高等数学(本科)第九章课后习题解答
习题9.1
1.二元函数()y x f ,在有界闭区域D 可积的充分与必要条件是什么？它的几何意义和物理意义是什么？
【答】几何意义表曲顶柱体的体积的代数和；物理意义表平面薄片的质量. 2.设()(){}
11|,22
≤+-=y x y x D ，则二重积分??=D
dxdy π.
【解】根据二重积分的性质，??D
dxdy 等于积分区域D 的面积.而此处积分区域D 是
半径为1的圆域，因此其面积为π. 3.求??D
dxdy 4，其中(){}1|,≤+=y x y x D .
【解】??D
dxdy 4()()
824442
=?
===??D S dxdy D
.
4.如果闭区域D 被分成区域1D 、2D 且()5,1
??=D dxdy y x f ，()1,2
??=D dxdy y x f ，求
()??D
dxdy y x f ,.
【解】根据二重积分的性质
()??D
dxdy y x f ,()??+=1
,D dxdy y x f ()615,2
=+=??D dxdy y x f .
5.设()??+=1
3
221D d y x I σ， (){}22,11|,1≤≤-≤≤-=y x y x D ；()??+=2
3
222D d y x I σ
，其中(){}20,10|,2≤≤≤≤=y x y x D .试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之 间的关系.
【解】因为积分区域2D 关于x 轴及y 轴均对称，且被积函数()()
3
22,y x y x f +=为偶函数，故根据二重积分的对称性知214I I =. 6.估计下列积分的值. （1）??+=D
y x
d e I σ2
2
，其中(){}41|,22≤+≤=y x y x D ；
【解】积分区域D 的面积πσ3=.显然被积函数()3
2
,y x e y x f +=在积分区域D 内有
最小值e e m ==1及最大值4e M =，因此由估值定理知 433e I e ππ≤≤.
（2）??=D
yd x I σ22sin sin ，其中(){}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0|,.
【解】积分区域D 的面积2πσ=.显然被积函数()x x y x f 22sin sin ,=在积分区域
D 内有最小值()00,0==f m 及最大值12,2=??
?
??=ππf M ，因此由估值定理知
20π≤≤I .
7.设函数()y x f ,在点()b a ,的某个邻域内连续，D 表示以点()b a ,为圆心且完全含在上述邻域内的圆域（半径为R ）.求极限 ()??→D
R d y x f R σπ,1lim
2
0.
【解】积分区域D 的面积2R πσ=.由积分中值定理知 ()??D
d y x f σ,()()ηξπσηξ,.,2f R f ==.
显然当0→R 时，()()b a ,,→ηξ，所以 ()??→D
R d y x f R σ
π,1lim
2
0()()b a f f R ,,lim 0
==→ηξ.
8.设区域(){}1|,22≤+=y x y x D ，()y x f ,为区域D 上的连续函数，且 ()()dxdy y x f y x y x f D
??---=,1
1,22π
. ① 求()y x f ,.
【解】记 ()dxdy y x f a D
??=,. ②
则①成为
()π
a
y x y x f ---=221,. ③
由③得
()??????
-
--=D
D
D
dxdy a
dxdy y x dxdy y x f π
221,. ④
其中，根据几何意义及性质可知
3
2134211322ππ=??? ???=
--??
dxdy y x D
.
π=??D
dxdy .
所以由④式得到 3
.32ππππ=?-=a a a . 将3
π
=
a 代入③即得到
()3
11,22---=y x y x f .
习题9.2
1.在化二重积分时，选择坐标系的原则是什么？
【解】选择坐标系的原则主要是根据积分区域的形状，具体地讲，积分区域的边界曲线是用直角坐标方程表示方便还是用极坐标方程表示简洁.当然，被积函数的特征也要考虑，如形如()
22
y x
f
+的积分就首选极坐标系来计算.
2.先画出积分区域，再计算二重积分.
（1）()
??+D
d y x σ22，其中D 是矩形区域：1,1≤≤y x ；
【解】
记(){}10,10|,1≤≤≤≤=y x y x D .由对称性知
()
??+D
d y x
σ22
()??+=1
224D d y x σ()dy y x dx ??+=1
01
224
?????????? ?
