF 的形状，并说明理由．

03．如图，⊿ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ,CO 为中线．现将一直角

三角板顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC 、CB 的延长线于点G 、H ．

⑴试写出图中除AC ＝BC ,OA ＝OB ＝OC 外其他所有相等的线段； ⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．

【例５】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； ⑵如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，

1

2

DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对

边四边形；

⑶在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且

1

2

DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的

结论．

【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．

解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等 ⑵答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形； ⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．

证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点．

∵∠DCB ＝∠EBC ＝∠A ，BC 为公共边，

∴△BCF ≌△CBG ， ∴BF ＝CG ，

∵∠BDF ＝∠ABE ＋∠EBC ＋∠DCB ，∠BEC ＝∠ABE ＋∠A ，

∴∠BDF ＝∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， ∴BD ＝CE

∴四边形DBCE 是等边四边形．

证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB ＝∠DBC ，CF 交BE 于F 点． ∵∠DCB ＝∠EBC ＝∠A ，BC 为公共边，

∴△BDC ≌△CFB ，

∴BD ＝CF ，∠BDC ＝∠CFB ， ∴∠ADC ＝∠CFE ，

∵∠ADC ＝∠DCB ＋∠EBC ＋∠ABE ，∠FEC ＝∠A ＋∠ABE ， ∴∠ADC ＝∠FEC ， ∴∠FEC ＝∠CFE ，

∴CF ＝CE ，∴BD ＝CE ，

∴四边形DBCE 是等边四边形． 【变式题组】

01．如图，在ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 为∠BAC 的平分线．求证：AC ＝AB ＋BD .

02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝1050，∠ABC ＝∠ADC ＝450，

若AB ＝2，求CD 的长． 03．如图，在ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，F 在AC 延长线上，BD ＝CF ．求证DE ＝EF . 【变式题组】

01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为

（ ）

A ．200

B ．1200

C ．200或1200

D ．3600 02．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（ ）

A ．9

B ．15

C ．15

D ．12或15

图1 图2