最新同济版高等数学下册练习题(附答案)

第八章 测 验 题

一、选择题：

1、若a →

，b →

为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→

?= ( ).

(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→

.

向量a b →→?与二向量a →

及b →

的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 .

3、设向量Q →

与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有(

)

()();

();

()A Q xoy B Q

yoz C Q

xoz D Q xoz ⊥面；面面面

5、2

()αβ→

→

±=( )

(A)2

2

αβ→→±； (B)2

2

2ααββ→→→

→±+； (C)2

2

ααββ→→→

→±+； (D)2

2

2ααββ→→→

→±+.

6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面(

).

(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y .

7、设直线方程为111122

00A x B y C z D B y D +++=??+=?且

111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2

50z xy yz x +--=与直线5

13

x y -=- 10

7

z -=

的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)；

(C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--

9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160

x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2

2

2

6160x y z z ++++=；

(B)222

160x y z z ++-=； (C)2

2

2

6160x y z z ++-+=； (D)2

2

2

6160x y z z +++-=.

10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).

(A)2221x y z ++=； (B)22

4x y z +=；

(C)22

2

14y x z -+=； (D)2221916

x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3

π

，且2,5a b →→==，求

(2)(3)a b a b →→→→

-?+ .

三、求向量{4,3,4}a →

=-在向量{2,2,1}b →

=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量

{1,3,1};{2,1,3}a b →

→

=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .

五、已知,,a b →→

为两非零不共线向量，求证：

()()a b a b →→→→-?+2()a b →→

=?.

六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .

七、求直线L ：31258x t

y t z t =-??

=-+??=+?

在三个坐标面上及平面

π380x y z -++=上的投影方程 .

八、求通过直线

122

232

x y z -+-==-且垂直于平面

3250x y z +--=的平面方程 .

九、求点(1,4,3)--并与下面两直线

1L ：24135x y z x y -+=??+=-?，2:L 24132x t y t z t

=+??=--??=-+?

都垂直的直线方程 .

十、求通过三平面：220x y z +--=，

310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于

平面20x y z ++=的平面方程 .

十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通

过直线10

20y z x z ++=??+=?与平面的交点，且与已知直线垂

直 .

十二、判断下列两直线 111

:

112

x y z L +-==

, 212

:

134

x y z L +-==

,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .

第九章 测 验 题

一、选择题: 1

、二元函数22

1

arcsin z x y

=+的定义域是( ).

(A)2

2

14x y ≤+≤； (B)2

2

14x y <+≤； (C)2

2

14x y ≤+<； (D)2

2

14x y <+<.

2、设2

(,)()x f xy x y y

=+,则(,)f x y =( ).

(A)2

21()x y y +

； (B) 2(1)x

y y

+； (C) 2

21()y x x +

； (D) 2(1)y

y x

+. 3、22220

lim()x y x y x y →→+=( ). (A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .

4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).

(A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；

(D)既不是充分条件,也不是必要条件.

5、设(,)f x y 22

2222

221()sin ,00,0

x y x y x y x y ?++≠?+=??+=?

则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).

(A)偏导数不存在； (B)不可微；

(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .

6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22z

y

?=?( ).

(A)222f v f v v y y v y ?????+??????； (B)22f v v y

?????；

(C)22222()f v f v y v v y ????+?????； (D)2222

f v f v y v v y ?????+?

????. 7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积V=( ). (A)

33

2

a ； (B) 33a ； (C) 392a ； (D) 3

6a .

8、二元函数33

3()z x y x y =+--的极值点是( ). (A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足

(0,0,0)2

x y z x y z π

++=

>>>的条件极值是( ).

(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16

； (D)

18

.

10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).

();()

;();()

.

A gradu gradv

B u gradv v gradu

C u gradv

D v gradu ??+???

二、讨论函数33x y

z x y +=

+的连续性，并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln y

z x

= ；

2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；

3、2

22

22

220(,)00

x y x y f x y x y x y ?+≠?

=+??+=?

.

四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .

五、设(,,),y

z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2z

x y

???.

六、设cos ,sin ,u

u

x e v y e v z uv ===,试求

z x ??和z y

?? .

七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 . 八、求平面

1345

x y z

++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .

九、在第一卦限内作椭球面222

2221x y z a b c

++=的切平面, 使

该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最

小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .

第十章 测 验 题

一、选择题: 1、

1100

(,)x

dx f x y dy -??

