导数复习知识点总结教学内容
导数复习知识点总结
高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单
1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比
值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)
()(00。如果当0→?x 时,x y
??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导
数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。
即f (x 0)=0lim →?x x y
??=0lim
→?x x x f x x f ?-?+)()(00。
说明:
(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y
??不存在极限,就说函数在点x 0
处不可导,或说无导数。
(2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0);
(2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)
()(00;
(3)取极限,得导数f’(x 0)=x y
x ??→?0lim
。
2.导数的几何意义
函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 3.几种常见函数的导数:
①0;C '= ②
()1
;
n
n x
nx
-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;
⑤();x
x
e e '=⑥()ln x
x
a a a '=; ⑦
()1ln x x '=
; ⑧()1
l g log a a o x e x '=.
4.两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即: (.)'
''v u v u ±=±
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则'
''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
.)(''Cu Cu =
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
的平方:??? ??v u ‘=2
''v uv v u -(v ≠0)。
形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|X = y '|U ·u '|X
2010高考数学复习详细资料——导数应用 知识清单
单调区间:一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,
如果'
f )(x 0>,则)(x f 为增函数; 如果'f 0)( 如果在某区间内恒有' f 0)(=x ,则)(x f 为常数; 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a ,b]上连续的函数f )(x 在[a ,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?)(x 在(a ,b)内的极值; ②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数f(x)在区间[a ,b]上连续,用分点a =x0 成n 个小区间,在每个小区间[xi -1,xi]上取任一点ξi (i =1,2,…n )作和式In =∑n i f 1 =(ξi )△x (其中 △x 为小区间长度),把n→∞即△x→0时,和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ,b]上的定积分,记作:? b a dx x f )(,即? b a dx x f )(= ∑=∞ →n i n f 1 lim (ξi)△x 。 这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式: ?dx 0=C ; ?dx x m =1 11++m x m +C (m ∈Q , m≠-1); ?x 1 dx =ln x +C ; ?dx e x =x e +C ; ?dx a x =a a x ln +C ; ?xdx cos =sinx +C ; ?xdx sin =-cosx +C (表中C 均为常数)。 (2)定积分的性质 ①??=b a b a dx x f k dx x kf )()((k 为常数); ②???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(; ③???+=b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()((其中a <c <b )。 (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线x =a ,x =b (a 边梯的面积 ?=b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x =a ,x =b (a a b a dx x f dx x f )()(21。 课前预习 1.求下列函数导数 (1))11(32 x x x x y ++= (2))11)(1(-+=x x y (3) 2cos 2sin x x x y -= (4)y=x x sin 2 (5)y =x x x x x 9532-+- 2.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 3.过点(-1,0)作抛物线 2 1y x x =++的切线,则其中一条切线为( ) (A )220x y ++= (B )330x y -+= (C )10x y ++= (D )10x y -+= 4.半径为r 的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr ,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)`=2πr ○ 1,○1式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于 ○ 1的式子: ; ○ 2式可以用语言叙述为: 。 5.曲线 1 y x = 和2 y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。 6.对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足(x -1)f x '()≥0,则必有( ) A .f (0)+f (2)<2f (1) B. f (0)+f (2)≤2f (1) C .f (0)+f (2)≥2f (1) D. f (0)+f (2)>2f (1) 7.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间 ),(b a 内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个 D . 4个 8.已知函数 ()11ax x f x e x -+= -。(Ⅰ)设0a >,讨论()y f x =的单调性;(Ⅱ)若对任意()0,1x ∈恒有 ()1 f x >,求a 的取值范围。 9. 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是( ) (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 10.设函数f(x)= 32 23(1)1, 1.x a x a --+≥其中 (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值。 11.设函数 3 ()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x (,)、22()x f x (,),该平面上动点P 满足?4PA PB =u u u r u u u r ,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标; (II)求动点Q 的轨迹方程. 12.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 13.计算下列定积分的值 (1)?--3 1 2)4(dx x x (2)? -2 1 5)1(dx x ; (3)dx x x ? +20 )sin (π ; (4) dx x ?-22 2 cos π π; 14.(1)一物体按规律x =bt3作直线运动,式中x 为时间t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x =0运动到x =a 时,阻力所作的功。 (2)抛物线y=ax2+bx 在第一象限内与直线x +y=4相切.此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a 、b 值,并求Smax . 