第四讲 等差数列及其应用
第四讲等差数列及其应用
许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.
一、等差数列
什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：
①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…
②1，3，5，7，9，11，13.
③ 2，4，6，8，10，12，14…
④ 3，6，9，12，15，18，21.
⑤100，95，90，85，80，75，70.
⑥20，18，16，14，12，10，8.
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：
数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)
数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；
数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；
数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.
例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.
①6，10，14，18，22， (98)
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
解：①是，公差d=4.
②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.
③不是，因为4-2≠2-1.
④是，公差d=l.
⑤是，公差d=0.
⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.
一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.
为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。又称为数列的通项，a
；又称为数列的
1
首项，最后一项又称为数列的末项.
二、通项公式
对于公差为d的等差数列a1，a
2，…a
n
…来说，如果a
1
；小于a2，则
由此可知： (1)
若a1；大于a2，则同理可推得：
(2)
公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.
例2 求等差数列1，6，11，16…的第20项.
解：首项a1 =1，又因为a2；大于a1；，
公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：
第20项a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96.
一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：
例3 已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？
解：首项a1=2，公差d=5-2=3
令an=47
则利用项数公式可得：
n=（47-2）÷3+1=16.
即47是第16项.
例4如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
分析与解答
方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.
因为a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d，
所以d=6 a1=21-3×d=3，
所以 a8=3+7×6=45.
方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6已知，只要求2×d 即可.
又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，
所以 2×d=a6-a4
所以a8=3+7×6=45
方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.
三、等差数列求和
若a1小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为
a1,a1+d,a1+d×2，…，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2
=a4+a n-3=…=a n-1+a2=a n+a1.
设 Sn=a1+a2+a3+…+a n
则 Sn=a n+a n-1+a n-2+…+a1
两式相加可得：
2×Sn=（a1+a n）+(a2+a n-1)+…+(an+a1)
即：2×Sn=n×（a1+a n）,所以，
例5 计算 1+5+9+13+17+ (1993)
当a1；大于a2。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.
解：因为1，5，9，13，17，…，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993.
所以，n=（a n－a1）÷d+1=499.
所以，1+5+9+13+17+…+1993
=（1+1993）×499÷2
=997×499
=497503.
题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：
这个定理称为中项定理.
例6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？
解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，这是一个等差数列.
方法1：
a1=2， d=4， an=2106，
贝n=（a n-a1）÷d+1=527
这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）×4=1054.
方法2：（a1+a n）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.
则中间一项为（a1+a n）÷2=1054
a1=2， d=4， an=2106，
这堆砖共有 1054×527=555458（块）.
n=（a n-a1）÷d+1=527
例7 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
解：根据题意可列出算式：
（2+4+6+8+...+2000）-（1+3+5+ (1999)
解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：
原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2
=1000.
解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即
原式=1000×1=1000.
例8 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
分析与解答
方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.
因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这九个自然数的中间数为54÷9=6，则末项为6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）×9÷2=126.
方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8，因此，后一组自然数的和应为54+8×9=126.
在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a1+a n）×n÷2，则 a1+a9=54×2÷9.又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.
例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？
分析与解答
方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.
100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：
首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.
方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250.
四、等差数列的应用
例10 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
解：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.
例11 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.
分析与解答
因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.
例12 从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？
解：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则
若a=1，则b=50，共1种.
若a=2，则b=49，50，共2种.
若a=3，则b=48，49，50，共3种.
…
若a=25，则b=26，27，…50，共25种.
若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.
若a=27，则b=28，29，…50，共23种.
…
若a=49，则b=50，共1种.
所以，所有不同的取法种数为
1+2+3+…+25+24+23+22+…+l
=2×（1+2+3+…+24）+25
=625.
例13 x+y+z=1993有多少组正整数解.
显然，x不能等于1992，1993.
所以，原方程的不同的整数解的组数是：
l+2+3+…+1991=1983036.
本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y 的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.
例13把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：①197排在第几行的第几个数？
②第10行的第9个数是多少？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
……
分析与解答
①197是奇数中的第99个数.
数表中，第1行有1个数.
第2行有3个数.
第3行有5个数…
第n行有2×n-l个数
因此，前n行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+…+（2×n-1）
=［1+（2×n-1）〕×n÷2
=n×n
因为9×9＜99＜10×10.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.