?+=101032|314dx y y x 383131
4314101032|=??? ??+=??? ??+=?x x dx x .
（2）()
??++D
d y y x x σ3233，其中D 是矩形区域：10,10≤≤≤≤y x ；
【解】
()
??+D
d y x
σ22
()dy y y x x dx ??++=10103233????
?????? ?
?++=10104223|4123dx y y x y x
141214
141231
01
03423|=??? ??++=??? ??++=?x x x dx x x .
（3）()??+D
d y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；
【解】
()??+D
d y x σ23()dy y x dx x
??-+=2
02023()???
???
?+=-20202|3dx y xy x
()()[]
()
3204324222232020232022
|=??
? ??++-=++-=-+-=??x x x dx x x dx x x x .
（4）()??+D
d y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π，()ππ,的三角形区域；
【解】()??+D
d y x x σcos ()dy y x x dx x ??+=π00cos ()???????+=π00|sin dx y x x x
()???-=-=ππ
π0
sin 2sin sin 2sin xdx x xdx x dx x x x
()()??+-=π
π0
0cos 2cos 21x xd x xd 【分部】
()????
??-+???
???--=??ππππ0000cos cos 22cos 212cos 21||xdx x x x xd x x
πππππππ2321sin 2sin 2121||00-=--=????
??--+??????--=x x .
（5）??D
xy dxdy ye ，其中D 是由曲线2,2,1
===
y x x
y 所围成的区域； 【解】??D
xy
dxdy ye dy ye dx x xy
??=2
212
1()x d e yd x x xy ????????=2
212
11
x d dy e ye x x xy x xy ?????? ??-=2212121|1x d e x x e e x x xy x
????? ??--=221212|1121 x d e x e x x x ???? ??-=2
2122212x d e x x
?=221212x d e x
x ?-221221
其中
=?
x d e x x 2
2
1
221??? ??-?x d e x 12212【分部】()
??
????--=?2212221211|x x e d x e x ++-=e e 221
4x d e x
x ?221212.
所以
??D
xy
dxdy ye -=?x d e x x 221212e e dx e x e e x
22
112221422214-=??????++-?. （6）()??+D
dxdy y x sin ，其中D 是矩形区域：ππ20,0≤≤≤≤y x .
【解】以直线π=+y x 及π2=+y x 将区域D 分成三个子区域：
321D D D D ??=.
其中，???≤≤-≤≤,
0,
0:1ππx x y D ， ??
?≤≤-≤≤-,0,2:2
πππx x y x D ，???≤≤≤≤-,
0,
22:3πππx y x D ()dy y x dx I x
??
-+=ππ0
sin ()dy y x dx x x ??
--+-+πππ0
2sin ()dy y x dx x
??
-++ππ
π0
22sin
其中()dy y x dx x
??
-+ππ0
sin ()dx y x x ?
??
????+-=-π
π0
0|cos ()()πππ
=+=+=?|0
sin cos 1x x dx x ；
()dy y x dx x
x
??
--+-π
ππ0
2sin ()dx y x x
x ???
????+=--πππ02|cos
ππ
220
==?dx ；
()dy y x dx x ?
?
-+π
π
π0
22sin ()dx y x x ???
????+-=-ππ
π022|cos ()()πππ
=-=-=?|0
sin cos 1x x dx x .
所以 .42ππππ=++=I
3.化二重积分()??D
d y x f σ,为二次积分，且二次积分的两个变量的积分次序不同，
其中积分区域D 为：
（1）由直线x y =及抛物线x y 42=所围成的区域；
【解】联立???==,4,2x y x y 解得
??
?==,0,0y x 或???==.
4,
4y x 所以直线x y =及抛物线x y 42=的交点为()0,0及()4,4.
（i ）若视区域D 为-X 型区域，则???≤≤≤≤.
40,
2:x x y x D
()??
D
d y x f σ,()??
=40
2,x
x
dy y x f dx .
（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则?????≤≤≤≤.40,
41:2
y y x y D
()??
D
d y x f σ,()??=40
4
1
2
,y y dx y x f dy .
（2）半圆形区域222r y x ≤+，0≥y .
（i ）若视区域D 为-X 型区域，则?????≤≤--≤≤.
