华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-8

13．如图8-27所示，90BAC ∠=?．在平面α内，PA 是α的斜线，60PAB PAC ∠=∠=?．求PA 与平面α所成的角．

P 图 8-27

α

O C

B N M

A

解：如图8-27所示，过P 作PO α⊥于O ．连接AO ，

则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角． 作OM AC ⊥．由三重线定理可得PM AC ⊥． 作ON AB ⊥，同理可得PN AB ⊥．

由PAB PAC ∠=∠，90PMA PNA PA PA ∠=∠=?=，， 可得PMA PNA △≌△，则PM PN =．

由于OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影， 则OM ON =．

所以点O 在BAC ∠的平分线上．

设PA a =，又60PAM ∠=?，则1

2AM a =，45OAM ∠=?，

则2

22

AO AM a ==

． 在POA △中，2

cos 2

AO PAO PA ∠=

=， 则45PAO ∠=?，即PA 与α所成角为45?．

8.4空间平面与平面的位置关系

1．已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在α，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点． 求证：EF EF αβ，∥∥．

证明：如题1解析图，连接AF 并延长交β于G ． 由于AG CD F = ，

则AG ，CD 确定平面γ，且AC DG γαγβ== ，． 由于αβ∥，所以AC DG ∥， 则ACF GDF ∠=∠.

又AFC DFG CF DF ∠=∠=，，

则ACF DFG △≌△． 则AF FG =． 又AE BE =，

则EF BG BG β?，∥．故EF β∥．同理EF α∥．

α

βG

F

E

D

C B

A 题1解析图

2．如果αβ∥，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB AC ⊥，且2AB =，直线AB 与平面α所成的角为30?，求线段AC 长的取值范围．

解：如题2解析图所示：作AD β⊥于D ，连接BD 、CD 、BC ． 由于AB BD >，AC DC >，222AB AC BC +=， 则在BDC △中，由余弦定理，得：

222222

cos 022BD CD BC AB AC BC BDC BD CD BD CD

+-+-∠=<=??．

由于AD β⊥，ABD ∴∠是AB 与β所在的角． 又由于αβ∥，

则ABD ∠也就等于AB 与α所成的角，即30ABD ∠=?． 由于2AB =，

则221314AD BD DC AC BC AC ===-=+，，，， 则22

2

31410231

AC AC AC +----

，即2

1031

AC <

-≤．

则23

3AC ≥

，即AC 长的取值范围为233??+∞?????

，． β

α

D

C

B

A

题2解析图

3．如图8-35，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、1AA 的中点．求平面1CEB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值．

F

D 1

C 1

B 1

A 1E

C

B

A

图 835

解：延长CE 、1D F 、DA 交于一点G ，设棱长为1，

可知12B C =，13B G =，5CG =，故11B G B C ⊥．同理，11111B D B D B G ⊥⊥， 则11CB D ∠即为所求二面角的平面角，易求1160CB D ∠=?，

其正弦值为

3

2

． 4．如图8-36，点A 在锐二面角αMN β--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45?，与面β所成的角大小为30?，求二面角MN αβ--的大小．

M

N

A

P β

α

图 836

解：在射线AP 上取一点B ，作BH β⊥于H ，

连接AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角（参见题4解析图）， 则30BAH ∠=?．

再作BQ MN ⊥，交MN 于Q ，连接HQ ， 则HQ 为BQ 在平面β内的射影．

由三垂线定理的逆定理，HQ MN ⊥，则BQH ∠为二面角MN αβ--的平面角．

设BQ a =，在Rt BAQ △中，90BQA ∠=?，45BAM ∠=?，则2A B a =．在Rt HBQ △中，90BHQ ∠=?，

BQ α=，22BH a =，2

22sin 2

a

BH BQH BQ a ∠===， 由于BQH ∠是锐角，则45BQH ∠=?，即二面角MN αβ--等于45?．

B A

N

Q H

M

P

α

β

题4解析图

5．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将AED △沿AE 折起到1AED ，的位置时，有平面1ACD ⊥平面ABCE ，并且11BD CD ⊥．

（1）判断并证明E 点的具体位置． （2）求点D '到平面ABCD 的距离．

解：如题5解析图（a ）所示，（1）E 为CD 边中点．连接AC 、BD 交于点O ，再连1DD ，由BD AC ⊥， 且平面1ACD ⊥平面ABCE 于AC ，则BD ⊥平面1ACD ， 故1CD BD ⊥，又11CD BD ⊥，则1CD ⊥平面1BDD ， 即得11CD DD ⊥，在1Rt CDD △中，由于1ED ED =， 则11EDD ED D ∠=∠，

