江苏省苏州市数学中考试卷(解析版)

2011年江苏省苏州市中考数学试卷—解析版

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1、（2011?苏州）2×（﹣）的结果是（）故选B．

A、﹣4

B、﹣1

C、

D、

2、（2011?苏州）△ABC的内角和为（）

A、180°

B、360°

C、540°

D、720°故选A

3、地球上的海洋面积约为361000000千米2，将361000000这个数用科学记数法表示为（）

A、3.61×108

B、3.61×107

C、361×107

D、0.361×109 故选A

4、（2011?苏州）若m?23=26，则m等于（）

A、2

B、4

C、6

D、8 故选：D，

5、（2011?苏州）有一组数椐：3，4，5，6，6，则下列四个结论中正确的是（）

A、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，6

B、这組数据的平均数、众数、中位数分别是5，5，5

C、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，5

D、这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，6，6

解答：解：一组数椐：3，4，5，6，6的平均数=（3+4+5+6+6）÷5=24÷5=4.8．

6出现的次数最多，故众数是6．按从小到大的顺序排列，最中间的一个数是5，故中位数为：5．故选C．

6、（2011?苏州）不等式组的所有整数解之和是（）故选B

A、9

B、12

C、13

D、15

7、（2011?苏州）已知，则的值是（）故选D．

A、B、﹣C、2 D、﹣2

8、（2011?苏州）下列四个结论中，正确的是（）故选D．

A、方程x+=﹣2有两个不相等的实数根

B、方程x+=1有两个不相等的实数根

C、方程x+=2有两个不相等的实数根

D、方程x+=a（其中a为常数，且|a|＞2）有两个不相等的实数根

9、（2011?苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）故选B．

考A、B、C、D、

10、（2011?苏州）如图，巳知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（）故选B．

A、3

B、

C、4

D、

分析：根据三角函数求出点B的坐标，代入直线y=x+b（b＞0），即可求得b的值．解答：解：由直线y=x+b（b＞0），可知∠1=45°，

∵∠α=75°，∴∠ABO=180°﹣45°﹣75°=60°，∴OB=OA÷tan∠ABO=．∴点B的坐标

为（0，），∴=0+b，b=．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.

11、（2007?丽水）因式分解：a2﹣9=-------------．．

解答：解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．

12、（2011?苏州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点0．若AC=6，则线段AO的长度等于------------．

解答：解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=6，∴AO=AC=×6=3．故答案为：3．

14、（2011?苏州）函数y=的自变量x的取值范闱是--------

解答：解：根据题意得到：x﹣1＞0，解得x＞1．故答案为：x＞1．

15、（2011?苏州）巳知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于-------------------

解答：解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，

∴ab=﹣1，a+b=2，∴（a﹣b）（a+b﹣2）+ab=（a﹣b）（2﹣2）+ab，=0+ab，=﹣1，16、（2011?苏州）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC

CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于-----

解答：解：∵CD与⊙O相切，切点为D，∴CD2=BC?AC，即CD2=BC?3BC=3，解得：BC=1．故答案是：1．

17、（2011?苏州）如图，巳知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于------（结果保留根号）．

分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．

解答：解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=，∵AB=2AD，S△ABC=，∴S△ADE=，在△EAD中，连接HF，则∠AFH=45°，∠EFH=30°，设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．又∵S△ADE=，∴AE=1，∴x+x=1，解得x==．

18、（2011?苏州）如图，已知点A的坐标为（，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C

为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是--------（填”相离”，“相切”或“相交“）．

解答：解：∵已知点A的坐标为（，3），AB=3BD，

∴AB=3，BD=1，∴D点的坐标为（，1），∴反比例函数y=解析式为：y=，

∴AO直线解析式为：y=kx，3=k，∴k=，∴y=x，∴直线y=x与反比例函数

y=的交点坐标为：x=±1，∴C点的横坐标为1，纵坐标为：，CO=2，∴AC=2﹣2，∴CA的倍=，CE=，∵﹣

=﹣＞0，∴该圆与x轴的位置关系是相交．故答案为：相交．

三、解答题：本大題共11小题，共76分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.

