《基于MATLAB的高等数学问题求解》学习笔记

第六章：函数，极限与连续的MATLAB

1 映射与函数。

（1）集合（更多的是用于数组间的运算）：ismember（一个个元素判断是否是子集，返回一个数组）；intersect（求交集，返回结果数组）；setdiff(a,b)（求差集，属于a不属于b的数组）；union （求并集）。

（2）函数：定义方法：y=@(x)f(x)；syms x y=f(x)；y=sym(‘f(x)’);

求反函数：finverse(f,t)；求复合函数f(g(x))：y=compose(f,g)；

2 求极限。

（1）求数列极限：limit(xn, n, inf)；limit(xn, inf)。

（2）求函数极限：limit(fx, x, x0(, ‘left’) )；limit(fx, x, inf)。

3 函数的连续性与间断点。

（1）判断连续性的函数代码：P144。

（2）判断x0是否是函数f(x)的间断点的函数代码：（P146，文件夹MATLAB学习中的程序储存里）。

实际应用中，可以根据绘图来判定是否是间断点。

（3）求函数区间的方法：P215。

第七章：导数与微分的MATLAB求解

1 导数求解：

diff(fx,x,n)后面2个可以省略，则是求导函数；

隐函数的导数求解见P156的2个例子；稍微总结就是把y定义为y=sym(‘y(x)’)，然后定义隐函数的表达式为F=…，把表达式等号右侧置为0，左侧为F函数表达式，之后：diff(F,x)。

参数方程确定的函数的导数P157。

2 洛必达法则：P168.

3 泰勒公式：

P172.另外，MATLAB有taylor(fx,x,n,a)。MATLAB提供了泰勒级数逼近分析界面：taylortool，

4 函数的凹凸性与曲线的单调性：

求函数单调区间及各个区间单调性的判定：P175。

求凹凸性与拐点的程序：P179。

求方程实根从而可以进行一些特殊数值表达式的求解（比如（-8）

^(1/3)的求解）的函数代码：P176。

5 函数的极值与最值：

求极值点与极值：P182。MATLAB自带求极小值的函数：[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options,p1,p2,……)求在（x1，x2）范围内fun函数的极值，后面几项内容可以不填，那么输出的也只有前面两项了。余下的参数都是与优化有关的参数。在求极值的基础上可以进行最值的求取。

6 曲线的渐近线：

求曲线渐近线的代码：P186。

7 曲线的曲率：

求一般函数和由参数方程确定的函数的曲率的代码：curvature.m

绘制一般函数或者由参数方程决定的函数的渐屈线（曲率圆圆心形成坐标点形成的曲线）的代码：Evolute_Draw.m

8 求方程的近似解（待学习《数值分析》）：

（1）逐步扫描法求根所有可能存在的区间代码：RootInterval.m。（2）二分法在MATLAB上的实现：bisect.m。（EZPLOT即：Easy to use function plotter。它是一个易用的一元函数绘图函数。特别是在绘制含有符号变量的函数的图像时，ezplot要比plot更方便。因为plot绘制图形时要指定自变量的范围，而ezplot无

需数据准备[1]，直接绘出图形。）

（3）牛顿法及其在MATLAB上的实现：newton.m。

（4）MATLAB自带求解函数，求解一元函数的零点：[x, fval, exitflag, output]=fzero(fun, x0, options, p1, p2, ……)；

求fun函数的零点，x0是初始值，可以是标量也可以是长度为2的向量，options是设置的过程参数，p1，p2是附加参数，x 是返回的根，fval是根x处的目标函数值，exitflag表明解存在的情况。注：xlim的代指功能，可以直接代指上次使用的取值范围。

