常系数线性微分方程的解法

摘要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解.

关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法

The Solution of Linear Differential Equation

with Constant Coefficients

Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically.

Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation.

前言

为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解.

1. 预备知识

1.1复值函数与复值解

如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中

()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间

a t

b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们

就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义

lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+.

如果0

0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0

t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极

限0

()()

lim

t t z t z t t t →--存在,就称()z t 在0t 有导数（可微）.且记此极限为0()dz t dt 或者'0()z t .

显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ?,()t ψ在0t 处有导数,且

000()()()

dz t d t d t i dt dt dt

?ψ=+. 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数,就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.

设1()z t ,2()z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数,c 是复值常数,容易验证下列等式成立：

[]1212()()()()dz t dz t d

z t z t dt dt dt

+=+, []11()()dz t d

cz t c dt dt

=, []121221()()()()()()dz t dz t d

z t z t z t z t dt dt dt

?=?+. 在讨论常系数线性微分方程时,函数Kt e 将起着重要的作用,这里K 是复值常数.我们现在给出它的定义,并且讨论它的简单性质.

设K i αβ=+是任一复数,这里α,β是实数,而t 为变量,我们定义

()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+.

由上述定义立即推得

1cos ()2i t

i t t e e βββ-=

+, 1

sin ()2i t i t t e e i βββ-=-.

如果以K i αβ=-表示复数K i αβ=+的共轭复数.那么容易证明

Kt Kt e e =.

此外,函数Kt e 还有下面重要性质： (1)1212()K K t K t K t e e e +=?；

(2)Kt

Kt de Ke dt

=,其中t 为实变量；

(3)n Kt

n Kt n d e K e dt

=. 综上所述,可以得出一个简单的结论,就是实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质.这可以帮助我们记忆上面的结果.

首先写出后面将用到的两个线性微分方程

1111()()()()n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x f t dt dt dt

---++++= , (1) 和

1111()()()0n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x dt dt dt

---++++= , (2) 现在我们引进线性微分方程的复值解的定义.定义于区间a t b ≤≤上的实变量复值函数()x z t =称为(1)的复值解,如果

111

1()()()()()()()()n n n n n n d z t d z t dz t a t a t a t z t f t dt dt dt

---+++= 对于a t b ≤≤恒成立.

定理1 如果方程(2)中所有系数()i a t (1,2,,)i n = 都是实值函数,而

()()()x z t t i t ?ψ==+是方程的复值解,则()z t 的实部()t ?、虚部()t ψ和共轭复值函数()z t 也都是方程(2)的解.

定理2 若方程

1111()()()()()n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x u t iv t dt dt dt

---+++=+ 有复值解()()x U t iV t =+,这里()i a t (1,2,,)i n = 及()u t ,()v t 都是实函数,那么这个解的实部()U t 和虚部()V t 分别是方程

1111()()()()n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x u t dt dt dt

---+++= 和

1111()()()()n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x v t dt dt dt

---+++= 的解.

1.2常系数齐次线性微分方程和欧拉方程

设齐次线性微分方程中所有系数都是常数,即方程有如下形状

[]1111()()()0n n n n n n d x d x dx

L x a t a t a t x dt dt dt

---≡+++= , (3)

其中12,,,n a a a 为常数.我们称(3)为n 阶常系数齐次线性微分方程.正如前面所指出的,它的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程(3)的通解,只需求出它的基本解组.下面介绍求(3)的基本解组的欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）.

回顾一阶常系数齐次线性微分方程

0dx

at dt

+=, 我们知道它有形如at x e -=的解,且它的通解就是at x ce -=.这启示我们对于方程(3)也去试求指数函数形式的解

t x e λ=, (4) 其中λ是待定系数,可以是实的,也可以是复的.

注意到

1111n t n t t t

t n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt

λλλλλ---??≡+++?? 111()()n n t t n n a a a e F e λλλλλλ--=++++≡ ,

其中111()n n n n F a a a λλλλ--≡++++ 是λ的n 次多项式.易知, (4)为方程(3)的解的充要条件是λ是代数方程

111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= (5) 的根.因此,方程(5)将起着预示方程(3)的解的特性的作用,我们称它为方程(3)的特征方程,它的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论.

