计算机数学基础第三版习题参考答案第1-3章

习题1.1

1．（1）D （2）A （3）A （4）D （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C 2．（1）]14,6[],3,2[-=-=f f R D ;

（2）];1,0[],1,1[=-=f f R D

（3）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f f R D （4）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f f R D （5）]1,1[),,(-=+∞-∞=f f R D 3．（1）（2）不同；（3）（4）相同。 4．（1）];2,2[-=f D （2）),1()1,(+∞-∞= f D

（3）R D f =

（4）},,01|),{(R y R x y x y x D f ∈∈>++= 5．（1）2010+-=h T

（2）斜率10-=k

（3）C ?-5

6．（1）有界，]3,1[=f R ；（2）有界，]56,25.0[-=f R ；（3）无界，),0(+∞=f R ；

（4）有界，)1,0(=f R 。

7．（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）偶函数。 8．（1）周期函数，周期为π2；（2）不是周期函数；（3）周期函数，周期为π； 9．（1）1；（2）2。 10．（1）);,(,15))(()(2

+∞-∞=-+=++g f R x x x g f

);,(,1))(()(23+∞-∞=+-=--g f R x x x g f );,(,263))(()(2345+∞-∞=+-+=fg R x x x x x fg

),33()33,33()33,(,1

32))(/()/(2

23+∞---∞=-+= g f R x x x x g f （2）]1,1[,11))(()(-=-++=++g f R x x x g f

]1,1[,11))(()(-=--+=--g f R x x x g f

]1,1[,1))(()(2-=-=fg R x x fg

)1,1[,11))(/()/(-=-+=

g f R x

x g f 11．（1）),(,62118))(()(2

+∞-∞=++=g f R x x x g f

),(,236))(()(2+∞-∞=+-=f g R x x x f g ),(,88))(()(234+∞-∞=+--=f f R x x x x x f f

),(,89))(()(+∞-∞=+=g g R x x g g

（2）),0()0,(,21

))(()(3

+∞-∞=+=

g f R x x x g f ),0()0,(,2

1))(()(3+∞-∞=+= f g R x x

x f g

),0()0,(,))(()(+∞-∞== f f R x x f f

),(,410126))(()(3579+∞-∞=++++=g g R x x x x x x g g

12．（1）9,)(5-==x u u u F （2）x u u u F ==,sin )(

（3）1,ln )(2

+==x u u u F （4）3,1

)(+==

x u u

u F 13．（1）x

x x f 2351)(1

+-=

-；（2）2)(1

1-=--x e x f ；（3）x

x f -=-1log )(2

；（4）??

?<≤--≤≤--=-.

01,

01,1)(1

时当时当x x ；x x x f

14．（1）由u e y =，x u arctan =复合而成；（2）由x v v u u y ln ,ln ,ln ===复合而成；（3）由x v v u u y sin ,,ln 3

===复合而成。

15．?