则11119090ECD EDD ED D ED C ∠=?-∠=?-∠-∠， 则1EC ED ED ==，即E 点为边CD 的中点．

C

A

M

D 1

E

M O

D 1

D

C

B

A

(b )

(a )

题5解析图

（2）取OC 的中点M ，连接1DM 、EM ，则E M B D ∥，得EM 平面1ACD ，见题5解析图（b ），即190EMD ∠=?，又因为122D E EM ==，，则12D M =，又1AD EM ⊥，由于AD D E ⊥，则11AD D E ⊥，则1AD ⊥平面1EMD ，则11AD D M ⊥，在1Rt AMD △中，1432AD AM ==，，2DM =，过1D 作1D H AM ⊥于H 点，则1D H ⊥平面ABCE ，由于11424

332

AD D M D H AM ?=

==，此即得点1D 到平面ABCE

的距离．

6．在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足12AE EB CF FA CP PB ===∶∶∶∶，如图8-37．将AEF △沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角

1A EF B --成直二面角，连接1A B 、1A P ，如图8-38．

F A 1B

C

P

E

P

F

E

C

B

A 图 838

图 837

（1）求证：1A E ⊥平面BEP ．

（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小．

（3）求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数表示）．

解：（1）不妨设正三角形ABC 的边长为3，在图8-37中，取BE 中点D ，连结DF ．由于

12AE EB CF FA ==∶∶∶， 则2AF AD ==而60A ∠=?，

则ADF △是正三角形，又1AE DE ==，

则EF AD ⊥在图8-38中，1A E EF BE EF ，⊥⊥， 则1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，1A E BE ，⊥又BE EF E = ， 则1A E ⊥平面BEF ，即1A E ⊥平面BEP ；

（2）在图8-38中，1A E 不垂直1A B ，则1A E 是平面1A BP 的垂线．又1A E ⊥平面BEP ，则1AE B E ⊥

．从而BP 垂直于1A E 在平面1A BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）设1A E 在平面1A BP 内的射影为1A Q ，且1A Q 交BP 于点Q ，则1E AQ ∠就是1A E 与平面1A BP 所成的角，且1

BP AQ ⊥．在EBP △中，2BE EP ==而60EBP ∠=?，则EBP △是等边三角形．又1A E ⊥平面BEP ，

则11A B A P =，则Q 为BP 的中点，且3EQ =，又11A E =，在1Rt A EQ △中，11tan 3EQ

EA Q A E

∠==，则1

60EAQ ∠=?， 则直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60?；

（3）过F 作1FM A P ⊥与M ，连接QM QF ，，由于1CP CF ==，60C ∠=?，则F C P △是正三角形．则

1PF =．有1

12

PQ BP ==，则PF PQ =

①

由于1A E ⊥平面BEP ，3EQ EF ==，则11A E AQ =，则11

A EP AQP △≌△从而11A PF A PQ ∠=∠ ②

由①②及MP 为公共边知FMP QMP △≌△，则90QMP FMP ∠=∠=?，且MF MQ =，从而FMQ ∠为二面角1B A P F --的平面角．在1Rt AQP △中，1121AQ A F PQ ===，， 又则15A P =． 由于1MQ A P ⊥，则11255

A Q PQ MQ A P ?=

=，则25

5MF =．

在FCQ △中，1260FC QC C ==∠=?，，，由余弦定理得3QF =． 在FMQ △中，2227

cos 28

MF MQ QF FMQ MF MQ +-∠=

=-?； 则二面角1B A P F --的大小为7

πarccos 8

-．

7．如图8-39，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C '--．

C '

D

C B A

图 839

（1）指出这个二面角的面、棱、平面角．

（2）若二面角C AD C '--是直二面角，求C C '的长． （3）求AC '与平面C CD '所成的角．

（4）若二面角C AD C '--的平面角为120?，求二面角A C C D -'-的平面角的正切值． 解：（1）由于AD BC ⊥，则AD DC ⊥，AD DC '⊥，则二面角C AD C '--的面为ADC 和面ADC '，棱为AD ，二面角的平面角为CDC ∠'． （2）若90CDC ∠'=?，