②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为9×9+9=90），它是179.
例14 将自然数如下排列，
1 2 6 7 15 16 …
3 5 8 1
4 17 …
4 9 13 18 …
10 12 …
11 …
…
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？
分析与解答
不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第1行1
个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：
1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n
即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2
用试值的方法，可以求出n=63.
又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为
1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.
把三角阵与左图作比较，可以发现：
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.
②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.
由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.
习题四
1.求值：
① 6+11+16+ (501)
② 101+102+103+104+ (999)
2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？
4+2，5+8，6+14，7+20，…
3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？
4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？
5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？
6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.
1，2，3，4，5，6…98，99，100
2，3，4，5，6，7…99，100，101
3，4，5，6，7，8…100，101，102
100，101，102，103，104，105…197，198，199
等差数列应用题.题库
等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
(完整版)等差数列的通项公式及应用习题
等差数列的通项公式及应用习题 1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（） A. 12 B . 14 C. 16 D. 18 2. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（） A . 91 B. 93 C. 95 D. 97 3. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 A . 13 项 B . 14 项C. 15 项D. 16 项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.- 2 2 5. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于 A. 98 B . 99 C . 100 D . 101 6. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于 A. 56 B . 18 C . 15 D . 45 7. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的
A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项 3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于 -- A. 45 B. 48 C. 52 D. 55 11. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是 A. -5 B . 0 C . 5 D. 10 12. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二 A. -1 B . -3 C . -5 D . -7 13. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首 项a为 A. -56 B . -52 C . -48 D . -44 二、填空题 1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项. 2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ . 3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的 第_____ .
等差数列基础习题精选附详细答案
等差数列基础习题精选 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（） A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
等差数列等比数列的综合应用
课时作业12 等差、等比数列的综合问题 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】 D 【解析】 ∵a 3＋a 11＝2a 7， ∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝a 2 7＝16，故选D. 2．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2 ＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) B ．－1 3 D ．－19 【答案】 C 【解析】 ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1， 由a 3＝9a 1＝a 1·q 2 ，∴q 2 ＝9，故a 1＝19. 3．(2013·新课标Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋1 3，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________. 【答案】 (－2)n －1
【解析】 ∵S n ＝23a n ＋1 3， ∴当n ＝1时，S 1＝23a 1＋1 3＝a 1，∴a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －2 3a n －1， ∴a n a n －1 ＝－2，∴a n ＝1×(－2)n －1＝(－2)n －1. 4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3 成等比数列． (1)求d ，a n ； (2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 【分析】 (1)由a 1＝10结合等比数列的性质可求得d 的值，进 而求出a n ；(2)首先确定出? ???? a n ≥0， a n ＋1≤0，的n 值，然后分类讨论． 【解析】 (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4. 所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋21 2n . 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－21 2n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
数列综合应用(放缩法)教案资料
数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 等差数列的通项公式及应用习题 一、单选题(每道小题 3分共 63分 ) 1. 已知等差数列{a n }中，a2=2，a5=8，则数列的第10项为 A．12 B．14 C．16 D．18 2. 已知等差数列前3项为-3，-1，1，则数列的第50项为 [ ] A．91 B．93 C．95 D．97 3. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 [ ] A．13项 B．14项 C．15项 D．16项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a，a为常数，则公差d= [ ] 5. 已知等差数列{a n }中，a1=1，d=3，那么当a n=298时，项数n 等于 [ ] A．98 B．99 C．100 D．101 6. 在等差数列{a n }中，若a3=-4，a5=11，则 a11等于 [ ] A．56 B．18 C．15 D．45 7. 在等差数列{a n } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的 [ ] A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项 [ ] A．45 B．48 C．52 D．55 9. 已知等差数列{a n }中，a8比a3小10，则公差d的值为 [ ] A．2 B．-2 C．5 D．-5 10. 已知等差数列{a n }中，a6比a2大10个单位，则公差d的值为 [ ] 11. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是 [ ] A．-5 B．