,
0:22r x r x r y D
()??D
d y x f σ,()?
?
--=r
r
x r dy y x f dx 3
20
,.
（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则?????≤≤-≤≤--.
0,
:3222r y y r x y r D
()??D
d y x f σ,()??
---=r
y r y r dx y x f dy 0
3
22
2,.
4．交换下列积分次序 （1）()??
--2
1222,x x x
dy y x f dx ；
【解】D 是由圆周曲线()1122
=+-y x ，2=+y x 【两曲线交于点()1,1】所围成的区域.故
()??
--2
1
222
,x x x
dy y x f dx ().,1
1122
??
-+-=y y
dy y x f dy
（2）()??
e x
dy y x f dx 1
ln 0
,；
【解】积分区域D 由曲线x y ln =，及x 轴和直线e x =所围成. 若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则
?
??≤≤≤≤,10:1y e
x e D y ，所以
()??
e x
dy y x f dx 1
ln 0
,().,10
??=e
e
y dx y x f dy
（3）()??
10
2,x x
dy y x f dx ；
【解】积分区域D 由抛物线x y 42=及两直线x y =和直线1=x 所围成.若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则需要将D 分块： 21D D D ?=.其中
?????≤≤≤≤,104
1:2
1y y
x y D ，?????≤≤≤≤,
211
4
1:2
2y x y D .所以 ()??
10
2,x
x
dy y x f dx
()??=10
4
1
2
,y y dx y x f dy ()??+21
14
1
2
,y dx y x f dy .
（4）()??
--01
2
1,y
dx y x f dy ()??
++10
2
1,y
dx y x f dy .
【解】积分区域21D D D ?=.其中
??
?≤≤-≤≤-,012
1:1y x y D ，??
?≤≤≤≤+,
102
1:2y x y D 因此积分区域D 是由三直线1,1=-=+y x y x 及2=x 所围成的三角形区域.
若改变积分次序，即将区域D 视为-X 型区域，则???≤≤-≤≤-21,
11:x x y x D
所以 ()??
--012
1,y dx y x f dy ()??
++10
2
1,y
dx y x f dy ()??--=211
1,x x dy y x f dx .
5.计算??-10
1
22
x
y dy e dx x .
【解】积分区域D 是由直线x y =、1=y 及y 轴所围成的三角形区域. 改变积分次序得
??-10122x y dy e dx x ??-=10022y y dx x dy e ???
? ??=-10
03|31
2dy x e y y
?-=
103231dy e y y ()
?--=10
22
61y e
d y 【分部】 (
)
??????-+-=?--10210222|61y d e e y y y ??????+-=--|1012
61y e e 6131+-=e .
6.求由平面0,0==y x 及1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面
z y x -=+622截得的立体的体积.
【解】根据二重积分的几何意义知
()
??--=D
dxdy y x V 226.
其中积分区域D 是xoy 面内由直线1=+y x 及x 轴、y 轴所围成的平面区域.
V ()dy y x dx x
??
---=10
10
2
2
6?????????? ?
?--=-1
01032
|316dx y y x y x
()()()????? ?
?+--=???
???-----=101023323175234131116dx x x x dx x x x x .
617
317253231
|10234=??
? ??+
--=x x x x . 7.利用极坐标计算下列各题. （1）??+D
y x
d e σ2
2
，其中D 是圆形区域：422≤+y x ； 【解】??+D
y x
d e σ22
??+=1
2
2
4D y x
d e σ【极坐标】
()
121244202020
|22-=??
?
??==??e e rdr e d r r ππθπ
.
（2）()
??++D
d y x σ221ln ，其中D 是圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限内所围
成的区域；
【解】()
??++D
d y x σ221ln 【极坐标】
()
=+=??rdr r d 20
1
21ln π
θ【令t r =2】()dt t ?+=
1
1ln 4
π
【分部】()??????
+-+=
?dt t t t t 101011ln 4|π()??
????
+-+-=?dt t t 101112ln 4π []()12ln 24
1ln 4
2ln 4
|
10
-=
+--
=
π
π
π
t t .