=( )

(A)110

(,)x dy f x y dx -??； (B)110

(,)x

dy f x y dx -??；

(C)

1

10

(,)dy f x y dx ?

?； (D)110

(,)y

dy f x y dx -??

.

2、设D 为222

x y a +≤,当a =( )时,

D

π=.

(A) 1 ；

(B)

；

(C)

(D) .

3、当D 是( )围成的区域时二重积分

1.D

dxdy =??

(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23

x y =

= (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=

4、xy D

xe dxdy ??

的值为( ).其中区域D 为

01,10.x y ≤≤-≤≤

(A)

1;e (B) e ; (C) 1

;e

- (D) 1. 5、设22

()D

I x y dxdy =+??,其中D 由222x y a +=所

围成,则I =( ). (A)2240

a

d a rdr a π

θπ=?

?;

(B)

22

400

12

a d r rdr a π

θπ?=??; (C)22

30023

a d r dr a πθπ=??;

(D)

2240

2a

d a adr a π

θπ?=?

?.

6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则

xdxdydz Ω

???=( ).

(A) 148 ； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124- .

7、设Ω是锥面222

222(0,z x y a c a b

=+>0,0)b c >>与平

面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的

部分,

则

Ω

=( ).

(A)

2136a b ；

(B) 22

136a b

(C) 2136b c ；

(D) 136

8、计算I zdv Ω

=???,其222

,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)211

00

I d rdr zdz π

θ=???；

(B)211

r

I d rdr zdz π

θ=

?

??；

(C)211

00

r

I d dz rdr π

θ=?

??；

(D)1

20

z

I dz d zrdr π

θ=

?

??.

9

、曲面z =

222x y x +=内部的

那

部分面积s =( ).

；

(B) ；

；

(D) .

10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀 (设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量

x I =( ).

(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、

22()D

x y d σ-??,其中D 是闭区域: 0sin ,0.y x x π≤≤≤≤ 2、

D

y

arctg

d x

σ??,其中D 是由直线0y =及圆周 2

2

2

2

4,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、

2(369)D y x y d σ+-+??,其中D 是闭区 域:2

2

2

x y R +≤

4、222D

x y d σ+-??,其中D :223x y +≤.

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1、12330

1

(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+????

；

2

、1

10

(,)dx f x y dy ?；

3、

(cos ,sin )a

d f r r rdr θ

θθθ?

?.

四、将三次积分1

10

(,,)y

x

x

dx dy f x y z dz ?

??改换积分次序为

x y z →→.

五、计算下列三重积分: 1、

cos(),y x z dxdydz Ω

+Ω???:

抛物柱面y =

,,2

y o z o x z π

==+=

及平面所围成的区域 .

2、

22(),y z dv Ω

+???其中Ω是由xoy 平面上曲线 2

2y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围

成的闭区域 .

3、222222

ln(1)

,1z x y z dv x y z Ω

++++++???其中Ω是由球面 2

2

2

1x y z ++=所围成的闭区域 . 六、求平面1x y z

a b c

++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .

七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111

30

1()()()[()]6y

x

x

f x f y f z dxdydz f x dx =???

? .

第十一章 测 验 题

一、选择题:

设L 为03

,02

x x y =≤≤

,则4L ds ?的值为( ).

(A)04x ， (B)6, (C)06x .

设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则

2L

dy ?

=( ).

(A)6; (B) 06y ; (C)0.

若L 是上半椭圆cos ,

sin ,

x a t y b t =??=?取顺时针方向,则

L

ydx xdy -?

的值为( ).

(A)0; (B)

2

ab π

; (C)ab π.

4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与

L

Pdx Qdy +?

路径无关的条件

,(,)Q P

x y D x y

??=∈??是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.

5、设∑为球面2

2

2

1x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确.

(A)1

2zds zds ∑

∑=????;

(B)1

2zdxdy zdxdy ∑

∑=????;

(C)

1

222z dxdy z dxdy ∑

∑=????. 6、若∑为2

2

2()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则

ds ∑

??等于( ).

(A)200d rdr π

θ??

;(B)20

d rdr πθ??

;

(C)

20d rdr π

θ?

.

7、若∑为球面2

2

2

2

x y z R ++=的外侧,则

2

2x

y zdxdy ∑

??等于( ).

(A)

2xy

D x y ??

;

(B) 2

2xy

D x y ??

