椭圆焦点三角形面积公式的应用

定理在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是

椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2

tan 22

b S PF F =?

证明：记2211||,||r PF r PF ==.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r -+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r

由任意三角形的面积公式得：

2tan 2

cos 22cos

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θθ?=?=+?==

?b b b r r S PF F .

tan 221θ

b S PF F =∴?

同理可证，在椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.

典题妙解

例 1 若P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求

△21PF F 的面积.

解法一：在椭圆

164

1002

2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF ==

Θ点P 在椭圆上，

∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r

.144340021=-∴r r 从而.3

256

21=

r r .3

36423325621sin 212121=??==

?θr r S PF F 解法二：在椭圆

1641002

2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3

6430tan 642

tan

221=

?==∴?θ

b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

例2 已知P 是椭圆19

252

2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦

2121=

，则△21PF F 的面积为（） A. 33 B. 32 C. 3

3 解：设θ=∠21PF F ，则2

|||cos 2121=

PF PF θ，.60?=∴θ .3330tan 92

tan

221=?==∴?θ

b S PF F

故选答案A.

例3（04湖北）已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P

在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距

离为（）

A. 59

B. 779

C. 4

或779

解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4

92=a b ；

若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92

tan 22

=?==?θ

b S PF F ，

又,7)2(2

h h c S PF F =??=?

97=∴h ，.7

h 故答案选D. 金指点睛

1. 椭圆124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△

21PF F 的面积为（）

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

2. 椭圆14

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面

积为1时，21PF ?的值为（）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6

3. 椭圆14

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面

积最大时，21PF ?的值为（）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 2-

4．已知椭圆1222

=+y a

x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且

?=∠6021PF F ，则||||21PF PF ?的值为（）

A ．1

B ．3

C ．3

D ．3

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为?90，△21PF F 的面积是20，离心率为3

，求椭圆的标准方程.

6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且

|||212

1-=?PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.

参考答案

1. 解：24,90221=?==∠b PF F θ，∴2445tan 242

tan 22

=?==?θ

b S PF F .

故答案选D.

2. 解：设θ=∠21PF F ，Θ 12

tan 2tan 22

===?θθb S PF F ，∴

?=?=90,452

θθ

，

021=?PF PF .

故答案选A.

3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ，Θ 2

tan 2tan 22

θ==?b S PF F ，

∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，

这时点P 为椭圆短轴的端点，?=120θ，

∴2120cos cos ||||22121-=?=?=?a PF PF PF θ.

故答案选D.

4．解：?==∠6021θPF F ，1=b ，3

330tan 2

tan 22

?==?θ

b S PF F ，又Θ||||4

sin ||||2121212

PF PF PF PF S PF F ?=

?=?θ， ∴

33||||4321=?PF PF ，从而3

4||||21=?PF PF . 故答案选C.

5. 解：设θ=∠21PF F ，则?=90θ. Θ 2045tan 2

tan 2222

==?==?b b b S PF F θ

，

又Θ3

22=-=

=a b a a

c e ， ∴95122=-a b ，即95

2012=-a

解得：452=a .

∴所求椭圆的标准方程为

1204522=+y x 或120

452

2=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴?=-=?=

120,21

|||cos 212

1θθPF PF . 3360tan 2

tan

22221==?==?b b b S PF F θ

，∴1=b .

又Θ33

42=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或3

c . 当3=c 时，22

=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422

=+y x ；

当3

3=c 时，3322

2=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13

422=+y x ；

但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，?=60θ，不合题意.

故所求的椭圆的标准方程为14

=+y x .