(1)特征根是单根的情形

设12,,,n λλλ 特征方程(5)的n 个彼此不相等的根,则相应地方程(3)有如下n 个解：

12,,,n t t t e e e λλλ . (6) 我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关,从而组成方程的基本解组.事实上,这时

12121

1211112()n n n

t t t t

t t

n t

t t n n n n e e e e e e W t e e e λλλλλλλλλλλλλλλ---=

121

()111

121

n n

n n n n e λλλλλλλλλ+++---=

而最后一个行列式是著名的范德蒙德行列式,它等于

1()i j j i n

λλ≤≤≤-∏

.由于假设i j

λλ≠（当i j ≠）,故此行列式不等于零,从而()0W t ≠,于是解组(6)线性无关,这就是所要证明的.

如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数,则(6)是方程(3)的n 个线性无关的实值解,而方程(3)的通解可表示为

1212n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ ,

其中12,,n c c c 为任意常数.

如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭地出现.设

1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程(3)

有两个复值解

()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+, ()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ-=-.

根据定理8,它们的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±,我们可求得方程(3)的两个实值解

cos t e t αβ , sin t e t αβ.

(2)特征根有重根的情形

设特征方程有k 重根1λλ=.则如所周知

'1()1111()()()0,()0k k F F F F λλλλ-====≠ .

如果10λ=,易得(3)的k 个线性无关解211,,,k t t t - . 如果10λ≠,我们作变量变换1t x ye λ=,可将(3)化为

[]111110n n n n n n d y d y dy

L y b b b y dt dt dx

---≡+++= , (7)

其中12,,,n b b b 仍为常数,而相应的特征方程为

111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++= . (8) 从而求得对应于特征方程(5)的1k 重根1λ,方程(3)有1k 个解

1111112,,,,t t t k t e te t e t e λλλλ- . (9) 同样,假设特征方程(5)的其他根23,,,m λλλ 的重数依次为23,,,m k k k ；1i k ≥（单根j λ相当于1j k =）,而且12,m j i k k k n λλ+++=≠ （当i j ≠）则方程(3)对应地有解

2222

21212,,,,,

,,,,.

m m m m

m t t t k t

t t t k t e t e t e t e e t e t e t e λλλλλλλλ--??

(10) 我们可以证明(9)和(10)全体n 个解构成方程(3)的基本解组.

对于特征方程有复重根的情况,譬如假设i λαβ=+是k 重特征根,则i λαβ=-也是k 重特征根,仿情况(1)一样处理,我们将得到方程(3)的2k 个实值解

2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .

t t t k t t

k t

e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--

例1 求方程440d x

x dt

-=的通解.

解特征方程410λ-=的根为12341,1,,i i λλλλ==-==-.有两个实根和两个复根,均是单根,故方程的通解为

1234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++,

这里1234,,,c c c c 是任意常数.

例2 求解方程424220d x d x

x dt dt

++=.

解特征方程42210λλ++=,或22(1)0λ+=,即特征根i λ=±是重根.因此,方程有四个实值解

cos ,cos ,sin ,sin t t t t t t ,

故通解为

1234()cos ()sin x c c t t c c t t =+++,

其中1234,,,c c c c 为任意常数.

形状为

11110n n n

n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx

----+++= (11) 的方程称为欧拉方程,这里12,,,n a a a 为常数.此方程可以通过变量变换化为常系数齐次线性微分方程

11110n n n n n n d y d y dy b b b y dt dt dx

---+++= , (12) 其中12,,,n b b b 是常数,因而可用上述讨论的方法求出(12)的通解,再代回原来的变量（注意：ln t x =）就可求得方程(11)的通解.