0 C．5 D．10 12. 已知等差数列{a n }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1= [ ] A．-1 B．-3 C．-5 D．-7 13. 已知等差数列{a n}中，a10=-20，a20n=20，则这个数列的首项a1为 [ ] A．-56 B．-52 C．-48 D．-44 14. 已知等差数列{a n }满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 [ ] 第六课时 等差数列综合应用 【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】 重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理 1．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 变形公式：d m n a a m n )(-+=；m n a a d m n --=； 2．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d 2 ，图象过原点的二次函数．） 3．等差数列的性质 （1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列； （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=； （4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．． 数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和. 若当项数为偶数n 2时， ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11 n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时， 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=?? -==???? n+1n+1 奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）； （6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121 =21n n n n a A f n b B --=-； （7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ； 2.3.2 等差数列的综合应用 一、选择题 1．数列－1( ) A C 2．已知数列{a n }的前n 项和n s 满足：n m n m s s s +=+，且1a =1．那么10a =（ ） A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 3．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是（ ） A ．42 B ．45 C ．48 D ．51 4．数列{n a }中，()n a n n 1-=，则=++1021a a a （ ）. A ． 10 B ．﹣10 C ．5 D ．﹣5 5．数列{a n }（*N n ∈） ，若前n 项的和10=n S ，则项数n 为（ ） A ．10 B ．11 C ．120 D ．121 6．在数列a 1，a 2，…，a n ，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数 列，则新数列的第69项 ( ) (A) 是原数列的第18项 (B) 是原数列的第13项 (C) 是原数列的第19项 (D) 不是原数列中的项 7．将棱长相等的正方体按如右图所示的形状摆放, 从上往下依次为第1层, 第2层, 第3层……. 则第2005层正方体的个数是 (A) 4011 (B) 4009 (C) 2011015 (D) 2009010 8．已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=()n N +∈，13a =，则 （A ）0 （B （C （D ）3 二、填空题 9．设f （n ）＝1n ∈N *），则f （k ＋1）－f （k ）＝________． 10．数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，对于任意自然数(1)n n ≥都是递增数列， 则实数λ的取值范围为 ． 11．已知数列{}n a 的前n 项和是21n S n n =++,则数列的通项n a = 。 五年级奥数试题（1） 等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。 分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点 1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。 解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。 分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。 解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个） 答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？ 分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人） 等差数列求和的应用 等差数列计算公式 通项公式： 第n项=首项+（n－1）×公差项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 （4）前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)= n2 （5）前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= n2+n 1、有一列数:5,8,11,14,……。①求它的第100项；②求前100项的和。 2、有一串数：1,4,7,10,……,298。求这串数的和。 3、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195 4、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183 5、1+3+5+7+…+99 6、2+4+6+8+…+100 7、21+23+25+27+…+99 8、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少? 9、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少? 10、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1 11、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99 12、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 13、已知一列数：1,3,6,10,15,21,…,问第59个数是多少？ 14、在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏。已知从第二层开始，每一层比下边一层少安装6盏。问最上边一层安装多少盏？ 15、能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分的花生颗数都不同？ 16、红光电影院有22排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排42个座位。那么这个电影院一共有多少个座位？ 一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S 2．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为 （ ） A ． 89 B ． 910 C ．1011 D ．11 12 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．已知数列{}n a 中，132a = ，且满足()* 1112,22 n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有 n a n λ ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 8．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．16 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333 122n n n a a a ++=+，则10a 等于 （ ） A ．10 B C ．64 D ．4 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） 等差数列的通项公式及应用 1.已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a，a为常数，则公差d=[] 2.已知等差数列{a n}中，a8比a3小10，则公差d的值为[] A．2B．-2C．5D．-5 3.已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是[] A．-5B．0C．5D．10 4.已知等差数列{a n}中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1=[] A．-1B．-3C．-5D．-7 5.已知等差数列{a n}中，a10=-20，a20n=20，则这个数列的首项a1为[] A．-56B．-52C．-48D．-44 6.