典型例题 一 导数的概念与运算 EG :如果质点A 按规律s=2t3运动,则在t=3 s 时的瞬时速度为( ) A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式:定义在D 上的函数)(x f ,如果满足:x D ?∈,?常数0M >, 都有|()|f x ≤M 成立,则称)(x f 是D 上的有界函数,其中M 称为函数的上界. 【文】(1)若已知质点的运动方程为 at t t S ++= 11 )(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是 以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. 【理】(2)若已知质点的运动方程为at t t S -+=12)(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. EG :已知 x f x f x x f x ?-?+= →?) 2()2(lim ,1)(0则的值是( ) A. 41- B. 2 C. 41 D. -2 变式1:()()()为 则设h f h f f h 233lim ,430 --='→( ) A .-1 B.-2 C .-3 D .1 变式2:()()() 0000 3,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 ( ) A . () 02x f ' B . () 0x f ' C . () 03x f ' D . () 04x f ' 根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。 变式:函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) A. )2()3()3()2(0/ /f f f f -<<< B. )2()2()3()3(0//f f f f <-<< C. )2()3()2()3(0//f f f f -<<< D. )3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x EG :求所给函数的导数: () 33 2991log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n x x x y x x y x e y x y x y e y x x --=+== =+==+(文科)理科)。 变式:设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,()()()()f x g x f x g x ''+>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是 A .(-3,0)∪(3,+∞) B .(-3,0)∪(0, 3) C .(-∞,- 3)∪(3,+∞) D .(-∞,- 3)∪(0, 3) EG :已知函数ln y x x =.(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数在点1x =处的切线的方程. 变式1:已知函数x e y =. (1)求这个函数在点e x =处的切线的方程; (2)过原点作曲线y =ex 的切线,求切线的方程. 变式2:函数y =ax2+1的图象与直线y =x 相切,则a =( ) A. 18 B. 41 C. 21 D. 1 EG :判断下列函数的单调性,并求出单调区间: 3232(1)()3; (2) ()23; (3) ()sin ,(0,);(4)()2324 1. f x x x f x x x f x x x x f x x x x π=+=--=-∈=+-+ 变式1:函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是 A.[]0,1- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,0 变式2:已知函数 53123 -++= ax x x y (1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则a 的是 . (2)若函数在),1[+∞上是单调增函数,则a 的取值范围是 . 变式3: 设0≠t ,点P (t ,0)是函数 c bx x g ax x x f +=+=2 3)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线. (Ⅰ)用t 表示a ,b ,c ; (Ⅱ)若函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减,求t 的取值范围. EG :求函数31 ()44 3f x x x =-+的极值. 求函数31 ()443f x x x =-+在[]0,3上的最大值与最小值.. 变式1: 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 变式2:已知函数 32 ()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求: (Ⅰ) x 的值;(Ⅱ),,a b c 的值. 变式3:若函数4)(3 +-=bx ax x f ,当2=x 时,函数)(x f 极值34 - , (1)求函数的解析式; (2)若函数k x f =)(有3个解,求实数k 的取值范围. 变式4:已知函数32 1()22f x x x x c =- -+,对x ∈〔-1,2〕,不等式f (x ) 值范围。 EG :利用函数的单调性,证明: ln ,0x x x e x <<> 变式1:证明: ()x x x ≤+≤+- 1ln 11 1,1x >- 变式2:(理科)设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.若关于x 的方程f(x)=x2+x+a 在[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围. EG : 函数(),3)(3R x x x x f ∈+=若 () ()012 >-+mx f mx f 恒成立,求实数m 的取值范围 变式1:设函数(),3)(3 R x x x x f ∈+=若 ()()??? ?? ≤≤>-+2001sin πθθm f m f 恒成立,求实数m 的取值范围. 变式2:如图,曲线段OMB 是函数 2 ()(06)f x x x =≤≤的图象,BA x ⊥轴于点A,曲线段OMB 上一点M 2 (,)t t 处的切线PQ 交x 轴于点P,交线段AB 于点Q , (1)若t 已知,求切线PQ 的方程 (2)求QAP ?的面积的最大值 变式3:用长为90cm ,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折900角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大的容积是多少? 变式4:某厂生产某种产品x 件的总成本 3 7521200)(x x c + =(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大? EG :计算下列定积分:(理科定积分、微积分) 23 2 110 22 11 (1)x; (2)(2)x; (3)sin dx; (4)sin dx; (5)sin d x d x x x x xdx π ππ π - ??? ?? 变式1:计算:; (1) dx x x x ? + 2 0sin cos 2 cos π ;(2) dx x ?- 2 2 4 变式2:求将抛物线x y= 2 和直线1 = x围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积. 变式3:在曲线 ()0 2≥ =x x y上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为12 1 ,试求:(1)切点A的坐标;(2)在切点A的切线方程. 实战训练 1. 设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图所示,则导函数y=f '(x)的图象可能为() 2. 已知曲线S:y=3x-x3及点(2,2) P-,则过点P可向S引切线的条数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3. C设S上的切点00 (,) x y 求导数得斜率,过点P可求得: 2 00 (1)(2)0 x x +-=. 4. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数(). 3 ()(,) 22 A ππ ()(,2) Bππ 35 ()(,) 22 C ππ ()(2,3) Dππ 5. y=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a等于( ) (A)6 (B)0 (C)5 (D)1 6. 函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( ) (A)1,-1 (B)3,-17 (C)1,-17 (D)9,-19 7.设l1为曲线y1=sinx 在点(0,0)处的切线,l2为曲线y2=cosx 在点(2π ,0)处的切线,则l1与l2的夹角为___________. 