（3）σd x y
D
??arctan ，其中D 是由圆周122=+y x ，422=+y x 及直线x
y y ==,0在第一象限内所围成的区域；
【解】rdr r r d dxdy x y I D
.cos sin arctan arctan 4021????==π
θθ
θ
==??rdr d .4
2
1
π
θθ .6432
1.21.2
21240240
2
1
||πθθθππ
=????????????=?
?r dr r d
（4）??D
xdxdy ，(){}x y x y x D 22|,22≤+≤=；
【解】??D
xdxdy ??=1
2D xdxdy 【极坐标】
??
????+=????24cos 20
4020.cos .cos 2π
πθ
πθθθθrdr r d rdr r d
?????
???? ??+=???24cos 2034020
2
|31cos .cos 2π
πθπθθθθd r dr r d ???
?????+??? ?????? ??=?24420
340cos 3831sin 2||πππ
θθθd r θθπ
πd ?+=24
4
cos 3163424132331634ππ=??????-+=.
【其中
θθπ
πd ?24
4cos θθπ
πd 2
2422cos 1???? ??+=()
θθθππd ?++=242
2cos 2cos 2141
?=2441ππθd ()?+2422cos 41ππθθd ＋?+242
4cos 141π
πθθ
d 413234sin 32
14812sin 41441||2424-=?
?????+?++?=πθπθππ
πππ】. 【注意：此题书中答案有误】.
（5）??-D
dxdy y x ，(){}0,0,1|,22≥≥≤+=y x y x y x D ；
【解】以直线x y =将积分区域D 分块：21D D D ?=
其中1D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及x 轴和直线x y =所围成； 其中2D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及y 轴和直线x y =所围成.
??-D
dxdy y x ()+-=??1
D dxdy y x ()??-2
D dxdy x y 【极坐标】
()rdr r r d ??-=1
4
sin cos θθθπ
()rdr r r d ??-+1
2
4
cos sin θθθπ
π
()dr r d ??-=1
2
40
sin cos π
θθθ()dr r d ??-+1
224
cos sin π
πθθθ
()??? ????????+=||1034031.cos sin r πθθ()??? ?
???????+-+||1032431.sin cos r π
πθθ ()()12311231-+-=
()
123
2
-=. （6）()
??+D
dxdy y x y 23，(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D .
【解】()
??+D
dxdy y x y 23??=D
ydxdy ??+D
dxdy y x 230+=??D
ydxdy
【极坐标】rdr r d ??=20
.sin θθπdr r d ??=2
20
sin πθθ
3
16
31cos ||2030=????????????-=r πθ. 8.把()
??+=D
dxdy y x
f
I 22
化为单重积分，其中(){}1|,22≤+=y x y x D .
【解】()
??+=D
dxdy y x
f
I 2
2
【极坐标】()??=1
204rdr r f d π
θ
()??? ?
????? ??=??1
020.4rdr r f d πθ()?=102rdr r f π.
9.把下列积分化为极坐标形式，并计算其积分值. （1）()
??
-+a
y a dx y x
dy 00
22
22；
【解】()
??
-+a
y a dx y x
dy 0
2
2
2
2【极坐标】4
042
28
4
1
2|a r rdr r d a
a
ππθπ
=??? ??=
=??. （2）()
??
-+a
x ax dy y x
dx 20
20
22
2
；
【解】()
??
-+a
x ax dy y x
dx 20
20
2
2
2
【极坐标】=
=??
rdr r d a 20
cos 20
2
π
θ
θ?
??
? ??20
cos 204|41π
θθd r a . 442
44
4
3
2.!!4!!34cos 4a a d a ππθθπ
=??? ??==?
.
（3）?
?
+a
x
dy y x dx 0
22；
【解】??
+a
x
dy y x dx 0
2
2【极坐标】=
=??
rdr r d a 40
sec 0
.π
θ
θ?
??
? ??40
sec 03|31π
θθd r a ?=403
3sec 31π
θθd a []|403tan sec ln tan .sec 6
1π
θθθθ++=a
()[
]
21ln 26
13
++=
a
【其中，()??==θθθθtan sec sec 3d d I 【分部】()?-=θθθθsec tan tan .sec d
?-=θθθθθd 2tan sec tan .sec ()
?--=θθθθθd 1sec sec tan .sec 2 I d d -++=+-=??θθθθθθθθθθtan sec ln tan .sec sec sec tan .sec 3
所以，[]C I +++=
θθθθtan sec ln tan .sec 2
1
.】 （4）??+1
222x
x
dx y x dx .