由上述推演过程我们知道方程(12)有形如t y e λ=的解,从而方程(11)有形如y x λ

=的解,因此可以直接求欧拉方程的形如K y x =的解.以K y x =代入(11)并约去因子K x ,就得到确定K 的代数方程

1(1)(1)(1)(2)0n K K K n a K K K n a --++--+++= , (13) 可以证明这正是(12)的特征方程.因此,方程(13)的m 重实根0K K =,对应于方程(11)的

m 个解

000021,ln ,ln ,,ln K K K K m x x x x x x x - ,

而方程(13)的m 重复根K i αβ=+,对应于方程(11)的个2m 实值解

cos(ln ),ln cos(ln ),,ln cos(ln ),sin(ln ),ln sin(ln ),,ln

sin(ln ).

m m x x x x x x x x x x x x x x x x αααα

ββββββ--

例3 求解方程22

20d y dy

x y dx dx

-+=. 解寻找方程的形式解K y x =,得到确定K 的方程(1)10K K K --+=,或

212(1)0,1K K K -===.因此,方程的通解为12(ln )y c c x x =+,其中12,c c 是任意常数.

2.非齐次线性微分方程的解法

现在讨论常系数非齐次线性微分方程

[]1111()n n n n n n d x d x dx

L x a a a x f t dt dt dt

---≡++++= (14)

的求解问题,这里1,2,,n a a a 是常数,而()f t 为连续函数. 2.1比较系数法

类型Ⅰ

设1

1()()m m t m m f t b t bt b t b e λ--=++++ ,其中λ及(0,1,,)i b i m = 为实常数,那么方程(14)有形如

1011()m m t

m m x B t Bt B t B e λ--=++++ (15)

的特解,其中k 为特征方程()0F λ=的根λ的重数(单根相当于1k =；当λ不是特征根时,取0k =),而01,,,m B B B 是待定常数,可以通过比较系数法来确定.

1) 如果0λ=,则此时

101

()m m m f t b t bt b -=+++ . 现在再分两种情形讨论.

(a) 在 0λ=不是特征根的情形,即(0)0F ≠,因而0n a ≠,这时取0k =,以

m m m x B t Bt B -=+++ 代入方程(14),并比较t 额的同次幂的系数,得到常数01,,,m B B B 必须满足的方程

001011,211022,,

(1)(1),n

n n n n m n n B a b B a mB a b

B a m B a m m B a b B a b ---=??+=??

+-+-=???+=?? (16)

注意到0n a ≠,这些待定常数01,,,m B B B 可以从方程组(16)唯一地逐个确定出来.

(b) 在0λ=是k 重特征根的情形,即'(1)(0)(0)0k F F F -==== ,而()0k F ≠,也就是110,0n n n k n k a a a a --+-====≠ .这时相应地,方程(14)将为

111()n n k n k n n k d x d x d x

a a f t dt dt dt ---+++= . (17) 令k k d x

z dt

=,则方程(17)化为

111()n k n k n k n k n k d x d x

a a z f t dt dt

-------+++= , (18) 对方程(18)来说,由于0,0n k a λ-≠=已不是它的特征根.因此,由1)知它有形如

101m m m

z B t Bt B -=+++ 的特解,因而方程(17)有特解x 满足 101k m m m k

d x z B t B t B dt

-=+++ . 这表明x

是t 的m k +次多项式,其中t 的幂次1k ≤-的项带有任意常数.但因我们只需要知道一个特解就够了.我们特别地取这些任意常数均为零,于是我们得到方程(17) (或方程(14))的一个特解

101()k m m m x

t t t γγγ-=+++ , 这里01,,,m γγγ 是已确定了的常数.

2) 如果0λ≠,则此时可像4.2.2做法一样,作变量变换 t x ye λ=,将方程(14)化为

11101n n m n n m n n d y d y dy

A A A y b t b dt dt dt

---++++=++ , (19) 其中12,,,n A A A 是常数.而且特征方程(5)的根λ对应于方程(19)的特征方程的零根,并

且重数也相同.因此,利用上面的结果就有如下结论：

在λ不是特征方程(5)的根的情形,方程(14)有特解1

()m m t m x B t Bt B e λ-=+++ ；在λ是特征方程(5)的k 重根的情形,方程(14)有特解

()k m m t m x t B t Bt B e λ-=+++ . 例4 求323233(5)t d x d x dx

x e t dt dt dt

-+++=-的通解.