8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx -1,若当x=1时,有极值为1,则函数g(x)=x3+ax2+bx 的单调递减区间为 . 9.(07湖北)已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是 1 22y x = +,则(1)(1)f f '+= 10.(07湖南)函数3 ()12f x x x =-在区间[33]-, 上的最小值是 11.(07浙江)曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 9.. 已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈ (Ⅰ)若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1 ,求证:a << (Ⅱ)若 [] 0,1x ∈,函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ,试讨论1k ≤的充要条件。 12.(07安徽)设函数f (x )=-cos2x-4tsin 2 x cos 2 x +4t2+t2-3t+4,x ∈R,其中t ≤1,将f(x)的最小值记为g(t). (Ⅰ)求g(t)的表达式;(Ⅱ)诗论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 实战训练B 1.(07福建)已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>, D .()0()0f x g x ''<<, 2.(07海南)曲线12 e x y =在点 2 (4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.2 9e 2 B.2 4e C.2 2e D.2 e 3.(07海南)曲线x y e =在点 2 (2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.2 94e B.2 2e C.2 e D.2 2e 4.(07江苏)已知二次函数 2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1) '(0)f f 的最小值为( ) A .3 B .52 C .2 D .3 2 5.(07江西)5.若 π 02x << ,则下列命题中正确的是( ) A .3sin πx x < B . 3sin πx x > C .2 24sin πx x < D . 2 24sin πx x > 6.(07江西)若 π 02x << ,则下列命题正确的是( ) A .2 sin πx x < B .2sin πx x > C .3sin πx x < D . 3sin πx x > 7.(07辽宁)已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数,如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0,且()()f x g x ≥,那么下列情形不可能出现的是( ) A .0是()f x 的极大值,也是()g x 的极大值 B .0是()f x 的极小值,也是()g x 的极小值 C .0是()f x 的极大值,但不是()g x 的极值 D .0是()f x 的极小值,但不是()g x 的极值 8.(07全国一)曲线 3 13y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A .1 9 B .29 C .13 D .23 9.(07全国二)已知曲线 24x y = 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10.(07浙江)设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) 11. (07北京)()f x '是31 ()21 3f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 12.(07广东)函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 13.(07江苏)已知函数 3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -= 14.(07福建)设函数 22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ,. (Ⅰ)求()f x 的最小值()h t ; (Ⅱ)若()2h t t m <-+对(02)t ∈, 恒成立,求实数m 的取值范围. 15.(07广东)已知a 是实数,函数 2 ()223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点,求a 的取值范围. 高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?) -f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处 可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就 说函数在点x 0处不可导,或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2.导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 3.几种常见函数的导数: ①0;C '= ② ()1 ; n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)'''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义: 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程) 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3.基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=(C 为常数) ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算: 19 高三专题复习——导数在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线yf(x)在x x处的切线的斜率等于f(x0),切线方程为 0 y f(x)(xx)f(x) 000 (2)若可导函数yf(x)在xx0处取得极值,则f x。反之,不成立。 ()0 (3)对于可导函数f(x),不等式f(x)0(0)的解集决定函数f(x)的递增(减)区间。 (4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:xIf(x)0(0)恒成立 (5)函数f(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值,则可等价转化为方程 fx在区间I上有实根且为非二重根。(若f(x)为二次函数且I=R,则有0)。 ()0 (6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数,进而得到f(x)0或 fx0在I上恒成立 () (7)若xI,f(x)0恒成立,则f x0;若xI,f(x)0恒成立,则 () min f(x)0 max (8)若x0I,使得f(x)0,则f(x)max0;若x0I,使得 0 f x0,则f(x)min0. () (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若xDf(x)g(x)恒成立则有f(x)g(x)0 min (10)若对x1I1、x I, 22 f(x)g(x)恒成立,则 12 f xgx. ()() minmax 若对x1I1,x2I2,使得f xgx,则 ()() 12 f xgx. ()() minmin 若对xI,x 2I2,使得 11 f xgx,则f(x)max g(x)max. ()() 12 (11)已知f(x)在区间I上的值域为A,,g(x)在区间 1 I上值域为B,2 若对x I, 11 x I,使得f(x1)= 22 g(x)成立,则AB。 2 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程f(x)0有两个不等实根x1、x2,且极大值大 于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: x ①lnxx1(x0)②ln(x+1)x(x1)③e1x x ④e1x⑤ln1(1) xx x x12 ⑥l nx11 22 x22x (x0) 考点一:导数几何意义:角度一求切线方程 1.(2014·洛阳统考)已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f′3 过曲线y=x 上一点P(a,b)的切线方程为() π ,f′(x)是f(x)的导函数,则4 导数知识点 一.