高考数学抽象函数题型汇编
抽象函数常见题型汇编
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
(一)已知的定义域，求的定义域，
解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1：设函数的定义域为，则
（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______
解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为
（2）由已知，得，解得，故的定义域为
(二)已知的定义域，求的定义域。
解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。解析：由，得，所以，故填
(三)已知的定义域，求的定义域。
解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，
，即的定义域是
再求的定义域，，
的定义域是
(四)运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题4：函数的定义域是，求的定义域。
解析：由已知，有，即
函数的定义域由确定
函数的定义域是
【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解析：的定义域是［1，2］，是指，
所以中的满足
从而函数f(x)的定义域是［1，4］
【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在
中，由此可得
所以函数
的定义域是
【巩固3】
f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1
2
定义域是__。
解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-
??-<<-<<+??
?x a x a a x a
a x a
(1)当-
≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当01
2
<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、
解析式问题
1. 换元法：即用中间变量
表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公
式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例题5： 已知 (
)211
x
f x x =++,求()f x . 解析：设
1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u
-=+=--∴2()1x f x x -=-
2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例题6： 已知3
31
1
()f x x x
x
+=+
，求()f x 解析：∵2
2211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x
x x x
+=+-+
=++-
又∵11||||1||
x x x x +
=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例题7： 已知()f x 二次实函数，且2
(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解析：设()f x =2
ax bx c ++，则
22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22
222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4
1321,1,2222
a c a a
b
c b +=??=?===??=?
∴
213()22
f x x x =
++
4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8： 已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-
∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0
()lg(1),0x x f x x x +≥?=?--
例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1
()1
g x x =
-， 求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
1
1
x - ………①中的x , ∴1()()1
f x
g x x -+-=
--即()f x －1
()1g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =
-再代入①求出2()1
x
g x x =-
5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式 例题10：
设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及
(1)f =1,求()f x
解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =
(1)2n n +∴1
()(1),2
f x x x x N =+∈
【巩固4】 设函数f x ()存在反函数，g x f
x h x ()()()=-1
，与g x ()的图象关于直线
x y +=0对称，则函数h x ()=
A. -f x ()
B. --f x ()
C. --f
x 1
() D. ---f
x 1
()
解析：要求y h x =()的解析式，
实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系。 点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1
()，
即-=-x g y 00()。又g x f
x ()()=-1
，
∴-=-?-=-?=---x f
y y f x y f x 01
00000()()()，即h x f x ()()=--，选B 。
【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足
，求f(x)的解析式。
解析：在中以代换其中x，得：
再在(1)中以代换x，得
化简得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
三、求值问题
这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；
②，求f (3)，f (9)的值。 解析：取，得
因为，所以
又取
，得
例题12：
定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，
求f ()2000的值。
解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，
∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由
f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，
f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000
【巩固6】 已知f x ()的定义域为R +
，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。
解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得
f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42
又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1
【巩固7】 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，
f ()11997=，求f (2001)的值。
解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是
f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()
()()()
()+=
++-+=+
+
-
-+-
=-412121111111 所以f x f x f x ()()
()+=-
+=81
4，故f x ()是以8为周期的周期函数，
从而f f f (2001)()()=?+==8250111997
四、
值域问题
例题13： 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，
总
成立，且存在，使得，求函数的值域。
解析：令，得
，即有
或。
若
，则
，对任意
均成立，这与存在实数
，使得
成立矛盾，故，必有
。
由于
对任意
均成立，因此，对任意，有
下面来证明，对任意
设存在
，使得
，则
这与上面已证的矛盾，因此，对任意
所以
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
【巩固8】 已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时
f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。
解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，
由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210
又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-
又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，
∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214
∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，
五、
求参数范围或解不等式
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例题14：
已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足
f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，
由-<-<-<-
?121141
2
a a 得35< （1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402 ，不等式不成立。 （2）当32< 2222120 (2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<- -<-=-?-<--? （3）当25< f a f a ()()-<-24 2 22 2021 (4)041224a f a a a a a <- 综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。 例题15： f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos ) 221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。 解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++??? ? ?sin cos sin cos 对x R ∈恒成立?-≤-≥++?????m x m x m x 222 3 1sin sin cos 对x R ∈恒成立?m x m m x x x 222 2311254-≤--≥+=--+??? ? ?sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立， 2231 15 214 m m m m ?-≤-? ∴≤≤?--≥??， 【巩固9】 已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式 f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值。 解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k x k x k k x 22 222222 1111412-≤-≤-??????