生活中的优化问题举例导学案及练习题

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址【学习要求】1. 了解导数在解决实际问题中的作用.2. 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.

【学法指导】1. 在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想. 2. 感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.

. 在经济生活中，人们常常遇到最优化问题. 例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、

消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是

2. 利用导数解决最优化问题的实质是

3. 解决优化问题的基本思路是

上述解决优化问题的过程是一个典型的

过程.

引言数学源于生活，寓于生活，用于生活. 在我们的生活中处处存在

数学知识，只要你留意，就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题，这些问题通常称为最优化问题，在数学上就是最大值、最小值问题. 导数可以解决这些问题吗？如何

解决呢？

探究点一面积、体积的最值问题

问题如何利用导数解决生活中的最优化问题？

例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传. 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为

128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

跟踪训练1如图，四边形ABcD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流mD其经过的路线是以AB 的中点m为顶点且开口向右的抛物线.新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQcN问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积.

探究点二利润最大问题

例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8 n r2分，其中r是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.

瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y与销售价格x满足关系式y = ax - 3 + 102 , 其中3<x<6 ，a 为常数. 已知销售价格为5 元/千克时，每日可售出该商品11 千克.

求a 的值；

若该商品的成本为3 元/ 千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

探究点三费用最省问题

例3 已知A、B两地相距200km, —只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h. 若船每小时的燃料费与其在静水中的速

度的平方成正比，当v = 12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？

跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费

用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，其

余费用为每小时960 元.

把全程运输成本y 表示为速度x 的函数；

为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【达标检测】

. 方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高

为

A.4

B.6

c.4.5

D.8

2. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k. 已知贷款的利

率为0.0486 ，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去. 设存款利率为x , x €,若使银行获得最大收益，则x的取值为

A.0.0162

B.0.0324

c.0.0243

D.0.0486

3. 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 关于行驶速度x 的函数解析式可以表示为

y = 1128000x3 - 380x+ 8.已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？