2008年高考陕西数学理(含答案)

2008年普通高等学校招生全国统一考试

（陕西卷）

理科数学（必修+选修Ⅱ）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．复数

(2)

12i i i

+-等于（ ） A ．i B ．i - C ．1

D ．1-

2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合

()U A B e中元素的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ==，则a 等于（ ）

A

B ．2

C

D 4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64

B ．100

C ．110

D ．120

50y m -+=与圆2

2

220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）

A B ．

C ．-

D ．-6．“18a =

”是“对任意的正数x ，21a

x x

+≥”的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+

R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2- B ．1

C ．4

D ．10

8．双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线

交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）

A

B

C

D ．

3

9．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成

的角分别是θ和?，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θ?>>， B ．m n θ?><， C ．m n θ?<<，

D ．m n θ?<>，

10．已知实数x y ，满足121y y x x y m ??

-??+?

≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）

A ．7

B ．5

C ．4

D ．3

11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -

等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设

定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传

输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．(1)1

lim

2n a n n a

∞++=+→，则a = ．

14．长方体1111ABCD A BC D -的各顶点都在球O 的球面上，

其中1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则m

n

的值为 ． 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：

①若a b =a c ，则=b c ．②若(1

)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．

其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只

能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）

已知函数2()2sin

cos 444

x x x

f x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；

A B

a b

l

（Ⅱ）令π()3g x f x ??

=+

??

?

，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分12分）

某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得1~i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）

三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥

平面ABC

，1A A

AB ，

2AC =，111AC =，1

2

BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 20．（本小题满分12分）

已知抛物线C ：2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数21

()kx f x x c

+=

+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．

（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；

（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 22．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的首项135a =

，1321

n

n n a a a +=+，1

2n =，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??

-- ?++??

≥

，12n =，

，； （Ⅲ）证明：2

121

n n a a a n ++

+>+．

A 1 A

C 1

B 1

B D

C

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14．

1

2 15．② 16．96 三、17．解：

（Ⅰ）

2()sin

2sin )24x x f x =+

-sin 22x x =π2sin 23x ??=+ ???

． ()f x ∴的最小正周期2π

4π12

T =

=． 当πsin 123x ??+=-

???时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ??

+= ???

时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ??=+

???．又π()3g x f x ?

?=+ ??

?．

∴1ππ()2sin 233g x x ????=++ ????

???π2sin 22x ??

=+ ???2cos 2x =．

()2cos 2cos ()22x x g x g x ??

-=-== ???

．

∴函数()g x 是偶函数．

18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，，

()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．

（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为

00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=?+?+?+?=.

19．解法一：（Ⅰ）

1A A ⊥平面ABC BC ?，平面ABC ，

∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △

中，2AB AC BC =∴=，

:1:2BD DC =

，3BD ∴=

，又3BD AB AB BC

==， DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．

又1A A

AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，

BC ?平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．

（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．

AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．

由三垂线定理知1BE CC ⊥，

AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．

过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点， 则1CF AC AF =-=

，11C F A A ==

160C CF ∴∠=．

在Rt AEC △

中，sin 6022

AE AC ==?

= 在Rt BAE △

中，tan 3AB AEB AE =

==

．

AEB ∴∠= 即二面角1A CC B --

为 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，

:1:2BD DC =，1

3

BD BC ∴=

． D ∴点坐标为203?

???

?，，．

A 1 A

C 1

B 1

B

D C

F

E

（第19题，解法一）

（第19题，解法二）

∴2203AD ??

= ?

???

，，，1(220)(00BC AA =-=，，，．

10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =，

BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ?平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．

（Ⅱ）

BA ⊥平面11ACC A ，取(20)AB ==，，m 为平面11ACC A 的法向量，

设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则1

00BC CC =

=，n n ．

200m m ?

+=?∴?

-=??，

，

l

n ∴==，，

如图，可取1m =，则

=

?

n ，

2

2010cos 5

(2)1?+<>=

=

+，m n ， 即二面角1A CC B --为15． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，

把2y k x =+代入22y x =得2

220x kx --=， 由韦达定理得122

k

x x +=

，121x x =-， ∴1224N M x x k

x x +===，∴N 点的坐标为248k k ??

???

，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ?

?-=- ??

?，

将2

2y x =代入上式得2

2

2048

mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，

22

22282()04

8mk k m m mk k m k ??

∴?=--=-+=-= ???，

m k ∴=．

即l AB ∥．

（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又

M 是AB 的中点，

1

||||2

MN AB ∴=

． 由（Ⅰ）知121212111

()(22)[()4]222

M y y y kx kx k x x =+=+++=++

2

2142224

k k ??=+=+ ???． MN ⊥x 轴，22216

||||2488

M N k k k MN y y +∴=-=+-=．

又2

212121||||1()4AB x x k

x x x x =-=++-

2

2214(1)11622k k k ??

=-?-=++ ???

．

22161168k k +∴=+，解得2k =±．

即存在2k =±，使0NA NB =．

解法二：（Ⅰ）如图，设22

1122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得

2220x kx --=．由韦达定理得121212

k

x x x x +==-，．

∴1224N M x x k

x x +===，∴N 点的坐标为248k k ??

???

，．22y x =，4y x '∴=，

∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44

k

k ?

=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．

由（Ⅰ）知2222

1122224848k k k k NA x x NB x x ????=--=-- ? ????

?，，，，则

0=，

2

1016

k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．

即存在2k =±，使0NA NB =．

21．解：（Ⅰ）222222

()2(1)2()()()k x c x kx kx x ck

f x x c x c +-+--+'==

++，由题意知()0f c '-=， 即得2

20c k c ck --=，（*）

0c ≠，0k ∴≠．

由()0f x '=得2

20kx x ck --+=，

由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k

=-

）． （Ⅱ）由（*）式得21k c =

-，即21c k

=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．

（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数．

1(1)012

k k

M f c +∴==

=>+， 2

21()02(2)

kc k m f c c c k -+-=-==<++，

由2

122(2)

k k M m k -=++≥及0k >

，解得k

（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，

和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数． 2

()02(2)

k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<

22(1)1

112(2)22

k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．

综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．

22．解法一：（Ⅰ）

1321n n n a a a +=

+，112133n n a a +∴=+，1111

113n n a a +??∴-=- ???

，

又

12

13n a -=，11n a ??∴- ???

是以23为首项，13为公比的等比数列．

∴1

1212

1333n n n a --==，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032

n

n n

a =>+， 2

111n n n a a a x ??=--+ ?+??

n a ≤，∴原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有

2212221(1)33

3n n nx x x ??

=

-+++

- ?++??

．

∴取2211122

211331133

3313n n n x n n n ??- ???????=++

+==- ? ???????

- ???

，

则22

12111111133n n

n n n n a a a n n n ++

+=>

+??

+-+- ???

≥． ∴原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n

f x x x x ??

=

-- ?++??

， 则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????

-+--+- ? ?????'=--=

+++

0x >， ∴当23n x <时，()0f x '>；当2

3

n x >时，()0f x '<，

∴当2

3n

x =

时，()f x 取得最大值2123

13n n n

f a ??== ???+

． ∴原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．