??≥<=0,0,10)]([x x x x x g f

?≥-<=0,30

,10)]([x x x x x f g 习题1.2

1．（1）1212)1(+--=n n x n

n ，不收敛；（2）2

)1(11n

n n x -++=（原题第4项应为45），不收

敛；（3）n

x n

n )1(1-+=，收敛于0

2．（1）D （2）B （3）D （4）C 3．（1）0（2）1（3）1（4）0 4．1lim 0

→x

x x ，1lim 0

-=-

→x

x x ，所以x

x x 0

lim

→不存在。

5．（1）2；（2）5；（3）0 6．2；（2）

41；（3）2；（4）4

。

7．8)(lim ,3)(lim 3

==-

+→→x f x f x x 习题1.3

1．（1）√，（2）×，（3）√，（4）√，（5）×

2．（1）C ，（2）D ，（3）原题应改为：下列变量在0→x 时是同阶无穷小量的一组是，答案是D ，（4）C

3．x x

x x x x sin ,3,01.0,

,1002

是无穷小量。 4．当∞→x 时，βα,都是无穷小，又2

lim

=∞→βαx ，所以α与β是同阶无穷小。习题1.4

1．（1）×（2）×（3）×（4）×（5）×

2．（1）D （2）C （3）A （4）B （5）A （6）D （7）C （8）D 3．（1）9-（2）2

e （3）0（4）

21（5）0（6）3

（7）1-（8）0 4．（1）0（2）3（3）2（4）0（5）2

e （6）1

-e （7）2

e （8）1 5．8,2-==b a 6．1,1==b a

习题1.5

1．（1）√（2）√（3）√（4）×（5）√（6）√（7）×（8）√（9）×（10）×

2．（1）A （2）B （3）A （4）A （5）D （6）C （7）A 3．（1）2-=x ，无穷间断点；（2）,1=x 可去间断点，2=x ，无穷间断点；（3）0=x ，无穷间断点；（4）1=x ，跳跃间断点；（5）0=x ，跳跃间断点。 4．（1）在]2,0[连续；（2）在),1()1,(+∞---∞ 连续。 5．（1）),2)(2,3()3,(+∞---∞ ，2

1；（2）)3,1()1,0( ，6；（3）),2()2,1()1,(+∞-∞ ，；3

（4）)2,(-∞，9ln 。

6．1=a 。

7．13)(5

--=x x x f ，3)1(-=f ，25)2(=f ，0)3()1(

于1和3之间。

习题1.6

1．（1）n r p )1(+；（2）n r p 12)121(+；（3）mn m r p )1(+；（更正：原题中的n r 应为m

）（4）nr pe 2．解题提示：

将吸收层分成n 层逐层考虑，然后考虑∞→n 时出口处2CO 含量的极限，得到出口处2CO 含量y 与吸收层厚度d 之间的函数关系。

第一层吸收量：n kd %8，剩余量：)1%(8n kd

；第二层吸收量：)1(%8n kd n kd -，剩余量：2)1%(8n

-； ……

第n 层吸收量：1)1(%

8--n n kd n kd ，剩余量：n n

)1%(8-； ∞→n 时得到出口处2CO 含量kd n n e n

y -∞→=-=%8)1%(8lim 。

由已知，cm d 10=时，%2=y ，所以5

ln =k

（1）cm d 30=时，%125.0=y ；（2）%1=y 时，cm d 15=

复习题一

1．（1）B （2）C （3）A （4）A （订正原题：??

??>+=<=0,10,

0)(x x x x f ππ）（5）B （6）C （7）A （8）B

2．3

11lim 31-=--→x x x （订正原题：“高阶无穷小”应为“同阶无穷小”。）

3．0→x 时极限不存在；1→x 极限存在为2 4．（1）9-；（2）32；（3）2

1；（4）0；（5）1-；（6）2

e 。 5．8,2-==b a 6．e

a e

b 21

,1==

7．连续区间为),2()2,1()1,(+∞-∞ ，3

)(lim =

→x f x 。

8．设辅助函数x x f x F -=)()(，0)()(

ξξ=)(f

习题2.1

1．（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√ 2．（1）C （2）A （3）C 3．41=

'y ，切线方程：14

+=x y 4．)(x f ' 5．连续且可导

6．（1）)(0x f '；（2）)0(f '；（3）0；（4）)(0x f ''。

7．

1 8．22+t

习题2.2

1．（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√（6）× 2．（1）A （2）D （3）B （4）D （5）A （6）A 3．（1）

1+；（2）0])0([='f ，253)0(-='f ，2513)2(='f 。

4．（1）46-x ；（2）x

x 22332

-；

（3）321

331x

x x --+

；（4）x x sin 3cos 5+；（5）x x

x sin 721--

；（6）34-x ；

（7）x

x x 21

--；（8）222148x x x x +++；（9）x

e x x 2

22-+-；（10）)1(x e x

+；（11）x x x x cos sin 22

+；（12）

)2(ln 21+x x

。

5．（1）4

)12(8+x ；

（2）

x e e +12；

（3）

+x ；

（4）2

cos 22cos 2x x x +；

（5）x

x sin cos ?；（6）

x -?121；

（7）

)1(122-x x ；（8）

12x

+；（9）

)ln 11(21x

x +；（10）2

11x

+；

（11）x sin 1；（12）2

22)