已知等差数列{a n}满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是[] 7.已知数列{a n}是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于[] A．84B．72C．60D．43 [] A．45B．48C．52D．55 9.已知数列-30，x，y，30构成等差数列，则x+y=[] A．20B．10C．0D．40 10.已知等差数列的首项a1和公差d是方程x2-2x-3=0的两根，且 知d＞a，则这个数列的第30项是[] A．86B．85C．84D．83 11.已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=3，则a2+a4=[] A．3B．2C．1D．-1 12.等差数列{a n}中，已知a5+a8=a，那么a2+a5+a8+a11的值为[] A．aB．2aC．3aD．4a [] A．第21项B．第41项C．第48项D．第49项 等差数列的通项公式及应用习题1答案 一、单选题 1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.A 9.B 10.B 11.A 12.B 13.A 14.C 1 等差数列和等比数列的综合应用 1．等差数列的常用性质： ⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值． ⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ?? ?<≥+00 1n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ?? ? ??可解得S n 达到最小值时n 的值． 3．等比数列的常用性质： ⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{ n a 1 }是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 4．求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： （1）．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ． （2）．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q≠1时，S n ＝ ． （3）．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和． （4）．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 例1. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3 1S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式； ⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值. 第2课时等差数列的综合应用 课时过关·能力提升 1设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由a n+b n所组成的数列的第37项的值为(). A.0 B.37 C.100 D.-37 解析:设c n=a n+b n, 则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100. 故d=c2-c1=0.故c n=100(n∈N*).从而c37=100. 答案:C 2在等差数列{a n}中,已知a3∶a5=3∶4,则的值是(). A. B. C. D. 解析:. 答案:D 3设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则等于(). A. B. C. D. 解析:∵,∴S6=3S3. ∴S6-S3=2S3,S9-S6=S9-3S3. ∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴S9-S6=3S3,S9=6S3,S12-S9=4S3, ∴S12=10S3,∴. 答案:A 4已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和之比为(n∈N*),则等于(). A. B. C. D. 解析:设数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}的前n项和为T n,则 . 答案:C ★5等差数列{a n}共有3m项,若前2m项的和为200,前3m项的和为225,则中间m项的和为(). A.25 B.75 C.100 D.125 解析:∵S m,S2m-S m,S3m-S2m成等差数列, ∴S m+S3m-S2m=2(S2m-S m). ∴3S m=3S2m-S3m=600-225,∴S m=125. ∴中间m项的和为S2m-S m=200-125=75. 答案:B 6设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=(). A.3 B.4 C.5 D.6 解析:∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3, ∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2, a m+1=S m+1-S m=3-0=3. ∴d=a m+1-a m=3-2=1. ∵S m=ma1+×1=0,∴a1=-. 又∵a m+1=a1+m×1=3,∴-+m=3. ∴m=5.故选C. 答案:C 7在等差数列{a n}中,a1+a2=2,a3+a4=4,则a5+a6=. 解析:由题意得,2,4,a5+a6成等差数列, ∴2+a5+a6=2×4.∴a5+a6=6. 答案:6 8某渔业公司今年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费的总和是万元. 解析:设第n年的维修费是a n(万元),则a n+1-a n=4(万元),则每年的维修费构成以a1=12,d=4的 等差数列{a n},所以前10年的维修费的总和是S10=10a1+d=10×12+×4=300(万元).答案:300 9一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为. 课时分层作业(十二) 等差数列前n 项和的 综合应用 (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 B [等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.] 2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．①③ D ．①④ B [∵S 6>S 7，∴a 7<0， ∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，∴d <0，①正确； 又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确； S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确； {S n }中最大项为S 6，④不正确． 故正确的是①②.] 3．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．100 C [易得a n ＝?????－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n>0则2n－5>0，∴n≥3. ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10| ＝1＋1＋a3＋…＋a10 ＝2＋(S10－S2) ＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.] 4．设数列{a n}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使S n达到最大值的n是() A．18 B．19 C．20 D．21 C[a1＋a3＋a5＝105＝3a3， ∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝99＝3a4， ∴a4＝33， ∴d＝a4－a3 4－3 ＝－2， ∴a n＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令a n>0，∴41－2n>0， ∴n<41 2， ∴n≤20.] 5．1 1×3＋ 1 2×4 ＋ 1 3×5 ＋ 1 4×6 ＋…＋ 1 n（n＋2） 等于() A． 1 n（n＋2） B． 1 2? ? ? ? ? 1－ 1 n＋2 C．1 2? ? ? ? ? 3 2－ 1 n＋1 － 1 n＋2D． 1 2? ? ? ? ? 1－ 1 n＋1 等差数列及应用 一、聚焦核心： 1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________． 2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 3．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且任意的正整数i ，j ，k ，l ， 当i ＋j ＝k ＋l 时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12 010∑2 010 i ＝1 (a i ＋b i )的值是________． 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 6．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 二、典例分析： 例1．