; (C) 0 . 8、曲面积分

2

z dxdy ∑

??在数值上等于( ).

向量2

z i 穿过曲面∑的流量； 面密度为2

z 的曲面∑的质量； 向量2

z k 穿过曲面∑的流量 .

9、设∑是球面2222

x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面

上的圆域2

2

2

x y R +≤,下述等式正确的是( ).

(A)

2

22

xy

D x

y zds x

y ∑

=

????；

(B)

2222

()()xy

D x y dxdy x y dxdy ∑

+=+????

；

(C)

2xy

D zdxdy ∑

=????

.

10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高

公式正确的是( ). (A)

2

(2)x dydz z y dxdy ∑++??外侧

=(22)x dxdydz Ω

+???；

(B)

32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+??

外侧

=

2

2

(321)x

x dxdydz -+???；

(C)

2(2)x dydz z y dxdy ∑++??内侧

=(21)x dxdydz Ω

+???.

二、计算下列各题:

1、求zds Γ

?,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =??

=??=?

0(0)t t ≤≤；

2、求(sin 2)(cos 2)x x

L e y y dx e y dy -+-?

,其中L 为上

半圆周222

()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .

三、计算下列各题: 1、求

222ds x y z

∑++??其中∑是界于平面0z z H ==及

之间的圆柱面2

22

x y R +=； 2、求

222

()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??， 其中∑

为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；

∑

其

中

∑

为曲面

2

2

(2)(1)

15169

z x y ---

=+(0)z ≥的上侧 . 四、证明:22

xdx ydy x y

++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及 原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .

五、求均匀曲面z =

.

六、求向量A xi yj zk =++通过区域:Ω01,x ≤≤

01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .

七、流体在空间流动,流体的密度

μ处处相同(1μ=),

已知流速函数222

V xz i yx j zy k =++,求流体在单位时间

内流过曲面222

:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2

2

2

2x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去

逆时针方向) .

第十二章 测 验 题

一、选择题:

1、下列级数中,收敛的是( ).

(A)11n n ∞

=∑；

(B)n ∞

=；

(C)

1

n ∞

=； (D)

1

(1)

n

n ∞

=-∑.

2、下列级数中,收敛的是( ).

(A) 115()4n n ∞

-=∑； (B)1

14()5

n n ∞

-=∑；

(C)

1

115(1)

()4n n n ∞

--=-∑； (D)1154

()4

5n n ∞

-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )

(A)221(!)2n n n ∞

=∑； (B)13!

n n n n n ∞

=∑； (C) 221sin n n ππ∞=∑； (D)1

1

(2)n n n n ∞

=++∑.

4、部分和数列{}n

s 有界是正项级数1

n n u ∞

=∑收敛的

( )

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1n

n a

r

∞

=∑收敛 . (A)1r <； (B)1r ≤； (C)r a <； (D)1r >.

6、幂级数1

1

(1)(1)

n

n n x n

∞

-=--∑的收敛区间是( ).

(A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].

7、若幂级

n

n n a x

∞

=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;

0n

n n b x

∞

=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数

()n

n

n n a

b x ∞

=+∑的收敛半径至少为( )

(A)12R R +； (B)12R R ?；

(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R .

8、当0R >时,级数2

1

(1)n

n k n

n ∞

=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞

=是级数

1

n

n u

∞

=∑收敛的( )

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .

10、幂级数

1

(1)n

n n n x

∞

=+∑的收敛区间是( )

(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:

1、

22

1(!)

2n n n ∞=∑； 2、2

1

cos 32n

n n n π

∞

=∑.

三、判别级数

1

1

(1)ln

n n n n

∞

=+-∑的敛散性 . 四、求极限 1

11139

27

3lim[248

(2)]n

n n →∞

???

? .

五、求下列幂级数的收敛区间:

1、135n n n n x n ∞

=+∑； 2、212

n n n n

x ∞

=∑. 六、求幂级数1

(1)n

n x n n ∞

=+∑的和函数 .

七、求数项级数2

1

!n n n ∞

=∑的和 .

八、试将函数

2

1

(2)

x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为

0,[,0)

(),[0,)x x f x e x ππ∈-?=?∈?

将()f x 展开成傅立叶级数 .

十、将函数1,0()0,x h

f x h x π

≤≤?=?<≤?分别展开成正弦级数

和余弦级数 .

十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0

(1,2,)k k a b k ===.