【解】??+10
2
2
2x
x
dx y x dx 【极坐标】=
=??
rdr r d a 40sec tan 0
.π
θ
θθ?
??
? ??40
tan sec 03|31π
θθθd r a ?=40333tan sec 31πθθθd a ()
()?-=40223sec 1sec sec 3
1
π
θθθd a
(
)
1245
2sec 31sec 5131|40353+=??????-=π
θθa .
10.设()x f 为连续函数，且()()
??+=D
dxdy y x f t F 22，其中
(){}
222|,t y x y x D ≤+=，求极限()t
t F t '→0
lim
.
【解】()(
)
??+=D
dxdy y x f t F 22【极坐标】()rdr r f d t
??=π
θ20
2
()r dr r f t
?=0
22π.
故 ()()22t tf t F π='. ① 所以
()t t F t '→0lim
【代入 ①】()()022lim 0f t t tf t ππ==→. 【注意：怀疑此题本身有问题，故对题目本身作了合理修正】
11*.设()x f 在[]1,0上连续，并设()A dx x f =?10
，求()()??10
1
x
dy y f x f dx .
【解】 记?
??≤≤≤≤,10,
1:1x y x D ?
?
?≤≤≤≤,10,
0:2
x x y D ，21D D D ?=.则 ()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x
????==1
1
1
1. ①
()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x
????==2
10
2. ②
又交换积分次序后
()()=
=??1
1
1x dy y f x f dx I ()()??10
y dx y f x f dy ()()??=10
x
dy y f x f dx ，即
21I I =.
所以有 ()()()dxdy y f x f I I I D
??=+=2121
211 ()()2
10102
121A dy y f dx x f ==
??. 12*.设()x ?为[]1,0上的正值连续函数，证明：()()()()()b a dxdy x y x b y a D
+=++??
2
1
????，其
中b a ,为常数，(){}10,10|,≤≤≤≤=y x y x D . 【证明】因为积分区域D 关于直线x y =对称，则 ()()()
=
+=??
D
dxdy y x x I ???()()()??+D
dxdy y x y ???. ① 故有
()()()()21
2121==??????++=????D
D dxdy dxdy y x y x I ????. ② 所以有
()()()()=++??D dxdy x y x b y a ????()()()b dxdy y x y a D
++?????()()()??+D
dxdy y x x ??? ).(2
1
b a bI aI +=
+= 13*.设闭区间[]b a ,上()x f 连续且恒大于零，试利用二重积分证明不等式
()()
()2
1a b dx x f dx x f b
a
b
a
-≥?
?
. 【证法一】考虑到定积分与变量的记号无关.故有： ()()
??
=b a b
a
y f dy x f dx
. ① 以及
()().dy y f dx x f b
a
b
a
??
= ②
所以有
()()()()
..????=????????????D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ③
其中，???≤≤≤≤.
,
:b y a b x a D 同时
()()()()
..????=????????????D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ④ ③+④，得
()()()()()()()()()().2.2??????≥??????+=????????????D D
b a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()2
22.D
dxdy b a ==-??
即： ()()()2
..b b a a dx f x dx b a f x ????≥-????????
?? 【证法二】：因为(
)0≥x f ，所以有
2
0b a dx ?
?
?≥??
?，即 ()()()
220.b
b
a
a
dx
f x dx b a f x λλ??+-+≥???
?
??
① ①式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式
()()()2
0b b a a dx b a f x dx f x ?????=--≤????????
??. ② 故由②得到
()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ????≥-????????
??
14*.设()x f 在闭区间[]b a ,上连续.试利用二重积分证明不等式
()()()dx x f
a b dx x f b
a b
a ??-≤??
????2
2
.
【证明】由于
()2
???????dx x f b a ()()??
??????????=??dx x f dx x f b a b a ()()??
??????????=??dy y f dx x f b
a b a . ① 令 ???≤≤≤≤.
,
:b y a b x a D 则 由①得到
()()()dxdy y f x f dx x f D
b
a ???=??????2
. ②
又 ()()()()2
2
2
y f
x f
y f x f +
≤.