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 满足S 5S 6＋15＝0. (1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围． 例2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－????12n －1 ＋2 (n ≥2，n 为正整数)，a 1＝1 2. (1)令b n ＝2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围． 例3．已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，且a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值； (2)记b n ＝1 2n (a n ＋t )(n ∈N *)，问是否存在一个实数t ，使数列{b n }是等差数列？若存在， 求出实数t ；若不存在，请说明理由． 第2课时 等差数列前n 项和的综合应用 1．掌握a n 与S n 的关系并会应用．(难点) 2．掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点) 3．会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点) [基础·初探] 教材整理 等差数列前n 项和的性质 阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题． 1．S n 与a n 的关系 a n ＝??? S 1，(n ＝1)S n －S n －1.(n ≥2) 2．等差数列前n 项和的性质 (1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列． (2)数列{a n }是等差数列?S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)． 3．等差数列前n 项和S n 的最值 (1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值． (2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值． 特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值． 1．下列说法中正确的有________(填序号)． (1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列???? ??S n n 也是等差数列． (2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1. (3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大． (4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n . 【解析】 (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以 数列S n n 为等差数列． (2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . (3)正确．由实数的运算可知该说法正确． (4)正确．因为S 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)(2n －1)2 ＝2n －12[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ] ＝(2n －1)a n . 【答案】 (1)(3)(4) 2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________. 【解析】 由条件知a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝30， 又∵a 1＋a 11＝a 3＋a 9＝a 5＋a 7，∴a 5＋a 7＝2a 6＝10， ∴中间项a 6＝5. 【答案】 5 3．等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 【解析】 由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴4＋(S 6－9)＝2×5，∴S 6＝15. 【答案】 15 4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 【解析】 由a n ≤0得，2n －48≤0，n ≤24， 第4课时 等差数列的综合应用 Q 情景引入 ing jing yin ru 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块石板，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？ X 新知导学 in zhi dao xue 1．等差数列前n 项和的二次函数形式 等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋ n n －1 2 d 可以改写成：S n ＝d 2 n 2＋(a 1－d 2 )n .当 d ≠0时， S n 是关于n 的 二次 函数，所以可借助 二次 函数的有关性质来处理等差数列前n 项和S n 的有关问题． 2．等差数列前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0.则S n 存在最 大 值；a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值． 3．等差数列奇数项与偶数项的性质 (1)若项数为2n ，则 S 偶－S 奇＝ nd ，S 奇S 偶＝ a n a n ＋1 . (2)若项数为2n －1，则 S 奇－S 偶＝ a n ，S 奇S 偶＝ n n －1 . 4．a n 与S n 的关系 若数列{a n }的前n 项和记为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则a n ＝? ?? ?? S 1n ＝1 S n －S n －1 n ≥2 . Y 预习自测 u xi zi ce 1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝( C ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300 [解析] 由a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，得 a 3＋a 7＋a 4＋a 6＋a 5＝5a 5＝450，∴a 5＝90. ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( B ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 [解析] 解法一：∵{a n }是等差数列，∴S 3、S 6－S 3、S 9－S 6为等差数列． ∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∴S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45. 解法二：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，令b n ＝S n n ，则{b n }成等差数列． 由题设b 3＝S 33＝3，b 6＝S 6 6＝6，∴b 9＝2b 6－b 3＝9. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝9b 9－36＝45. 3．已知等差数列{a n }中，前15项之和为S 15＝90，则a 8等于( A ) A ．6 B ．15 4 C ．12 D ．452 [解析] ∵S 15＝a 1＋a 2＋…a 15＝15a 8＝90，∴a 8＝6. 4．在等差数列{a n }中，a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，则它的前10项和为 210 . [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 解法一：a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58， a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3，d ＝4， ∴S 10＝10×3＋10×9 2×4＝210. 解法二：a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58， a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50，∴a 1＋a 10＝42， ∴S 10＝ 10 a 1＋a 10 2 ＝210. 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，当S n 取最大值时，n 的值为 4 第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则 m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇 数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，依题意有(8＋x )2＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得21－2n 1－2≥100，即2n ≥51， 而25＝32,26＝64，n ∈N *，所以n ≥6. 答案：6 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8.等差数列通项公式及应用习题
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