考纲要求 考试内容8 要求层次 A B C 导数及其应用 导数概念及其几何意义 导数的概念 √ △ 导数的几何意义 √ 导数的运算 根据导数定义求函数y c =,y x =, 2 y x =, 1y x = 的导数 √ 导数的四则运算 √ 导数公式表◇ √ 导数在研究函数中的应 用 利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次) ☆ √ 函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次) ☆ √ 利用导数解决某些实际问题 √ 二.知识点 1.导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为 ).)((0' 0x x x f y y -=- 2.、几种常见函数的导数 ①'C 0=;②1')(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos ' -=; ⑤a a a x x ln )('=;⑥x x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log ' = ;⑧x x 1)(ln ' = 3.导数的运算法则 (1)'''()u v u v ±=±. (2)''' ()uv u v uv =+. (3)'' ' 2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 4. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的 极大值,极小值同理) 当函数)(x f 在点0x 处连续时, ①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值; 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导, 或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)' ''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''Cu Cu = 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -(v ≠0)。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|x = y '|u ·u '|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导, 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. Ps :二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数,则y '=f '(x )的导数叫做函数y=f (x )的二阶导数。 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. ⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 3. 导数的几何意义: 就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则: ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数) )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u 注:①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如:设x x x f 2sin 2)(+ =,x x x g 2 cos )(-=,则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导,但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ⑴函数单调性的判定方法:设函数)(x f y =在某个区间可导,如果)('x f >0,则)(x f y =为增函数;如果)('x f <0,则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法; 如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0,则)(x f y =为常数. 注:①0)( x f 是f (x )递增的充分条件,但不是必要条件,如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ,有一个点例外即x =0时f (x ) = 0,同样0)( x f 是f (x )递减的充分非必要条件. ②一般地,如果f (x )在某区间有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极大值,极小值同理) 当函数)(x f 在点0x 处连续时, ①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值; ②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极小值. 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些? 导数知识点归纳及应用 一、相关概念 1.导数的概念 略 二、导数的运算 1.基本函数的导数公式: ①0;C '=(C 为常数) ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '= ; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1:下列求导运算正确的是 ( ) A .(x+2 11)1 x x +=' B .(log 2x)′=2ln 1x C .(3x )′=3x log 3e D . (x 2cosx)′=-2xsinx 2.导数的运算法则 法则1:(.)' ''v u v u ±=± 法则2:.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3:='?? ? ??v u 2''v uv v u -(v ≠0)。 3.复合函数求导 三、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f ’(x 0)。 相应地,切线方程为y -y 0=f /(x 0)(x -x 0)。 例:曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( ) A .(1,0) B .(2,8) C .(1,0)和(1,4)-- D .(2,8)和(1,4)-- 四、导数的应用 1.函数的单调性与导数 (1)如果' f )(x 0>,则)(x f 在此区间上为增函数; 如果'f 0)( 导数 一、导数的概念 1.导数的背景 (1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 如一物体的运动方程是,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在 时的瞬时速度为_____(答:5米/秒) 2.导数的定义 如果函数在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每一个,都对应着一个导数,这样在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新的函数叫做 在开区间(a,b)内的导函数,记作,导函数也简称为导数。 3、求在处的导数的步骤: (1)求函数的改变量; (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数。 4、导数的几何意义: 函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是,相应地切线的 方程是。 特别提醒: (1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某 点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条; (2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只 有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是。 比如: (1)P 在曲线上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ______(答:); (2)直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______(答:-3 或1); (3)已知函数(为常数)图像上处的切线与的夹角为,则点的横坐标为_____(答:0 或); (4)曲线在点处的切线方程是______________(答:);(5)已知函数,又导函数的图象与轴交于。①求的值;②求过点的曲线的切线方程 (答:①1;②或)。[1] 二、相关背景 从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产 生了。 