【高三】高三数学复习第1讲集合与常用逻辑用语2

【关键字】高三

内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：第1讲集合与常用逻辑用

语2

【主干知识整合】

1．集合

(1)元素的特征：确定性、互异性、无序性，元素与集合之间的关系是属于和不属于；

(2)集合与集合之间的关系：集合与集合之间是包含关系和非包含关系，其中关于包含有包含和真包含，用符号?，表示．其中一个集合本身是其子集的子集，空集是任何非空集合的真子集；

(3)集合的运算：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，?UA＝{x|x∈U，且x?A}．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题；

(2)四种命题之间的关系：四种命题是指对“若p，则q”形式的命题而言的，把这个命题作为原命题，则其逆命题是“若q，则p”，否命题是“若綈p，则綈q”，逆否命题是“若綈q，则綈p”，其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系是相互的．3．充要条件

(1)充要条件：若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?q，则p，q互为充要条件；

(2)充要条件与集合：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p?q等价于A?B，p?q 等价于A＝B.

4．逻辑联结词

(1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

(2)带有逻辑联结词的命题真假：命题p∨q，只要p，q有一为真，即为真命题，换言之，只有p，q均为假命题时才为假；命题p∧q，只有p，q均为真命题时才为真，换言之，只要p，q有一为假，即为假命题；p和p为一真一假两个互为对立的命题；

(3)“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是p∧q；命题p∧q的否定是p∨q.

5．量词

(1)全称量词与存在量词；

(2)全称命题和特称命题；

(3)含有一个量词的命题的否定：“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定为“?x∈M，p(x)”．

【要点热点探究】

例1 [2011·陕西卷] 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝x＜，i为虚数单位，x∈R，则M∩N为()

A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]

【解析】对于M，由二倍角公式得y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，故0≤y≤1.对于N，因为x －＝x＋i，由<，得<，所以－1

【点评】本题需要注意两个问题，一是两个集合的含义，二是要注意集合N中的不等式是一个单数模的实数不等式，不要根据实数的绝对值求解．高考考查集合一般是以集合的形式与表示等式的解、函数的定义域、函数的值域等，在解题时要特别注意集合的含义．

【变式题】：若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－y≥0，x2＋y2≤4，x，y∈M}，则N中元素的

个数为( )

A ．9

B ．6

C ．4

D ．2

【解析】 由题意知（0,0），（1,0），（1,1），（2,0）符合，选C.

【探究点二 四种命题和充要条件的判断】

例2 (1)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )

A ．若a ＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a2＋b2＋c2<3

C ．若a ＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D ．若a2＋b2＋c2≥3，则a ＋b ＋c ＝3

(2)对于函数y ＝f(x)，x ∈R ，“y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 (1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选择A 。 (2)由判定充要条件方法之一——定义法知，由“y ＝f(x)是奇函数”可以推出“y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称”，反过来，逆推不成立，所以选B.

【点评】 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于；进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．

【探究点三 逻辑联结词、量词和命题的否定】

例3 (1)[2011·北京卷] 若p 是真命题，q 是假命题，则( )

A ．p ∧q 是真命题

B ．p ∨q 是假命题

C ．p 是真命题

D ．q 是真命题

(2)[2011·安徽卷] 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )

A ．所有不能被2整除的整数都是偶数

B ．所有能被2整除的整数都不是偶数

C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数

【解析】 (1)p 是真命题，则綈p 是假命题；q 是假命题，则綈q 是真命题，故应选D. (2)本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.

【点评】 (1)“或”“且”联结两个命题，这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”命题的真假，其中“或”命题是一真即真，“且”命题是一假即假，“非”是对一个命题的否定，命题与其“非”命题一真一假；(2)否定一个命题就是否定这个命题的结论，即推翻这个命题，这与写出一个命题的否命题是不同的．一个命题的否命题，是否定条件和结论后的形式上的命题，如本题中我们把命题改写为“已知n 为任意整数，若n 能被2整除，则n 是偶数”，其否命题是“已知n 为任意整数，若n 不能被2整除，则n 不是偶数”，显然这个命题是真命题，但这个命题的否定是假命题．

