常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法

摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法

Method for solving the system of differential equation

with Constant Coefficients Linear

Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis

and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution.

Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient

method

前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解

如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ϕψ=+与它对应，

其中()t ϕ和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，i =是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ϕ，()t ψ当t 趋于

0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义

()()()0

lim lim lim t t t t t t z t t i t ϕψ---=+.

如果()()0

0lim t t z t z t -=，我们就称()z t 在0t 连续.显然，()z t 在0t 连续相当于()t ϕ，

()t ψ在0t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间

a t

b ≤≤上连续.如果极限()()

000

lim

t t z t z t t t ---存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）.且记此极限为()

0dz t dt

或者()'0z t ，显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ，()t ψ在0t 处

有导数，且

()()()

000dz t d t d t i dt dt dt

ϕψ=+. 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.

设()1z t ，()2z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数，容易验证下列等式成立：

()()()()1212dz t dz t d

z t z t dt dt dt +=+⎡⎤⎣

⎦，

()()11dz t d cz t c dt dt

⎡⎤=⎣⎦， ()()()()()()122211dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt

⎡⎤•=•+⎣⎦. 在讨论常系数线性微分方程时，函数Kt e 将起着重要的作用，这里K 时复值常数.我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。

设K i αβ=+时任依复数，这里α，β是实数，而t 为实变量， 我们定义

()()cos sin i Kt t t e e e t i t αβαββ+==+. 由上述定义立即推得

()1cos 2i t

i t t e e βββ-=

+， ()1

sin 2i t i t t e e i

βββ-=-.

2．常系数齐次线性微分方程解法分析 形如

()()()1'11...n n n n y a y a y a y f x --++++= (1)

的方程称为n 阶常系数线性非齐次方程，其中()1,2,...,i a R i n ∈=，如果()0f x =，即

()(

)

1'11...0n

n n n y a y a y a y --++++= (2)

称为n 阶常系数线性齐次微分方程.

为求(2)的解，可以用特征根法（或称Euler 待定指数函数法），其基本思想是将微分方程（2）的求解问题转化为代数方程：

111...0n n n n a a a λλλ--+++= (3)

的求根问题，而不必经过积分运算，只要求出方程(3)的全部根，就能写出方程(3)的通解，问题彻底解决.

根据解的结构定理，只要求出方程(1)的的任一特解*y ，借助于方程(2)的通解，就可写出方程(1)的通解。求方程(1)的特解*y 的方法有常数变易法，待定系数法，拉普卡斯变换法。常数变易法是求特解(1)较一般方法，适用于较为一般的函数()f x ，缺点是计算较为繁琐，而且还必须进行积分运算，可能会遇到积分上的困难，此解决还有一个缺点是()()'1,2,...,i c x i n =满足的方程组不易推导，因此在求方程(1)的特解*y 时，一般不提倡此法。其余二种解法只适用于

()()()cos sin x m k f x e P x x Q x x αβ=+⎡⎤⎣⎦（其中,R m k αβ∈，，为非负整数，

()()m k P x Q x ，分别是m 次和k 次实系数多项式）. 3.一阶常系数线性方程组的解法分析 形如

()dy

Ay F x dx

=+ (4)