公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说,早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇” 中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求 即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最 小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一 个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普 勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们 高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0), 比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x ) 在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函 数在点x 0处不可导,或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2.导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义: 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率, ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算: 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x,则)(x f为常函数。 2.函数的极点与极值:当函数)(x f在点 x处连续时, ①如果在 x附近的左侧)('x f>0,右侧)('x f<0,那么) (0x f是极大值; ②如果在 x附近的左侧)('x f<0,右侧)('x f>0,那么) (0x f是极小值. 3.函数的最值: 一般地,在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤:①求函数) (x f的导数,令导 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率:()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义:()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000;. 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率. 4、常见函数的导数公式: ①'C 0=; ②1')(-=n n nx x ;③x x cos )(sin '=; ④x x sin )(cos '-=; ⑤a a a x x ln )('=;⑥x x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则: ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????; ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????; ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????. 6、在某个区间(),a b 内,若()0f x '>,则函数()y f x =在这个区间内单调递增; 若()0f x '<,则函数()y f x =在这个区间内单调递减. 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤: (1)确定函数()y f x =的定义域; (2)求导数'' ()y f x =; (3)解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间. 8、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 9、求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f ’(x) (3)求方程f ’(x)=0的根 (4)用方程f ’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是: ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值; ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 高考导数文科考点 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0), 比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x ) 在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函 数在点x 0处不可导,或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2.导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 导 数 主要内容 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. §14. 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 §14. 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数, 记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f :A →B 概念 (1)A 中元素必须都有________且唯一; (2)B 中元素不一定都有原象,且原象不一定唯一。 2、函数 f :A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示,其中 x 是自变量,y 是自变量 x 的函数,f 是表示对应法则,它可以是一个解析式,也可以是表格或图象, 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点,但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有,也可能是任意个。(即一个x 只能对应一个y ,但一个y 可以对应多个x 。) (2)、函数三要素是________,________和________,而定义域和对应法则是起决定作用的要素, 因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上,如果对于任意两数x 1,x 2∈A 。当x 1 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为: 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义:设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义,0(,)x a b ∈,若x ?无限趋近于0时,比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ,则称函数()f x 在0x x =处可导,并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数,记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-;(2)求平均变化率:00()()f x x f x x +?-?;(3)取极限,当x ?无限趋近与0时,00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ,则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义: 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出()y f x =在x 0处的导数,即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时,求经过点P 的()y f x =的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ,则()V S t '=表示瞬时速度,()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1)()kx b k '+=(k , b 为常数); (2)0C '=(C 为常数); (3)()1x '=; (4)2()2x x '=; (5)32()3x x '=; (6)211()x x '=-; (7 )'; (8)1()ααx αx -'=(α为常数);高考文科导数考点汇总完整版
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