2.1.1直线的斜率教案讲解

课题：2.1.1 直线的斜率

授课教师：江苏省江浦高级中学陈久贵

教学目的（1）初步了解解析几何的研究方法，培养学生数形结合的思想；（2）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；

（3）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究斜率的变化规律.

教学重、难点（1）使学生明确直线的斜率的概念，熟练掌握已知两点坐标求这两点所在直线斜率的公式；

（2）使学生清楚直线的方向的变化规律，在于如何培养学生自觉应用数形结合思想考虑和解决问题．

教学策略以问激学、以景激情、师生共同探讨.这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学发现过程，能调动学生学习的积极性与主动性.

教学工具多媒体、三角板等辅助教学.

教学过程设计设计意图

引言

情境：几幅美丽图片。

笛卡尔的平面直角坐标系。

引进平面直角坐标系,用有序数对(x,y)表示平面内的点.根

据曲线的几何性质,可以得到关于x,y的一个代数方程f(x,y)=0.

反过来,把代数方程f(x,y)=0的解(x,y)看做平面上点的坐标,这些

点的集合是一条曲线.

以代数的方法（以平面直角坐标系为桥梁）研究几何问题

平面解析几何研究的主要问题是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

（2）通过方程研究平面曲线的性质。

用拉格朗日的名言结束引言：

如果代数与几何各自分开发展，那它的进步将十分缓

慢，而且应用范围也很有限．但若两者互相结合而共同发展，

则就会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进．

通过现实生活中

的美妙曲线，唤

起同学们对几何

的向往

介绍平面解析几

何的产生及其研

究的主要问题和

解决问题的方法

以名言结束引言

激励同学们探索

新知识的信心

新课 ( 直线的斜率)（1）引人

①观察以下三个函数所表示

的直线异同：如何刻画直线,换句

话说:几个要素确定直线位置?

确定直线位置的几何要素

有两个：

一个点和直线的方向．

②楼梯倾斜程度:

结论：坡度越大，楼梯越陡．

③如果我们也想给直线用一个新的量来表示倾斜程度，

我们把这一个量叫斜率，那么应该怎样定义斜率呢？

斜率

y

k

x

思考1: 会不会由于点P的位置不同得到不同的比值呢?

从同学熟悉的一

次函数入手，刻

画直线的几何要

素

通过楼梯的倾斜

程度（坡度）来

刻画直线的方向

由坡度引出直线

的斜率

由特殊直线开始

引入斜率的定义

0.4m

1m

0.8m

1m

新课 ( 直线的斜率)

结论: 1

1

y

y

=

x x

（2）直线的斜率的定义：

已知两点

1122

(,),(,)

P x y Q x y,

如果

12

x x

≠，那么直线PQ的斜率为

21

21

y y y

k

x x x

-?

==

-?

；

如果

12

x x

=,那么直线PQ的斜率不存在．

例1如图，已知直线l

1

,l

2

,l

3

都经过

P(3,2)，又l

1

,l

2

,l

3

分别经过点Q

1

(－3, 2 ) ,

Q

2

(－2,－1) ,Q

3

(4,－2),试计算直线

l

1

, l

2

,l

3

的斜率．

让学生自己发现

斜率的唯一性

从上面的特殊情

况不难想到一般

直线如何构造一

直角三角形，从

而给出一般直线

斜率的定义

与P、Q点的选择

有关吗

分母为零怎么办

巩固公式

(学生口答)

三种情况比较

l1

l2

l3

Q1

Q3

Q2

P

o

y

x

新课 ( 直线的斜率)

我们把三条直线的斜率与三条直线的方向联系

起来看有何对应关系呢?

x

.p y

O

（3）

k不存在

x

.p y

O

（2）

k<0

x

.p y

O

（1）

k>0

x

.p y

O

（4）

k=0

演示斜率k的变化规律，让学生发现：

①当直线的斜率的正、负及0时的方向；

②当直线的斜率为正、负时，k的值按逆

时针方向旋转越来越大；

③当斜率绝对值越大，直线倾斜程度越大；

应用：如图直线l

1

, l

2

, l

3

的斜率分别为k

1

, k

2

, k

3

,

则有( )

A. k

1

2

3

B. k

3

1

2

C. k

3

2

1

D. k

1

3

2

思考2：三点A(0,－1), B(2，3),

C(5，9)是否在一条直线上？

结论:如果K AB=K BC，那么A，B，C

三点共线;反过来,也正确.

直线的斜率与三

条直线的方向关

系

动画演示，让学

生发现变化规律

规律的应用

应用：判断三点

共线

l3

l2

l1

o

y

x

新课 ( 直线的斜率)

思考3：将直线l上的点P沿x轴方向向

右平移4个单位，再沿y轴方向向上平移3个

单位，得到点Q仍在直线l上，那么直线l的

斜率为多少？

演示平移变化规律

例2 经过点（3，2）画直线，使直线的

斜率分别为：

(1)

3

4

; (2)

4

5

-

变题:如果直线l按x轴负方向平移

m(m>0)个单位，再沿y轴正方向平移n(n>0)

个单位后，又回到了原来的位置，那么直线l

的斜率为多少？

体会横纵增量，

为例2作铺垫

(学生板书)

延伸、拓展

课堂小结（1）斜率定义；

（2）直线的方向与直线的斜率之间的对应关系；

（3）求斜率；

（4）三点共线；

（5）画直线;

（6）数形结合思想.