19、（2011?苏州）计算：22+|﹣1|﹣．解答：解：原式=4+1﹣3=2．

20、（2011?苏州）解不等式：3﹣2（x﹣1）＜1．∴x＞2．

21、（2011?苏州）先化简，再求值：（a﹣1+）÷（a2+1），其中a=

解答：解：原式=（）?，=?，=，当a=﹣1时，原式==．

22、（2011?苏州）已知|a﹣1|+=0，求方裎+bx=1的解．

解答：解：∵|a﹣1|+=0，∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2．∴﹣2x=1，得2x2+x ﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=．经检验：x1=﹣1，x2=是原方程的解．∴原方程的解为：x1=

﹣1，x2=．

23、（2011?苏州）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．

（1）求证：△ABD≌ECB；

（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数．

考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质。

分析：（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌ECB．

（2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB，在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB；

（2）∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，

∴∠DCB=90°﹣∠EDC=25°．

24、（2011?苏州）如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同（1）一只自由飞翔的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率；

（2）现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少（用树状图或列表法求解）？

解答：解：（1）P（小鸟落在草坪上）==；

（2）用树状图或列表格列出所有问题的可能的结果：

所以编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率==．

25、（2011?苏州）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为

1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于--------------------；

（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

解答：解：（1）30；（2）由题意得：∠PBH=60°，

∠APB=45°，∵∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，在直角△PHB中，PB==20．在直角△PBA中，AB=PB=20≈34.6米．答：A，B两点间的距离是34.6米．

26、（2011?苏州）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）弦长等于

2（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB 的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．

解答：解：过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°，∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB?cos∠B=2×=，∴AB=2；故答案为：2；

（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，

只能∠DCA=∠BCO=90°，此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，

∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=．

27、（2011?苏州）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于2时，∠PAD=60°；当PA的长度等于2或时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P 点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．

考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形。

分析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB 时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．

解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴PB=2，

则PA=2，∴当PA的长度等于2时，∠PAD=60°；若△PAD 是等腰三角形，则只能是PA=PD，过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，则四边形

EAMP是矩形，∴PM=PE=AB=2，∵PM2=AM?BM=4，∵AM+BM=4，∴AM=2，∴PA=2，

同理可得P在P′时，PA=PB，此时：PA=；∴当PA的长度等于2或时，△PAD 是等腰三角形；

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC 点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，在△PAD，△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴PE2=AE?BE，即b2=a（4﹣a），∴2S1S3﹣S22=4a （8﹣2a）﹣4b2=﹣4b2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．

28、（2011?苏州）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA 边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，

即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是？

分析：①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出=20

（1+）π+，即可得出旋转次数．

解答：解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三

段圆弧，∴顶点O在此过程中经过的路程为：2+=（1+）π，顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：

×2++2××1=1+π．

正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：

3+=（+）π，②正方形纸片OABC经过4次旋转，顶点O 在此过程中经过的路程为：

2+=（1+）π，∴=20（1+）π+，∴正方形纸片OABC经过了81次旋转．

点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．

29、（2011?苏州）巳知二次函数y=a（x2﹣6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG 上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相

等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．

分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．

解答：解：（1）令y=0，由a（x2﹣6x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a，

∴点A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），该抛物线对称轴为直线x=3，∴OA=2，如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，由题意得：O′A=OA=2，

∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°，∴∠OAC=∠O′AC60°，∴，AO=2，即8a=2，

∴a=；

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，

①如图②，设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM，

∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB，又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，

②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FG=3，GB=，∴3≤PB，∵PC≥4，∴PC＞PB，又PD＞PM＞

PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，

如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA=PB，

∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，﹣a），点P的坐标是（3，t），∴PC2=32+（t﹣8a）2，PD2=（t+a）2，由PC=PD得PC2=PD2，∴32+（t﹣8a）2=（t+a）2，

整理得：7a2﹣2ta+1=0有两个不相等的实数根a==，

显然a=满足题意

当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a=，使得线段PA、旁边、PC、PD 能构成一个平行四边形．

点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．