9 导数的数值求解（待学习《数值分析》）：

（1）插值型求导公式：polyfit函数：

Polyder函数：

k = polyder(p)返回多项式p的导数表达式的系数。

k = polyder(a,b)返回多项式a和b乘积的导数表达式系数。

[q,d] = polyder(b,a)返回多项式b/a的分子q和分母d。

求出插值函数并求在xi处n阶导的程序：poly_str.m。

（2）中心差分公式：仍用diff公式来求。自编函数：diff_ctr.m。

第八章：积分的MATLAB求解

1 不定积分与定积分求解与一部分应用：

（1）MATLAB：int(fx, x)。MATLAB自带求定积分函数：int(fx, x, a, b)。在[a，b]区间上的定积分。

（2）自编求解定积分的函数：int_geo.m。

（3）使用定积分求平面图形面积（平面坐标与极坐标）：

GraphicArea.m。

（4）求两个函数交点从而确定区间的方法：CrossPoint.m。

（5）求立体体积并绘制出来：SolidVolume.m（求立体体积，其中包含子函数DrawSolid用来绘制图形）。

（6）平面曲线弧长计算（由参数方程表示的函数曲线，在直角坐标与曲线坐标下实现）：ArcLength.m。

2 反常积分：

（1）积分区间涉及到无穷大的积分称为反常积分，可以收敛也可以发散：int(fx, x, -inf, a)；int(fx, x, a, inf)。

（2）无界函数（存在瑕点）的反常积分：任然使用int函数。

（3）Γ函数（意义以及用途？）求积分：gamma(x)，x为自变量的值，必须是实数。

3 积分的数值求解（待学习《数值分析》）：

（1）定积分的数值求解：a.插值型求积方法Newton-Cotes公式（存在原理上的不理解，待学习《数值分析》）：InterpolatoryQuad.m。

polyfit函数是matlab中用于进行曲线拟合的一个函数。其数

学基础是最小二乘法曲线拟合原理。曲线拟合：已知离散点上

的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其

图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值。调用方

法：polyfit(x,y,n)。用多项式求过已知点的表达式，其中x为源数据点对应的横坐标，可为行向量、矩阵，y为源数据点对应的纵坐标，可为行向量、矩阵，n为你要拟合的阶数，一阶直线拟合，二阶抛物线拟合，并非阶次越高越好，看拟合情况而定。

对之进行精确度上的改进，使用各种复化求积公式：程序见ComplexQuad.m。

（2）高斯求积方法：程序见Gauss_legendre.m。

（3）MATLAB自带定积分数值求解函数：trapz(x,y,dim)基于复化梯形公式编写的；quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,……)辛普森法设计，还有更高精的quad1函数。

quad用的是Simpson积分法，在低精度的非光滑曲线计算中是最有效的。而quadl用的是Lobatto积分法，在高精度的光滑曲线计算中更为高效。

（4）反常积分的数值求解：a.遇到无界函数的反常积分时，优先使用MATLAB自带函数；b.无穷限的反常积分的无穷区间逼近法：求解程序：quad_inf.m。c.使用变量替换的方法把无穷区间变为有限区间的积分然后求解。d.MATLAB自带函数：

[q,errbnd]=quadgk(fun,a,b,param1,vall,param2,val2……)

第九章：级数的MATLAB求解

1 常数项级数及其审敛法

常数项级数（这里假设所有项均>=0）及其审敛法：

a.与等比级数比较：比值审敛法与根值审敛法，基于以上2种

方法的程序：PositiveIermSeries.m。

b.基于与p级数比较得出的审敛法，程序：LimitSeries.m。

c.交错级数审敛法：AlternatingSeries.m。

2 幂级数

（1）求幂级数的收敛半径（关于界点处的收敛情况要视情况而定）：ConvergenceRadius.m。

（2）函数展开成幂级数：MATLAB自带的taylor求解.

3 傅里叶级数（展开成三角级数）：

（1）函数的傅里叶级数的符号求解程序：fseriessym.m；利用数值积分求解傅里叶级数的程序：fseriesquad1.m。

（2）正弦级数与余弦级数（与函数的奇偶性有关，奇函数为正弦函数，偶函数为余弦函数，返回函数的性质）：fseries.m。

4 级数求和与序列求和。

（1）常数项级数求和：MATLAB：symsum(s,v,a,b)来求。

（2）幂级数求和也是用symsum来求。

（3）序列求和经过变化后借用symsum求和。

第十章：代数方程组的MATLAB求解

1 线性方程组的求解。

（1）克莱姆法则的实现（求解恰定方程组）：Cramer.m。程序中用到了MATLAB自带的函数det(A)，求解行列式A的值。运行速度极慢。

（2）消去法及其MATLAB实现：A.上三角方程组的求解：TRIUEQU.m。B.高斯消去法：Gauss.m。C.矩阵分解法（LU分解）：LU_Equ.m。D.迭代法（各种迭代法的集大成，查阅数值分析）：Equ_iter.m。E.MATLAB自带求通解的函数（只能求线性方程组）：null()（需要查阅线性代数相关书籍。）G.非齐次线性方程组求解：g1：恰定线性方程组：逆矩阵法：x=inv(A)*b；