(cos sin sin 2cos 2sin x x x x x x +。 6．（1）2

)64(3x e x x --；（2）

222)(x a x a x

++；（3）2

14x

；（4）x x tan sec 22

。 7．（1）11)21(!2)1(---+???-n n n x n ；（2）x e x n )(+。

习题2.3

1．4=t ； 2．

3．6，12，18 4．

25;2

;4175 5．（1）

)cos sin ()

sin cos (θθμθθμμθ+--=

W d dF ；（2）μθ=tan 6．

3,4

1 习题2.4

1．1=dx 时，23,51

,74=-?==?dy y dy y 5.0=dx 时，25.6,5.25,75.31=-?==?dy y dy y 1.0=dx 时，67.0,1.5,78.5=-?==?dy y dy y

01.0=dx 时，031802.0,51.0,541802.0=-?==?dy y dy y

2．（1）dx x

x )1

1(2+-

；（2）dx x x x )2cos 22(sin +；

（3）

dx x x x 1

)1(12222+++；

（4）dx x x

1ln(2-+。

3．（1）c x +2；（2）c x ++)1ln(；

（3）c x +2；（4）c e x

+-2

2。 4．（1）x y =；（2）x y 2

211+

=；

（3）)1(2

21--=x y 。 5．（1）

120721；（2）12153647；（3）360

63π

+；（4）05.0 6．R

2arcsin

2=α，2

cos

422

2α

αR dl l R dl d =

-=，4

1064.5-?≈?α

习题2.5

1．4)1,1()1,1(='

='y x f f 2．0)4

,0(,1)4,0(='='

ππ

y x f f

3．（1）

x y z x y x z 1,2=??-=??；（2）)

(21,)(21y x y y z y x x x z +-=??+-=??；（3）

222,1y x x

y z y x x z +=

??+-=??；（4）)2tan(2),2tan(y x y z y x x z --=??-=??。 5．（1）dy y

x y y dx y x x dz 2

22212212+++++=

；（2）dy xy ydx y dz x x 1

ln -+=；（3）dy y x

x dx y y dz )()1(2-++=；（4）222222)()(y

x y x dy y x xydx dz ++-+=。

6．

150

复习题二

1．（1）1-；（2）n ；（3）)sin 1(sin )sin 1(cos ,cos )sin 1(2

x f x x f x x x f +'++''+'；（4）

1+=x y ；（5）dx x x x )

1arctan()22(12

-+--

；（6）dy dx 54+；（7）t

t te e 222+；（8）1

)]([!+n x f n ；（9）!1995。

2．（1）22

)(arcsin 13x y +=

'，dx x dy 22

)(arcsin 13+=

；

（2）)3sin 33cos 21(2

x x e y x --='-

，dx x x e dy x

)3sin 33cos 2

(2--=-；

（3）x

x x x x x y ++?+?=

'81

，dx x

x x x x x dy ++?+?=

；

（4）22sin 2cos 2x x x x y -='，

dx x x

x x dy 22sin 2cos 2-=；（5）2arcsin x y ='，dx x

dy 2

arcsin =；

（6）)

1(12

='x x y ，dx x x dy )

1(12

=；

3．（1）

2222y xy x y x x z +++=??，2222y xy x y x y z +++=??，222)2()2(y

xy x dy

y x dx y x x z +++++=

??；（2）

y ye x z x cos =??，)sin (cos y y y e y

x -=??， dy y y y e ydx ye dz x x )sin (cos cos -+=。

4．

507 5．04.0-

6．)/(694.0)005.0(s cm v ≈，

)/1(6.92005

.0s dr dv

r -==

（更正：原题中漏掉血的粘滞系数的值，应为“血的粘滞系数为0.0027s Pa ?”） 7．

min)/(1

m π

8．min)/(2516

5m dt dh h π

习题3.1

1．（1）单调增加区间是)2,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是)3,2(-，2-=x 是极大值点，极大值是60；3=x 是极小值点，极小值是65-。