等等．

(学生口答)

课后作业

作业

课本P72. 1,2,3,4,5

本节课板书设计

例2

变题：2.1.1直线的斜率

21

21

-?

==

-?

y y y

k

x x x

例1

解：

思考2：

思考3：

本节课教育评注（课堂设计理念，教学后记及教学心得）

课堂设计理念一、关于引言教学

通过几幅美丽图片，激发学生擦究的兴趣。

解析几何引言要回答两个问题：

（1）解析几何产生？

（2）什么是解析几何？

为了节省篇幅，简要地引出三个问题：

1.笛卡尔的平面直角坐标系；

2. 解析几何研究问题的方法；

3.平面解析几何研究的主要问题。

最后，以拉格朗日的名言结束引言来激励同学们探索新知识的信心。

二、关于直线的斜率教学

本节课主要内容和要求：

（1）斜率概念：体验——感知——理解

（2）斜率公式：理解——记忆——应用

针对上述内容和要求，需要寻求新旧知识的结合点，有序地架构新知识的桥梁，这成为本课教学设计的出发点。

学生已有的知识基础是坡度概念，坡度与斜率本质相同，因此坡度是引进斜率概念比较合理的切入点。斜率是坡度的发展，如何在坡度概念的基础上建构斜率概念，是教学设计的核心问题。据此，本课作了如下构思：

（一）情境唤醒

以简洁的构图，楼梯的倾斜程度的情境。这一情境的出现，先唤醒的是平时的上下楼的感觉，贴近实际；再唤起体验——不同的坡度，不同的上下楼感受；最后自然回归数学的概念——坡度的大小问题。

（二）情境利用

好的情境应体现问题的数学本质，直达概念的核心，具有多重承载：

（1）知识——坡度概念；

（2）方法——坡度计算；

（3）本质——两点定直线

（三）情境转入

“从数学角度看……”自然转入课题，从几何长度计算坡度入手，转入直角三角形两直角边的比，而后引入坐标计算斜率。

概念教学按以下层次逐步展开：

（1）由特殊直线（过原点）开始引入斜率的定义，此时和坡度等同。然后让

课堂设计理念学生自己发现斜率的唯一性，由于点P的位置不同得到不同的斜率。

（2）确信坐标公式的正确性、两点选择的任意性。

为了印证坐标公式的正确性，提出“交换两点位置，结果如何？”学生此时并未发生“坡度值为负”的认知冲突。而是更加坚信坐标公式的正确性、两点选择的任意性。

（3）引发认知冲突，理解斜率公式合理性

怎样让学生自行发现斜率的可负性呢？

这里设计了一组计算斜率的题。通过学生计算和画图，发现坡度的可负性，引起认知矛盾。再通过“负号”的去留，以及零坡度、无坡度的讨论，斜率概念呼之即出。

（4）动画演示，让学生自己发现变化规律

直线的方向与斜率的变化规律不容易掌握，通过多媒体动画演示让学生自己发现变化规律，从而突破难点；另外横纵增量的变化与斜率关系也是难点，通过动画演示，同学们很容易理解，并为例2作了很好铺垫。

（四）借助问题解决，深化理解

应用中深化概念的理解，是概念教学重要一环。本节课中由点和斜率画直线是学习的另一个难点。如何克服难点，提高是进一步探究的愿望？需要一个好的问题引路。好的问题同样是一个好的情境，问题和方法都蕴藏其中，同时能够激起学生的好奇、求胜心理。

问题设计：

问题一：将直线l上的点P沿x轴方向向右平移4个单位，再沿y轴方向向上平移3个单位，得到点Q仍在直线l上，那么直线l的斜率为多少？

问题二：已知点A和斜率k，画直线

问题三：如果直线l按x轴负方向平移m(m>0)个单位，再沿y轴正方向平移n(n>0)个单位后，又回到了原来的位置，那么直线l的斜率为多少？

三个问题环环相扣．问题一简单计算，似无大用，却是概念的根本，从此引导学生从问题一的情境中寻找问题二的解决办法，再通过问题三帮助学生归纳总结解题规律。

思考2旨在提升灵活运用斜率知识学生分析解决问题的能力。

教学后记

新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉。从知识接受上讲似乎并无大碍，但是从知识的联系性、思维的丰富性上讲多了数学文科感觉——记住结论会用就行！这或许就是新课程的理念吧。但本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求。

教学心得

如何构建和谐有趣、充满活力的数学课堂？

首先，让学生既能智力参与，又有情感参与。做演员不做观众，并且自己创造角色而不是模仿角色；

其次，教师应当懂得做导演不做演员，并努力做一个能激发演员创造力和想象力的导演。

第三，适当的时候，需要教师和学生都置于观众位置对教与学进行反思和评判。

新课程未来之前，心弛神往。阅读高中新课程标准，深感理念之先进、课程之合理、改革之必须。特别是使用必修一教材，更觉课改思路清晰。但是随着教学的实施，教材中“文科”特点愈显突出，时常打乱的逻辑顺序，使知识的内部联系及发生发展过程，显得紊乱。似不利学生数学的学习，尤其不利于学生数学思维习惯的养成。另一方面，书浅题深，时短量大也给教师的教学造成诸多不便。