③
故
()()()dxdy y f
x f dx x f D
b a ][212
2
2+
≤?????????
()()????
??+=
????b a b a b a b a dy y f dx dx x f dy 2
221 ()()dx x f a b b a ?-=2
21()()dy y f a b b a ?-+22
1【定积分与变量记号无关
()()dx x f
a b b
a
?-=2
.
15*.设区域(){}0,1|,22≥≤+=x y x y x D ，求二重积分??
+++D
dxdy y x xy
2
211.
【解】??
+++D
dxdy y x xy 2211??++=D dxdy y x 2211??+++D dxdy y
x xy
221 011
21
2
2+++=??D dxdy y x 【极坐标】rdr r d ??
+=2
1
02
11
2πθ ()(
).2ln 2
1ln 2
1112|
10
2
21
02π
ππ
=
+=++=
?r
r d r
习题9.３
1.利用定积分、二重积分和三重积分计算空间立体体积时，被积函数和积分区域
各有什么不同？ 【解】略.
2.将三重积分()dxdydz z y x f I ???Ω
=,,化为三次积分，其中空间区域分别为：
（1）由曲面22y x z +=，0=x ，0=y ，1=z 所围成且在第一卦限内的区域；
【解】???
????≤≤-≤≤≤≤+Ω.10,10,1:2
22x x y z y x Ω向xoy 面上投影区域为?????≤≤-≤≤.
10,10:2x x y D xy ，
所以()dz z y x f dy dx I y x x ??
?+-=1
10
1
2
2
2
,,.
（2）由双曲抛物面xy z =及平面01=-+y x ，1=z 所围成的区域；
【解】??
?
??≤≤-≤≤≤≤Ω.
10,10,
0:x x y xy z Ω向xoy 面上投影区域为???≤≤-≤≤.10,10:x x y D xy ，
所以()dz z y x f dy dx I xy
x
??
?-=0
10
10
,,.
（3）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的区域. 【解】联立
?????-=+=,
2,22
2
2x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 1:22≤+y x D xy . 故
???
?
???≤≤--≤≤---≤≤+Ω.11,11,22:22222x x y x x z y x
所以
()dz z y x f dy dx I x y x x x ??
?-+----=2
2
2
22
22111
1,,.
3.利用直角坐标系计算下列三重积分.
（1）dV z xy ???Ω
32，其中Ω是由平面x y =，1=x ，0=z 及曲面xy z =所围区域.
【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,
0:?
??≤≤≤≤x x y D 故
dz z dy y xdx dV z xy xy
x
??????=Ω
03
02
103
2????????=x
xy dy z y xdx 004210|41
??=
x dy y dx x 06
10541???
????=10075|7141dx y x x 3641131281281|10131012=?==?x dx x . （2）()
???
Ω
+++3
1z y x dV
，其中Ω是由平面0=x ，0=y ，0=z 及1=++z y x 所围成的四面体；
【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.1
0,
10:???≤≤-≤≤x x y D 故
(
)dxdydz z y x ???Ω+++311=()dz z y x dy dx x y x ???---+++101010
311
()
()z y x d z y x dy dx x
y
x ++++++=??
?
---111
10
10
10
3
()??
---??????+++-=10
10
10
2|11.21x
y x dy z y x dx ()??
-??
?
???-++=10
10
2
411121x
dy y x dx ?-???? ??-++-=1010|411121dx y y x x
???
?
??+++-=
101144321dx x x ().16
5
2ln 21811ln 4321|102-=??? ??+++-=x x x （3）()dxdydz z x y ???Ω
+cos ，其中Ω是由抛物柱面x y =以及平面0=y ，0=z ，
2
π
=
+z x 所围成区域.
【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.20,
0:???
??≤
≤≤≤πx x y D 故
()dxdydz z x y ???Ω
+cos =()dz z x ydy dx x
x
??
?-+20
20
cos π
π
()??
??
????+=-20
0|2sin π
π
x
x
dy z x y dx ()??-=200sin 1π
x ydy x dx ()???
????-=2002|21
sin 1πdx y x x ()?-=20sin 121π
dx x x
?=20
21
πxdx 21161sin 21220-=-?ππ
xdx x .