（2）单调增加区间是),2(+∞，单调减小区间是)2,0(，2=x 是极小值点，极小值是8。（3）单调增加区间是)1,1(-，单调减小区间是)1,(--∞和),1(+∞，1=x 是极大值点，极

大值是

21；1-=x 是极小值点，极小值是2

1-。（4）单调增加区间是)2,0(，单调减小区间是)0,(-∞和),2(+∞，2=x 是极大值点，极大值是2

4-e

；0=x 是极小值点，极小值是0。

（5）单调增加区间是),0(+∞，单调减小区间是)0,1(-，0=x 是极小值点，极小值是0。（6）单调增加区间是)43

,(-∞，单调减小区间是)1,43(，43=x 是极大值点，极大值是4

5。（7）单调增加区间是),2,1,0)(2

( ±±=+

k k k π

ππ

π，无极值点。

（8）单调增加区间是)21,1(-和),5(+∞，单调减小区间是)1,(--∞和)5,21

(，1-=x 是极

小值点，极小值是0；21=x 是极大值点，极大值是3818

；5=x 是极小值点，极小值是

0。

2．（1）极小值2ln 42)1(-=f ；（2）极小值是22)2ln 2

(=-

f 。 3．（1）只有一个驻点)2,2(-，它是极大值点，极大值是8。

（2）共5个驻点)4,6(),0,6(),2,3(),4,0(),0,0(，其中)2,3(是极大值点，极大值是36，其它点都不是极值点。

（3）只有一个驻点)1,21

(-，是极小值点，极小值是2

e -。（4）只有一个驻点)0,0(，是极大值点，极大值是0。

习题3.2

1．（1）在)21

,(--∞内下凹，在),21(+∞-

内上凹，)2,2

(-是拐点。（2）在)0,(-∞和),0(+∞内上凹，无拐点。

（3）在)1,(--∞和),1(+∞内上凹，在)1,1(-在内下凹，)21,

1(e

π-和)21,

1(e

π是拐点。

（4）在)1,(--∞和),1(+∞内下凹，在)1,1(-内上凹。)2ln ,1(-和)2ln ,1(是拐点。 3．2

,23=-

=b a 习题3.3

1．（1）202

=x P ；（2）13元。 2．（1）07.4)1000(,33.2)1000(,71.2330)100(='==C A C ；（2）07.1)0(,159min ≈≈A x

3．ππ3

22-

4．长宽为,23V 高为时，所用铁皮最省。

5．鱼群数量控制在kg 41075.3?时，才能获得最大持续捕捞量，最大持续捕捞量是

kg 410625.5?（更正：原题中的“鱼群的年自然增长率为4%”应为“鱼群的年自然增长

率为400%”。）

6．80,120

==y x 时，获得的利润最大。复习题三

1．（1）错，（2）错，（3）错，（4）错，（5）对，（6）错，（7）错，（8）错，（9）对，（10）对

2．（1）)1,(-∞和),3(+∞是单调增区间，)3,1(-是单调减区间；

1-是极大值点，极大值是3；3是极小值点，极小值是61-。

（2）),0(n 和是单调增区间，),(+∞n 是单调减区间；

n 是极大值点，极大值是n n e n -。

3．（1）)35

,(-∞下凹区间，),35(+∞是上凹区间；)27

35(是拐点。（2）)1,(--∞和),1(+∞下凹区间，)1,1(-是上凹区间；)2ln ,1(-和)2ln ,1(是拐点。 4．)1,1(-是极小值点，极小值是0。 5．h km /3103，720元。 6．照度函数2

322)

(h r h k

A +=；

当r h 2

时，照度最大。方桌边长是1米：当4

h 米时，方桌四边中点的照度最大；

当2

h 米时，方桌四个角的照度最大。 7．底宽为2

米、底长为336米、高为33695米时，费用最低，最低费用是3690元。