左除法：x=A\b（这个好些）。g2:欠定线性方程组：左除法与伪逆法求特解，用null函数求通解。g3：超定线性方程组：（求最小二乘解）左除法：x=A\b；伪逆法：x=pinv(A)*b。（求非负最小二乘解）x=lsqnonneg(A,b)。综合的程序见LinearEqs.m（有具体求解通解以及特解的方法）。

2 多项式方程组的准解析解法：

用solve函数求解，要求内部是符号变量。

3 超越方程组的求解。

（1）牛顿法（查阅数值分析）及其MATLAB实现：Newtons.m。（2）超越方程组的MATLAB自带函数求解：使用fsolve函数，其参数类似于fzero函数。arrayfun函数用于对数组中每个元素进行相同的函数操作。

第十一章：向量代数与空间解析几何的MATLAB求解

1向量及其线性运算

（1）向量的绘制函数：P290（欠缺绘图函数）。

（2）MATLAB自带norm函数计算向量的模或者两点间的距离，鉴于不支持符号量的输入，编写了新的程序：P293。

（3）求向量方向余弦的函数（绘制或者计算）：P295。

2 数量积，向量积与混合积

（1）两向量的数量积：dot(a,b)。

（2）两向量的向量积：cross(a,b)。

（3）两向量的混合积：（a×b）·c。

3 曲面及其方程

（1）绕x轴旋转方程为：f(x，±√y2+z2)=0，，绕y轴旋转方程为：f(y，±√x2+z2)=0，绕z轴旋转方程：f(±√x2+y2,z)=0。（2）MATLAB中提供了cylinder(r,n)函数来绘制绕z轴旋转的曲面。

更具有一般性的函数：P303。（没看懂，待复习绘图后看）（3）绘制柱面函数：P304。

（4）绘制二次曲面的MATLAB函数：P307。（没看懂，待复习绘图后看）

4 空间曲线及其方程

（1）

第十二章：多元函数微分学的MATLAB求解1多元函数的基本概念。

（1）多元函数在MATLAB中的定义方法：P323，建议使用syms x,y,z……f=……；f=(‘’)；f=@(x,y,z)……。

（2）多元函数的极限求法：P326，求2次limit，一次求x0的，一次求y0的。

（3）多元函数连续性的定义。

2偏导数

求解程序：PartialDerivative.m。也可以用MATLAB中的diff函数P333，diff还可以求复合函数的偏导数。

隐函数的偏导数求解：P335——隐函数的存在定理以及求解公式。相

=F=-diff（f,xj）/diff（f,xi）。

应的MATLAB语句为：?xi

?xj

多个隐函数确定的偏导数求解公式以及隐函数存在定理P335。求解雅克比矩阵的方法：jacobian(f,v)。

两个二阶混合偏导数相等。

理解偏导数的几何意义。MATLAB中simple函数用来获取化简之后的最简表达式。

3全微分的求法

4多元函数的集合应用

绘制空间曲线在某点处的切线以及法平面：TangentNormPlane.m。适用于xyz均用参数t来表示，即用参数方程来表示。可以将其他形式的空间曲线表达式转化为参数方程形式，再进行求解。

绘制曲面上某点处的切平面和法线：TangentPlaneNormLine.m。

5方向导数与梯度

=（1）计算方向导数：DirectionalDerivative.m。使用公式为：?f

?l fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ.

（2）dot函数：如果a,b均为实数的情况下，dot（a,b）与dot（b，

a）并无区别；但是在复数范围内取值，就是不同的情况了，MATLAB中的dot为内积函数，其定义为dot(A,B)= A'*B，即A的共轭转置乘以B，那么显然在复数范围内，dot(A,B)和dot(B,A)就是两个不同的向量了。

（3）matlab中三角函数sin、cos、tan等都是以弧度为单位的。如果想用角度有两种方法。一种是用sind、cosd、tand等，他们是角度为单位的另一种就是用deg2rad将角度转换为弧度。（4）梯度的概念及计算P346。

6多元函数的极值

（1）求二元函数的极值与极值点：Extremum2.m。MATLAB自带函数求取多元函数的极值：fminsearch(fun,x0,options,p1,p2)与fminunc(fun,x0,options,p1,p2)