≤+-+≥-???? ?sin sin sin sin () (sin )(2) 由题意知(1)(2)两式对一切 x R ∈恒成 立 ， 则 有 k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=?????? ??? ??=-(sin )(sin )min max 【巩固10】 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0 时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2 223--<的解集。 解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->， ∴->f x x ()212，即f x x ()2120--> 2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>， 故f x ()为增函数， 又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=， 22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即 因此不等式f a a ()2 223--<的解集为{}a a |-<<13。 六、 单调性问题 例题16： 设f(x)定义于实数集上，当 时，，且对于任意实数x 、y ， 有，求证： 在R 上为增函数。 证明：在中取 ，得 若，令，则，与 矛盾 所以，即有 当时，；当时， 而，所以 又当时， ，所以对任意 ，恒有 设，则 ∴ ，∴ 在R 上为增函数 例题17： 已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是 减函数，并证明你的结论。 证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 【巩固11】 如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间 []--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 解析：画出满足题意的示意图1，易知选B 。 七、 奇偶性问题 例题18： 已知函数对任意不等于零的实数 都有 ，试判断函数f(x)的奇偶性。 解析：取得： ，所以 又取得：，所以 再取则 ，即 因为为非零函数，所以 为偶函数。 【巩固12】 若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数 y f x =()是偶函数。 证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上， 0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-， 又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00 即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。 八、 周期性问题 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, 1. ，则是以为周期的周期函数； 2. ，则是以为周期的周期函数； 3. ，则是以为周期的周期函数； 4. ，则是以为周期的周期函数； 5. ，则是以为周期的周期函数. 6. ，则是以为周期的周期函数. 7. ，则是以为周期的周期函数. 8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为 ，若为偶函数，则其周期为. 9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是 ()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =()() 1 f x a f x +=± ()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1() ()1() f x f x a f x -+= +()x f 2T a =1() ()1() f x f x a f x -+=- +()x f 4T a =1() ()1() f x f x a f x ++= -()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x 以 为周期的周期函数； 10.函数的图象关于两点、都对称，则函数 是以为周期的周期函数； 11.函数的图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数； 例题19： 设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证： f x ()是周期函数，并找出它的一个周期。 解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推， 若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T 。 证明： f x f x f x ()()() ()=+-+121 ∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232 ()()12+得f x f x ()() ()=-+33 由（3）得f x f x ()() ()+=-+364 由（3）和（4）得f x f x ()()=+6。 上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6。 例题20： 设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有 f x y f x y f x f y ()()()()++-=?2，并存在正实数c ，使f c ()2 0=。试问f x ()是否为周 期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a - 解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件， 且cos π 2 0=， 猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数。 f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()() ++++-=+=∴+=-∴+=-+=2222222 2 故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期。 【巩固13】 设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。对任意 x x 1201 2 ，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=?。证明f (x )是周期函数。 证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2， 又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2， 这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称 又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到 思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。 证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2， 又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2， ∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期 思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。证明 f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。 证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称 ()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，， 将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈， ∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222， ∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期 若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到 思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。， 证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2， 又由f x ()是奇函数知 ()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，， 将上式的-x 以x 代换，得 (2)()f x f x x R +=-∈， (4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈， ∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期 f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直线 x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得 到 思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称。证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期。 证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2， f x ()关于直线x b =对称， ()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，， 将上式中的-x 以x 代换，得 (2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x R f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R +=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，， ∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期 由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数。进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到 思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称。证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。 证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称 ∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R ()()()()()()2222，，， 将上式中的-x 以x 代换，得 (2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R +=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期 九、 对称性问题 （1）对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完 全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 （2）抽像函数的对称性 1、函数)(x f y =图像本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图像关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=- ②)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图像关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-. （2）中心对称 ①)(x f y =的图像关于点),(b a 对称? b x a f x a f 2)()(=-++ ? b x a f x f 2)2()(=-+ ?b x a f x f 2)2()(=++-。 ②c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图像关于点),2 (c b a +对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0f x f x +-=. （3）对称性与周期性之间的联系 ①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期 2T b a =-； 特别地：若)(x f y =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若函数()f x 既关于点(,0)a 对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-； ③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为b a -，相邻对称轴或中心的距离为 2b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4T b a =-。 特别地：若)(x f y =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为a 4的周期函数。 2、两个函数图像的对称性（互对称问题） （1）函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图像关于直线0=x 对称。 （2）函数)(x f y =与)2(x a f y -=图像关于直线a x =对称 （3）函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图像关于直线a x -=对称 （4）函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图像关于直线0)()(=--+x b x a 对称即直线 2 a b x -= 对称（5）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于x 轴对称。 （6）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于y 轴对称。 （7）函数)(x f y =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称。 （8）函数)(x f y =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称。 （9）函数()y f x =与()1 y f x -=的图像关于直线y x =对称。 （10）函数()y f x =与()1 y f x -=--的图像关于直线y x =-对称。 （11）函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和()1 y f a x -=+的图像关于直线 y x a =+对称。 （12）函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图像关于点),(b a 成中心对称。特别地，函数)(x f y =与)(x f y --=图像关于原点对称。 例题21： 函数满足，求值。 解析：已知式即在对称关系式中取 ，所以函 数 的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 的图象关于点（2002，0）对称。 所以 将上式中的x 用 代换，得 评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数 对一切实数x 都满足 ，则函数 的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。 十、 综合问题 1) 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。 例题22： 已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数， 若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______。 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[， 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5 1)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(， 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 高考数学总复习：抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求 f ()2000的值。 解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。 解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()()， 故f x ()为奇函数， ∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例3 已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。 解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数， 由-<-<-<- 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。 例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得 所以函数的定义域是 评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题 实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问题 例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①； ②，求f(3)，f(9)的值。 解：取，得 因为，所以 又取 得 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已 知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。 解：令，得，即有或。 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意 所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。 解：在中以代换其中x，得： 再在(1)中以代换x，得 化简得： 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 抽象函数的单调性 线性函数型抽象函数是由线性函数（即一次函数）抽象而得的函数 例：已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y),且当x> 0时，有f(x)> 0, f(- 1)= –2 , 求函数f(x)在区间[-2 , 1] 上的值域. 训练：已知函数f(x)对任意的实数x、y，满足条件f(x)+f(y)= 2 + f(x+y)，且当x> 0时，有f(x)> 2, f(3)= 5 , 求使f(a2–2a –2) < 3 成立的实数a的取值范围. 3.已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y) ,且当x> 0时，有f(x)< 0 , f(3)= –3, ①证明函数f(x)的单调性 ②求函数f(x)的奇偶性 ③试求f(x)在区间[ m , n ] 上的值域。 4. 已知函数f(x)对任意的实数x、y均有f(x+y)= f(x)+f(y) ,且当x> 0时，有f(x)< 0 , f(1)=–2 ①求证f(x)的奇偶性 ②求函数f(x)的单调性 ③求f(x)在区间[ -3 ，3 ]的最值。 对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数 例1.设f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1 （1）求f(1)的值 （2）f(x)+f(x –8)≤2,求X 的取值范围 训练： 2. . f （x ）是定义在（0，+∞）上的减函数，对于任意的 x , y > 0 ,恒有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(3 1) = 1, ①求f(1)的值 ②若存在m,使得f(m)=2,求m 的值 ③解不等式f(x)+f(2 – x ) < 2 .幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得的函数 例1已知函数f(x)对任意实数x ，y 都有f(xy)=f(x)*f(y)，且f(–1)=1，f(27)=9，当0≤x<1时， f(x)∈[0, 1 ) ① 判断f(x)的奇偶性 ②判断f(x)在（0 ，+∞）在上的单调性，并给出证明 ③ 若a ≥0，且f(a+1)≤39 , 求a 的取值范围 冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<，则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<，则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立，若(8)4f =，则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，(4)2f ∴=，又令2x y ==，得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =，则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n = 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。 解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x () ()()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0 时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。 解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()()， 故f x ()为奇函数， ∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 抽象函数常见题型及解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模型 1．指数函数模型 2．对数函数模型 3．幂函数模型三、研究函数的性质 1．抽象函数的单调性问题2．抽象函数的奇偶性问题 3．抽象函数的周期性问题 4．抽象函数的对称性问题四、抽象函数的综合（祥见《高中生》杂志05年10期上半月刊学习辅导版） 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出. 抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模型 1．指数函数模型 2．对数函数模型 3．幂函数模型三、研究函数的性质 1．抽象函数的单调性问题2．抽象函数的奇偶性问题 3．抽象函数的周期性问题 4．抽象函数的对称性问题四、抽象函数的综合（祥见《高中生》杂志05年10期上半月刊学习辅导版） 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，函数性质则通过代数表述给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的，高考对抽象函数这一考点主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌 握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.为了扩大读者的视野，现就抽象函数常见题型归纳如下．一、函数的基本概念 2．抽象函数的求值问题 3．抽象函数的值域问题 4．抽象函数的解析式问题二、寻觅特殊函数的模 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
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2018-2020三年高考数学分类汇编
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