解特征方程323331(1)0λλλλ+++=+=有三重根1,2,31λ=-,对应齐次方程的通

解为2123()t x c c t c t e -=++,且方程有形状为3()t x

t A Bt e -=+ 的特解,将它代入方程得 (624)(5)t t A Bt e e t --+=-,

比较系数求得51,624A B =-=.从而3

1(20)24

t x

t t e -=- .故方程的通解为 231231

()(20)24

t t x c c t c t e t t e --=+++-,

其中123,,c c c 为任意常数.

类型Ⅱ

设[]()()cos ()sin t f t A t t B t t e αββ=+,其中,αβ为常数,而(),()A t B t 是带实系数的t 的多项式,其中一个的次数为m ,而另一个的次数不超过m ,那么我们有如下结论：方程(14)有形如

[]()c o s ()s

i n k t

x t P t t Q t t e αββ=+ (20) 的特解,这里k 为特征方程()0F λ=的根i αβ+的重数,而(),()P t Q t 均为待定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式,可以通过比较系数的方法来确定.

例5 求方程2244cos 2d x dx

x t dt dt

++=的通解.

解特征方程2440λλ++=有重根122λλ==-,因此,对应的齐次线性微分方程的通解为

212()t x c c t e -=+,

其中12,c c 为任意常数.现求非其次线性微分方程的一个特解.因为2i ±不是特征根,我们

求形如cos 2sin 2x

A t

B t =+ 的特解,将它代入原方程并化简得到 8cos 28sin 2cos 2B t A t t -=,

比较同类项系数得10,8A B ==,从而1

sin 28

t = ,因此原方程的通解为 2121

()sin 28

t x c c t e t -=++.

2.2拉普拉斯变换法

常系数线性微分方程(组)还可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简便. 由积分

()()st F s e f t dt +∞

-=?

所定义的确定于复平面(Re s σ>)上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,其中()f t 于0t ≥有定义,且满足不等式

()t f t Me α<,

这里,M σ为某两个正常数.我们将称()f t 原函数,而()F s 称为像函数.

设给定微分方程

111()n n n n n d x d x

a a x f t dt dt

--+++= (14) 及初始条件

''(1)(1)000(0),(0),,(0)n n x x x x x x --=== ,

其中1,2,,n a a a 是常数,而()f t 连续且满足原函数的条件.

注意,如果()x t 是方程(14)的任意解,则()x t 及其各阶导数()()(1,2,,)k x t k n = 均是原函数.记

[][]0

()*()(),

()*()().

st st F s f t e f t dt X s x t e x t dt +∞

-+∞

-=≡=≡??

那么,按原函数微分性质有

0*()(),x t sX s x ??=-??

()12'(1)

000*()(),n n n n n x t s X s s x s x x ---??=----??

于是,对方程(14)两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质就得到

[]12'(2)(1)

0000123'(2)

100010()()()()(),

n n n n n n n n n n n s X s s x s x sx x a s X s s x s x x a sX s x a X s F s -------------??+---??++-+=

即

111211023'(1)1200()()()()(),

n n n n n n n n n n s a s s a X s F s s a s a x s a s a x x --------+++=+++++++++

或

()()()()A s X s F s B s =+,

其中(),()A s B s 和()F s 都是已知多项式,由此

()()

F s B s X s A s +=

这就是方程(14)的满足所给初始条件的解()x t 的像函数.而()x t 可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式计算求得.

例6 求解方程''''2,(1)(1)0t x x x e x x -++===. 解先令1t τ=-,将问题化为

'''(1)'2,(0)(0)0x x x e x x τ-+++===,

再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到

211()2()()1s X s sX s X s s e

++=

?+, 因此

()(1)X s s e

?+. 查拉普拉斯变换表可得

211

()2

x e τττ--=,

从而

()(1)2

t x t t e -=

-, 这就是所要求的解.

结束语

本文主要讨论常系数线性微分方程的解法，其中主要有常数变易法，比较系数法和拉普拉斯法，并举例加以说明.另外还有其它很多种方法，由于篇幅限制在这里就不再多做介绍,最后希望可以通过本文让我们对常系数微分方程的求解有更深的了解.

