必修2-1 第三章 空间向量与立体几何 知识点详解

必修2-1第三章空间向量与立体几何

知识点详解

3.1 空间向量及其运算

1．空间向量的概念

空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．

2．空间向量的加法、减法和数乘运算

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：

①交换律，即；②结合律，即；③分配律，即及（其中均为实数）． 3．空间向量的基本定理

（１）共线向量定理：对空间向量的充要条件是存在实数，使．

（２）共面向量定理：如果空间向量不共线，则向量c 与向量共面的充要条件是，存在惟一的一对实数，使．

（３）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使．其中是空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底惟一线性表示（线性组合）． 4．两个向量的数量积

两个向量的数量积是，数量积有如下性质： ①（e 为单位向量）；②； ③；④．

数量积运算满足运算律：①交换律，即；②与数乘的结合律，即

；③分配律，即．

a +

b =b +a (a ()()+=+a +b

c a b +c ()λμλμ+a =a +a ()λλλ=+a +b a b λμ，，a b (0)≠，b a b ∥λλa =b ，a b a,b x y ，c =x y a +b x y z p =a +b +c {}，，a b c {}，，a b c cos <> ，a b =a b a b cos <> ，a e =a a e 0? a b a b =⊥2

a a =a a

b a b ≤ a b =b a ()()

λλ a b =a b () a +b c =a c +b c

5．空间直角坐标系

若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用

表示；在空间选定一点

O 和一个单位正交基底，可建立一个空

间直角坐标系，作空间直角坐标系时，一般使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）． 6．空间直角坐标系中的坐标运算

给定空间直角坐标系O －xyz 和向量a ，存在惟一的有序实数组使

，则叫作向量a 在空间的坐标，记作

．对空间任一点A ，存在惟一的，点Ａ的坐标，

记作分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标． 7．空间向量的直角坐标运算律

（1）若，则

，，，

，．

（2）若，则．即一

个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

8．直线的方向向量与向量方程

（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，作向量，则

点A 在空间的位置被所惟一确定，称为位置向量．

（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量，再任给一个实数t ，以A

为起点作向量，则此向量方程称为动点

P 对应直线l 的参数

方程，向量a 称为直线l 的方向向量．

3.2 立体几何中的向量方法

1、直线、平面的法向量及向量在平面内的射影

如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面（记作），向量a 叫做平面的法向量．法向量有两个相反的方向．法

{}，，i j k {}，，i j k O xyz -O xyz -123a a a a =i +j +k 123()a a a ，，123()

a a a ，，a =O A x y z =

i +j +k

()A x y z x y z ，，，，，123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =a +b 112233()a b a b a b =+++，，，-a b 112233()

a b a b a b =---，，123()a a a λλλλ=，，a 112233()a b a b a b ，，a b =112233()a b a b a b λλλλ?===∈R ，，a b ∥1122330

a b a b a b ?++=a b ⊥111222()()A x y z B x y z ，，，，，212121()AB x x y y z z =---

，，OA =

a a a a AP t =

a αααa ⊥α

向量的具体应用方法，可以归结为：

2．空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决

（１）设a 、b 分别为直线的一个方向向量，那么； （２）设a 、b 分别为平面的一个法向量，那么； （３）设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为b ，那么． 3．空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究

（１）设a 、b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a 、b ，那么．

（２）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来证明线面平行问题．

（３）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行．高.考-资.源-网 4．在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角 空间角主要有：①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；②线面角：直线AB

与平面所成角为，其中是平面的法向量；

③面面角：二面角的大小为或，其中是两个半

平面的法向量．

斜线与平面所成角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）．与最小角定理联系密切的一个重要公式是，要注意其应用！

5．立体几何中涉及的距离问题较多，如点与线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等，都是学习中的难点，若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定

可利用实现距离与向量之间的转化．设e 是直线l 的一个单

位方向向量，线段AB 在l 上的投影是，则有，由此可求点到

线，点到面的距离问题．

空间距离主要有：①点面距：设n 是平面的法向量，，则B 到的距离为

；②线线距：设n 是两条异面直线的公垂线的向量，若A ，B

分别是在上的任意一点，则的距离为

；③线面距、面面距．与

a b ，0a b ?? a b a b =⊥⊥αβ，0αβ?? ⊥⊥a b a b =l α?⊥∥a b a b ?a b ∥∥αarcsin AB AB

n

n

n αarccos m n m n

arccos π- m n m n

，m n 12cos cos cos θθθ= 2AB AB AB

=

A B ''A B AB ''= e

αA α∈αA B n n

12l l ，12l l ，12l l ，A B n n

前面求法相同．