【变式题】：有四个关于不等式的命题：p1：?x0∈R ， ＋x0＋1>0；

p2：?x0，y0∈R ，＋－4x0－2y0＋6<0；p3：?x ，y ∈R ＋，≤；

p4：?x ，y ∈R ，x3＋y3≥x2y ＋xy2.其中真命题是( )

A ．p 1，p 4

B ．p 2，p 4

C ．p 1，p 3

D ．p 2，p 3

【解析】 x 2＋x ＋1＝? ????x ＋122＋34

>0，命题p 1正确；x 2＋y 2－4x －2y ＋6＝(x －2)2＋(y －1)2＋1>0，命题p 2不正确；2xy x ＋y ≤2xy 2xy ＝xy ≤x ＋y 2

，命题p 3正确；x 3＋y 3－x 2y －xy 2＝(x ＋y) (x

－y)2，当x＋y<0时，不等式不成立，故命题p4不正确．故正确选项为C.

【创新链接1 集合中的新定义问题】

以集合为背景的新定义问题，历来是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．

求解集合中的新定义问题，主要抓两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

例4 [2011·广东卷] 设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是( )

A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的

【分析】根据新定义，就是要判断“?a，b∈T，有ab∈T”，“?x，y∈V，有xy∈V”这两个全称命题的真假．

【解析】 A T全部是偶数，V全部是奇数，那么T，V对乘法是封闭的，但如果T是全部偶数和1,3，那么此时T，V都符合题目要求，但是在V里面，任意取的数是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面没有3，所以V对乘法不封闭．排除B、C、D选项，所以“至少一个”是对的．

【点评】集合的创新问题，通常需要弄清题目给出的新定义、新概念、新法则与教材上的知识间的联系，将新的定义、概念、法则转化为“常规数学”问题，然后求解．

【变式题】：

(1)[2011·福建卷] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

(2)设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )

A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a

C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b

【解析】 (1)因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)∈[0]；反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b ＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；

∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.

(2)选项B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，成立；选项C中，b*(b*b)＝b，成立；选项D 中，把(a*b)看做一个整体，记为c，则(a*b)*[b*(a*b)]＝c*(b*c)＝b，成立，故只有选项A 中的结论不恒成立．

规律技巧提炼

1．解答集合有关问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键．其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决．

2．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假的．

3．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．

4．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．

5．特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题．

【教师备用例题】

选理由：例1是对本讲例2的一个补充，即判断充要条件定义外还可以根据等价转化的方法进行；例2是对“且”命题的否定，由于其位置不突出我们在正文中没有给出；例3为一个新定义试题，虽然是2010年的高考试题，但这个题和正文例题4及其变式可以形成对集合中新定义试题的一个题组训练，达到一个较好的效果．

例1 “α≠β”是“sinα≠sinβ”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 B 方法1：由于α＝2π＋β时，α≠β，但此时sinα＝sinβ，故条件是不充分的；由于sinα≠sinβ时，如果α＝β，则sinα＝sinβ，故由sinα≠sinβ?α≠β，故条件是必要的．

方法2：命题“若α≠β，则sinα≠sinβ”等价于命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；由于命题“若sinα≠sinβ，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”，这个命题是真命题，故条件是必要的．

例2 已知命题p：若x>0，y>0，则xy>0，则p的否命题是( )

A．若x>0，y>0，则xy≤0

B．若x≤0，y≤0，则xy≤0

C．若x，y至少有一个不大于0，则xy<0

D．若x，y至少有一个小于或等于0，则xy≤0

【解析】 D 否命题应在否定条件的同时否定结论，而原命题中的条件是“且”的关系，所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”．

例3 设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．

【答案】①②

【解析】设x＝a1＋b1i，y＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2为整数，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i，x－y＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，xy＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i，由于a1，b1，a2，b2为整数，故a1±a2，b1±b2，a1a2－b1b2，a1b2＋a2b1都是整数，所以x＋y，x－y，xy∈S，故集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，①是真命题；若S是封闭集，取x＝y∈S，则根据封闭集的定义，x－y＝x－x＝0∈S，故命题②正确；集合S＝{0}显然是封闭集，故封闭集不一定是无限集，命题③不正确；集合S＝{0}?{0,1}＝T?C，容易验证集合T不是封闭集，故命题④不是真命题．

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