参考文献

[1]胡健伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].科学出版社,1999. [2]尤秉礼.常微分方程补充教程[M].人民教育出版社,1981. [3]丁同仁,李承治.常微分方程[M].高等教育出版社,1985. [4]张鸿林译.常微分方程手册[M].科学出版社,1977.

[5]中山大学数学力学系常微分方程组.常微分方程第三版[M].高等教育出版社,2006.

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

一阶线性微分方程组

第4章一阶线性微分方程组一内容提要 1．基本概念一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1）的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。

(整理)常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义

8.1.n阶常系数线性方程的解法

第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时) 教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法. 讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数若)()(t t ψ?和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称) 1(),()()(2 -=+=i t i t t z ψ?为区间b t a ≤≤上的复值函数. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为: ,dt d i dt d dt dz ψ?+= 复函数求导法则与实函数相同. 2．复指数函数 ()()(cos sin )i t t z t e e t i t αβαββ+==+，欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+ 3．复值解定义定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果 ()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++= 对于a t b ≤≤恒成立。对线性方程的复值解有下面的两个结论：

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法摘要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极

第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.

第八章 8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性微分方程的解的结构分析【摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。【关键词】常系数线性微分方程结构一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ，（1.1）的求解上式可以改写为 adt x dx -= ，（1.2）于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ，（1.3）这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ，（1.4）其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ，（2.1）其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ，（2.2）上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ，（2.3）两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ，（2.4）这里c 是常数。若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了一阶非齐次线性微分方程。我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶

齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ，（2.5）中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ，（2.6）微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ，（2.7）以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8）即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (，积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1）其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of

Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：

常系数线性方程的解法

§4.2 常系数线性方程的解法讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和 ()t ψ是区间a t b ≤≤上定义的实函数，i 是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t 。如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t i t ?ψ→→→=+ 如果0 0lim ()()t t z t z t →=，我们就称()z t 在0t 连续。显然，()z t 在0t 连续相当于()t ?、()t ψ在 0t 连续。当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续。如果极限0 00 ()() lim t t z t z t t t →--存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）。且记此极限为0()dz t dt 或者 0()z t '。显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ?、()t ψ在0t 处有导数，且 000()()() dz t d t d t i dt dt dt ?ψ=+ 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。设12(),()z t z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数，容易验证下列等式成立： []1212()()()()dz t dz t d z t z t dt dt dt +=+ []11()()dz t d cz t c dt dt = []121221()()()()()()dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt ?=?+? 在讨论常系数线性方程时，函数Kt e 将起着重要的作用，这里K 是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。设K i αβ=+是任一复数，这里,αβ是实数，而t 为实变量，我们定义 ()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+

线性常系数微分方程典型例题

二阶常系数非齐次微分方程典型例题例1：y′′?5y′+6y=e?x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k e?x y?′=?k e?x ,y?′′=k e?x 代入原方程得：12ke?x=e?x, k=1 12 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 12 e?x 例2：y′′?5y′+6y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k xe3x y?′=k(1+3x)e3x ,y?′′=k(6+9x)e3x 代入原方程得：k e3x=2e3x ,k=2 答案：y=C1e2x+C2e3x+2xe?x 例3：y′′?5y′+6y=2x+4cos3x?e x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=ax+b+ccos(3x)+dsin(3x)+ke x y?′=a?3csin3x+3dcos3x+ke x ,y?′′=?9ccos3x?9dsin3x+ke x 代入原方程得：a=1 3,b=5 18 ,c=?2 39 ,d=?10 39 ,k=?1 2 . 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 3x+5 18 ?2 39 cos(3x)?10 39 sin(3x)?1 2 e x 例4：y′′?2y′+y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k e3x y?′=3k e3x ,y?′′=9k e3x 代入原方程得：k=1 2 答案：y=C1e x+C2xe x+1 2 e x 例5：y′′?2y′+y=2e x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k x2e x

常系数线性微分方程的解法

高阶线性微分方程常用解法介绍

一阶线性微分方程组

(整理)常系数线性微分方程的解法

8.1.n阶常系数线性方程的解法

常系数线性微分方程的解法

第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.

常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程的解法

最新4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法汇总

线性常系数微分方程典型例题

第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)