福建师大附中2012-2013年高二上数学(文)期末试题及答案

福建师大附中

2012—2013 学年度上学期期末考试
高二数学文试题

（满分：150 分，时间：120 分钟）

一、选择题：（ 每小题 5 分，共 60 分；四个选项中，只有一项符合题目要求 ）
1．已知命题 p :?x ? R ， sin x ≤1，则（***）

A. ?p : ?x0 ? R ， sin x0 ? 1 B. ?p : ?x0 ? R ， sin x0 ?1
C. ?p :?x ? R ， sin x≥1 Ｄ. ?p :?x ? R ， sin x ?1

2.某物体的位移 S （米）与时间 t （秒）的关系是 S(t) ? 3t ? t 2 ,则物体在 t ? 2 秒时的瞬时

速度为（***）
A. 1m/s B. 2 m/s C. ?1m/s D. 7 m/s

3．已知定点 A、B，且| AB |? 2 ，动点 P 满足| PA | ? | PB|? 1，则点 P 的轨迹为（***）

A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线

4．抛物线 x2 ? y 的准线方程是（***）

A.4 x + 1 = 0 Ｂ.4 y + 1 = 0 Ｃ.2 x + 1 = 0 Ｄ.2 y + 1 = 0

5． p :若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零， q : 若 m ? ?2 ，则 x 2 ? 2x ? m ? 0 有实根，则

（***）

A." p ? q" 为真 B."?p"为真 C." p ? q" 为真 Ｄ."?q"为假

6. 某公司的产品销售量按函数 y ? f (t) 规律变化，在 t ?[a,b]时，反映该产品的销售量的

增长速度先快后慢的图象可能是（***）

y A. yB. C.y D. y



o o o o
a b t a t a b t a b t
b
7. 设 p :“ k ? 0 ”, q : “直线 l : y ? kx ?1与抛物线 y 2 ? 4x 只有一个公共点”，
则 p 是 q （***）条件
A. 充分且非必要 B. 必要且非充分 C. 充分且必要 D. 既非充分也非必要


8.曲线 f (x) ? x ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为（***）
A. y ? ?x ?1 B. y ? x ?1 C. y ? ex ? e D. y ? ?ex ? e


9．若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能是（***）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线

10.设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐进
线垂直，那么此双曲线的离心率为（***）

3 ?1 5 ?1
A. 2 B. 3 C. D.

2 2
2 3a
11.已知数列?a ? 满足 a ? ,a ? a ? 4n?2 (n ? 2), 记T ? n ，如果对任意的正整数
n 1 3 n n?1 n 2n?1

n ，都有Tn ? M ，则实数 M 的最大值为（***）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

12．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线 y2 ? x 的图象绕原点沿逆时针

x2
方向旋转 90o就得到函数 y ? x2 的图象.若把双曲线 ? y2 ?1绕原点按逆时针方向旋转一
3

定角度? 后，能得到某一个函数的图象，则旋转角? 可以是（***）

A． 30o B． 45o C． 60o D． 90o

二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）

2
13．已知数列?an? 的前 n 项和 Sn ? n ? n ?1，则 an ? ******

14．点 P 在双曲线 x2 ? y2 ? 1上运动， O 为坐标原点，线段 PO 中点 M 的轨迹方程是
*****
3
15．设 F , F 是椭圆 3x2 ? 4y2 ? 48 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，满足 sin ?PF F ?
1 2 1 2 5

， ?PF1F2 的面积为 6 ，则 PF2 ? *****
y
16．已知点 P(x, y) 满足椭圆方程 2x2 ? y2 ? 1 ，则 的最大值为*****
x ?1
三、解答题：（本大题共 6 题，满分 74 分）
17. （本题满分 12 分）
在 ?ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 bsin A ? 3a cos B .
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅰ）若 b ? 3 ， sin C ? 2sin A ，求 a,c 的值.











18. （本题满分 12 分）

已知?an? 为等差数列，且 a1 ? a3 ? 8,a2 ? a4 ?12

（Ⅰ）求数列?an? 的通项公式；

（Ⅰ）记数列?an? 的前 n 项和为 Sn ，若 a1,ak , Sk ?2 成等比数列，求正整数 k 的值.



19．（本题满分 12 分）

x2 y2 1
已知椭圆 C： ? ?1(a ? b ? 0) 的上顶点坐标为 (0, 3) ，离心率为 .
a2 b2 2

（Ⅰ）求椭圆方程；
uuur uuur
（Ⅰ）设 P 为椭圆上一点，A 为左顶点，F 为椭圆的右焦点，求 AP ? FP 的取值

范围.



20．（本小题满分 12 分）

已知直线 l 经过抛物线 x2 ? 4y 的焦点，且与抛物线交于 A, B 两点，点 O 为坐标原点.

（Ⅰ）证明： ?AOB 为钝角.
Y
（Ⅰ）若 ?AOB 的面积为 4 ，求直线 l 的方程;
B

F
A
X
O





21.如图，有一边长为 2 米的正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的 D C
阴影部分)，边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴，以线段 AD 的中
点 O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下 E
来，使剩余的部分成为一个直角梯形． O
F
（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线 OC 的方
程;
A B
（Ⅰ）如何画出切割路径 EF ，使得剩余部分即直角梯形

ABEF 的面积最大？
并求其最大值．


x2
22. 如图，设 AB 、 A'B' 分别是圆 O : x2 ? y2 ? 4 和椭圆 C : ? y2 ?1的弦，且弦的端点
4

在 y 轴的异侧，端点 A 与 A' 、 B 与 B' 的横坐标分别相等，纵坐标分 y

别同号. A
M
B
' ' ' '
（Ⅰ）若弦 A B 所在直线斜率为 ?1，且弦 A B 的中点的横坐标为 A'
B'
4 O x
，求直线 A'B' 的方程；
5
3
（Ⅰ）若弦 AB 过定点 M (0, ) ，试探究弦 A'B' 是否也必过某个定
2
点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.
































参考答案
1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7. A 8.B 9.D 10.D

11.A 12.C

? 3,n ?1 2 2
13. an ? ? ; 14. 4x ? 4y ?1; 15. PF2 ? 3 ; 16. 2
?2n,n ? 2
a b
17.解： (I)由 bsin A ? 3a cos B 及正弦定理 ? ，得 sin B ? 3 cos B ，
sin A sin B
?
所以 tan B ? 3 ，Q B ?(0,? ) ,? B ?
3
a b
(Ⅰ)由 sinC ? 2sin A 及 ? ，得 c ? 2a ，由 b ? 3及余弦定理
sin A sin B

b2 ? a2 ? c2 ? 2a cos B ，得 9 ? a2 ? c2 ? ac , 所以 a ? 3 ， c ? 2 3


? 2a1 ? 2d ? 8
18.解：(I)设数列?an? 的公差为 d , ? 解得 a1 ? 2 ， d ? 2
?2a1 ? 4d ?12


所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n
n(a ? a ) n(2 ? 2n)
（Ⅰ）由(1)可得 S ? 1 n ? ? n(n ?1)
n 2 2

2 2
因 a1 ， ak ， Sk?2 成等比数列，所以 ak ? a1Sk?2 ，从而 (2k) ? 2(k ? 2)(k ? 3) ，即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0 ，