（2）加ez的是处理符号函数的，不加ez的是处理数值函数的。mesh 的调用格式是mesh(X,Y,Z)，其中X Y Z都必须是数值矩阵；

ezmesh的调用格式是ezmesh(FUN,DOMAIN)，FUN为函数表达式，DOMAIN为自变量的取值范围。

（3）条件极值求法：P350。MATLAB自带公式：fmincon.m（参数太多，未懂）。

7多元函数的泰勒公式：mtaylor.m。

8最小二乘法及其MATLAB实现

通用最小二乘法求解程序:Least_square.m。实质就是在整个定义域范围里，函数拟合时使得函数算出来的值与该点真值的差最小。MATLAB中提供的求解最小二乘法类的函数：lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)。x0是最优化的初始值，该初值的选取要靠反复试验得出，最常见的是，第一步随意给一个，算出参数后，代入猜测的数据点的x值，以此为初值再次进行计算。

第十三章：重积分的MATLAB求解

1二重积分。

（1）计算：dbldefinition.m。

IN = inpolygon(X,Y,xv,yv)X,Y是待判断点的X和Y坐标，xv 和yv是多边形的顶点坐标，要顺时针或者逆时针饶一圈的，也就是xv(1)和xv(end)，yv(1)和yv(end)是同一个值；IN是逻辑

量，1表示在多边形内，0表示在外面。

（2）二重积分的计算重要的是确定积分限，之后用2次int函数即可计算。

（3）fil（x1,y1,选项1，x2,y2,选项2，······）按向量元素的下标渐增次序依次用直线段连接x,y对应元素定义的数据点。假如这样连线所得的折线不封闭，那MATLAB会自动将折线首尾连接起来，形成封闭多边形。然后在多边形内部涂满指定颜色。（4）采用换元法进行计算，公式：

2三重积分

（1）进行三次积分运算，关键还是积分限的确定。理解代数限定法。（2）三重积分的换元法。公式见PPT。

3曲线积分

（1）第一类曲线积分的计算：ArcCurveInt.m。

（2）第二类曲线积分：CoordinateCurveInt.m。

4曲面积分，2类，见讲解视频。

5重积分的数值计算

（1）MATLAB矩形区域二重积分计算：dblquad(fun,a,b,c,d)。还可以继续设定参数进行运算。

（2）MATLAB一般区域二重积分计算：quad2d(fun,a,b,c,d)，余下同上（效率最高）。也可以使用2次quad1函数进行计算。直接2次int，再用一次vpa函数。也可以使用区域延拓法（效率最低）。

（3）三重积分数值计算：使用MATLAB自带：triplequad(fun,a,b,c,d,e,f)函数。也可以直接3次int。

第十四章：常微分方程的求解

1几种常用微分方程的求解

（1）可分离变量方程的求解：SeparableVarseDe.m。

（2）齐次方程求解：HomogenDE.m。

（3）一阶线性微分方程求解套公式：

（4）伯努利方程的求解向一阶线性微分方程公式靠近，通过引入一个新的因子z进行变换。

（5）可降阶的高阶微分方程：。使用：ReduceDE1.m。

还可以解决以及类型的微分方程。

2高阶线性微分方程

（1）线性微分方程解的结构。

（2）MATLAB使用dsolve函数求解微分方程组。

3一阶微分方程初值问题的数值解

（1）数值分析里的Euler法：Explicit_Euler.m。

（2）经典4阶龙格库塔法：Classical_RK4.m。

4一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解

（1）将第三节的单个一阶微分方程中的x，y代为向量，即可表示一阶微分方程组，解法：四阶龙格库塔法：Classical_RK4s.m。（2）高阶微分方程组解法：先化为一阶微分方程组问题，具体讲解见PPT。

（3）MATLAB自带函数：ode系列函数：

[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0,options,p1,p2……)。参数解释：odefun代表等号右边表达式所组成的数组，tspan代表取值范

围，y0代表初值，options代表优化方法,p代表方程中的参数. 5边值问题的数值解

（1）线性方程边值问题的打靶法求解：lineshoot.m。

（2）非线性方程边值问题的打靶法，引入了牛顿迭代法进行求解：nlshoot.m。具体是利用了迭代公式：

（3）边值问题的MATLAB求解：

依次调用3个函数：bvpinit();bvpsolver();deval()。

第十五章：积分变换的MATLAB求解

1傅里叶变换

（1）MATLAB自带函数求取方法：求傅里叶变换fourier(fx,x,w);求逆傅里叶变换：ifourier(Fx,w,x)。

若令y=heaviside(x)则当x<0时，y的值为0；当x>0时，y 的值为1；当x等于0时，y=0.5。这是一个单位阶跃函数。