【其中
22022016
1
4121|πππ
==?x xdx ；
()??=-20
20cos 21
sin 21π
πx xd xdx x 【分部】
??
????
-=?2020cos cos 21|ππxdx x x 21sin 21|20-=-=π
x .】
4.利用柱面坐标计算三重积分.
（1）()
d V y x ???Ω
+22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的区域；
【解】本题宜采用“切片法”计算
()
()
dxdy y x dz dz dxdy y x
z
D ??????+=+Ω
2
222
2
.3163242.||20320
20
2
42
20
20
πππθπ====?
?
??z dz r rdr r d dz z z
如采用柱面坐标系：
()
dz dxdy y x
???Ω
+22
.3166.2142222.2|20642
02
23
2
22
20
2πππθπ=??
????-=????
??-==????
r r dr r r dz r rdr d r （2）()
d V y x ???Ω
+22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的区
域；
【解】（柱面坐标法）
Ω在xoy 坐标面上的投影区域为
.4:22≤+y x D
()
V d y x
???Ω
+22
dr z r dz r rdr d r r ????????
??==2020
525352
5220|.2πθπ dr r r ??? ??
-=?
25522
3
πππ824
52|2054=??????-=r r .
（3）dV xyz ???Ω
，其中Ω是由球面1222=++z y x 及三个坐标面所围且在第一卦
限内的区域.
【解】（球面坐标法）
Ω在xoy 坐标面上的投影区域为
V xyzd ???Ω
???=20
1
53
20
cos sin cos sin π
π
ρρ???θθθd d d
4816
1.sin 41.sin 21|||10
6204
202=??????????????????=ρ?θπ
π.
5.利用球面坐标计算三重积分.
（1）()
d V z y x ???Ω
++222，其中()(
){
}
222223,|,,y x z z z y x z y x +≥≤++=Ω；
【解】（球面坐标法）
()
d V z y x
???Ω
++2
22
??
?=60
cos 0
2220
.sin π
?
π
ρρρ??θd d d
?ρ?ππ
?d ?
??
?
???=6
cos 05|51sin 2???ππ
d ?=605sin cos 52
()??ππcos cos 52605d ?-=π?ππ
960
37cos 6152|606
=??????-=.
（2）dxdydz z ???Ω
2，其中Ω是由抛物面22y x z +=之上，球面2222=++z y x 之
内的部分围成；
【解】（柱面坐标法）
联立???+==++2
2222,2y x z z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上投影区域.1:2
2≤+y x D 所以
dz dxdy z
???Ω
2
???-=1
22
20
2
2
r r
dz z rdr d πθ???
?
???=-1
23|22312r r z r π
(
)??????
?
--=106
3
2
232dr r r r π
()
?-=1032
232dr r r π()
πππππ12
1228151121232107--=-=-?dr r ()
13232
60
-=
π
.
【其中
()
?-10
32
232dr r r π【令t r sin 2=】?=
404cos .sin 328π
πtdt t ()()
ππππ
π228151cos 51328cos cos 328|405404-=??
????-=-
=?t t td ； .12
1
813232|108107πππ-=??????-=-?r dr r 】
（3）dxdydz x ???Ω
，其中()(){}0,0,0|,,2222≥≥>≤++=Ωy x a a z y x z y x .
【解】（球面坐标法）
???
Ω
xdxdydz ???=ππ
ρρθ?ρ??θ00
220
.cos sin sin a
d d d ???=π
π
ρρρ??θθ0
22
2
.sin cos a
d d d
404020841
.2sin 412
1.sin |||a a πρ??θππ
=??????????????? ??-??????=.
6.采用三种坐标计算三重积分dxdydz z ???Ω
2，其中()2222|,,{R z y x z y x ≤++=Ω
()}2,0222Rz z y x R ≤++>.
【解法一】（柱面坐标法）
联立???=++=++,
2,
2
22222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .4
3:222R y x D ≤
+
dz dxdy z ???Ω
2 dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ?
?
?
????
? ??==------2
3
2
30
32
20
|22222
22
23.2πθπ
()()?
?????
?--
--=
R dr r
R R r R r 2
30
3
2
2
3
2
23
2π
（令t R r sin =）
()[]
?
--=
30
3
33cos .cos cos sin 32π
π
tdt R t R R t R t R
[]
?
-+-=
30
235cos sin cos 3cos 31cos 23
2π
π
tdt t t t t R
?=3045sin cos 34π
πtdt t R ?-305sin cos 3
2π
πtdt t R
?
+30
25
sin cos 2π
πtdt t R
?
-30
35
sin cos 2π
πtdt t R
|30555cos 34ππt R -=|302
52
cos 32ππt R +
|3035
3cos 2ππt R -|304
54
cos 2ππt R + ??? ??--=32311545R π??
? ??-+4335R π??? ??--87325R π??? ??-+161525R π .480
595
R π=
【解法二】（球面坐标法）
球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω?Ω=Ω 其中
?????≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπ?πθ ?????≤≤≤≤≤≤Ω,
cos 20,23
2,20:2?ρπ
?ππθR
则
dz dxdy z ???Ω
2=dz dxdy z ???Ω1
2dz dxdy z ???Ω+2
2
ρρ?ρ??θπ
π
d d d R
???=20
30
222.cos sin
ρρ?ρ??θπ
π
π?
d d d R ???
+20
23
cos 20
222.cos sin
??? ?????
? ??=??R d d 04302cos .sin 2ρρ???ππ ???
? ??+???ππρρ???πcos 204232cos .sin 2R d d ??? ?????? ??-=||0530351cos 312R ρ?ππ
???? ??+?2375cos .sin 32512ππ???πd R 551.247.2R π=???? ?
?-+|2385cos 81564π
π?πR 5607R π=
??
? ??+81.25615645R π5607R π=5160R π+.480595
R π= 【解法三】（直角坐标系之“切片法”）
将Ω分块为21Ω?Ω=Ω.
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！ 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34 134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 =？ 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：7 15888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x e e = （）。 第8章第1节向量及其线性运算 习题8—1 11,12,15,17,18 第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—2 3,4,6,7,9,10 第8章第3节曲面及其方程 习题8—3 2,5,7,9, 10(1)(2)(3)(4) 第8章第4节空间曲线及其方程 习题8—4 3,4,7,8 第8章第5节平面及其方程 习题8—5 1,2,3,5,9 第8章第6节空间直线及其方程 习题8—6 1,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12, 13,15 第8章总复习题 总复习题八 1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2), 15,17,19,20 第9章第1节多元函数基本概念 习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8 第9章第2节偏导数 习题9—2 1(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2), 9(1) 第9章第3节全微分 习题9—3 1(1)(2)(4),2,3,5 第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—4 2,4,6,7,8(1)(2),10,11, 12(1)(4) 第9章第5节隐函数的求导公式 习题9—5 1,2,4,5,6,8,9,10(1)(3) 第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—6 3,4,6,7,9,10,12 第9章第7节方向导数与梯度 习题9—7 2,3,5,7,8,10 第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—8 1,2,5,6,7,9,11 第9章第9节二元函数泰勒公式 习题9—9 1,3 第9章总复习题 总复习题九 1,2,3,5,6,8,9, 12,15,16,17,20 第10章第1节二重积分的概念与性质 习题10—1 2,4,5 第10章第2节二重积分的计算法 习题10—2 1(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分 习题10—3 1(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1) 第10章第4节重积分的应用 习题10—4 1,2,5,6,8,10,14 第10章总复习题 总复习题十 1,2(1) (3),3(1)(2) 6,8(1)(2),10,11,12 第11章第1节对弧长的曲线积分 习题11—1 1,3(3)(4)(5)(7),4 第11章第2节对坐标的曲线积分 习题11—2 3(1) (2)(3) (5) (6)(7), 4(1)(2)(3),7(1)(2),8 第11章第3节格林公式及其应用 第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题] 写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、 同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)高等数学课后习题及解答
高等数学上复旦第三版 课后习题答案
微积分课后题答案习题详解
高等数学同济第六版上册课后答案
大学《高等数学A》课后复习题及解析答案
高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解
高数课后题答案及详解
精品高数课后题答案及详解
关于高等数学课后习题答案
高等数学第四章不定积分课后习题详解
同济高等数学下册课后题答案详解
《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)
(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集