由于AC a =，则1

2

DC DC a ='=，则22CC a '=． （3）由于AD DC AD DC '，⊥⊥，则AD ⊥平面DC C '，

则AC D ∠'为AC '与平面C CD '所成的角． 在直角三角形ADC '中，1

2

DC DC AC ='=

，则30DAC ∠'=?， 于是60AC D ∠'=?．

（4）取CC '的中点E ，连接AE 、DE ，

由于DC DC AC AC '='=，，则AE CC DE CC ''，⊥⊥， 则AED ∠为二面角A C C D -'-的平面角．

由于11202C DC C D CD a ∠'=?'==，，则1

4

DE a =，

在直角三角形AED 中，32AD a =，则3

2tan 2314

a AD AED DE a ∠===．

8．在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和1B C 之间的距离． 解：具体解法可按如下几步来求：

①分别经过BD 和1B C 找到两个互相平等的平面； ②作出两个平行平面的公垂线；

③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度． 如题8解析图（a ），根据正方体的性质，易证： 1111BD B D A B D C ?

??

∥∥?平面1A BD ∥平面11CB D ．

连接1AC ，分别交平面1A BD 和平面11CB D 于M 和N ． 因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线， AC 在平面ABCD 内，AC BD ⊥．

由三垂线定理：1AC BD ⊥，同理，11AC A D ⊥． 则1AC ⊥平面1A BD ，同理可证，1AC ⊥平面11CB D ． 则平面1A BD 和平面11CB D 间的距离为线段MN 长度．

如图（b ）所示：在对角面1AC 中，1O 为11AC 的中点，

O 为AC 的中点． 则1113

33

AM MN NC AC a ===

=． 则BD 和1B C 的距离等于两平行平面1A BD 和11CB D 的距离为

3

3

a ． N

M

D C

B

A

B 1

A 1

D 1C 1O 1

C 1

A 1

O

C

A N

M

(a )

(b )

题8解析图

9．设由一点S 发出三条射线SA 、SB 、SC ，ASB α∠=，BSC β∠=，ASC θ∠=，α、β、θ均为锐角，且cos cos cos αβθ?=．求证：平面ASB ⊥平面BSC ． 证明：如题9解析图，连接AC ． 由于cos cos SB AS SC SB αβ=?=?，， 故cos cos SC AS αβ=??． 又由cos cos cos αβθ?=，

则cos SC AS θ=?，从而可得90ACS ∠=?，

即AC SC ⊥，已作BC SC ⊥，故SC ⊥平面ACB ， 即有AB SC ⊥，已作AB SB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ，

故平面ASB ⊥平面BSC ．

C

β

α

θ

S B

A

题9解析图

10．如图8-40，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2PB =，PB 与平面PCD 所成的角为45?，PB 与平面ABD 成30?角，求：

C

B

A

F E

D

P

图 840

（1）CD 的长．

（2）求PB 与CD 所成的角．

（3）求二面角C PB D --的余弦值．

解：（1）因为PB 与平面PCD 所成的角为45?，则2BC CP == 因为PB 与平面ABD 成30?角，则13PD BD ==，．

则1CD =．

（2）因为CD AB ∥，PB 与CD 所成的角为PBA ∠，显然60PBA ∠=?．

（3）

33

． 11．如图8-41，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两

点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF △的面积为72，求B

D E △的面积．

βα

B

Q

D E F

C

P

图 841

解：由于平面QAF AF α= ，平面QAF BE β= ， 又由于αβ∥，则AF BE ∥．

同理可证：AC BD ∥．则FAC ∠与EBD ∠相等成互补， 由AF BE ∥，得：12BE AF QB QA ==∶∶

∶，则1

2

BE AF =， 由BD AC ∥，得：7

373

AC BD PA PB BD AC ===，，∶∶∶ 又由于ACF △的面积为72，即

1

sin 722

AF AC FAC ??∠=， 1117

sin sin 842223

DBE S BE BD EBD AF AC FAC =?∠=???∠=△．

12．如图8-42，已知正方形ABCD ．E 、F 分别是AB 、CD 的中点．将ADE △沿DE 折起，如图8-43所示，记二面角A DE C --的大不为()0πθθ<<．

F E

D

C

B

A

图 842

（1）求证BF ∥平面ADE ．

（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值． 解：（1）证明：E 、F 分别为正方形ABCD 两边AB 、CD 之中点，

则EB FD ∥，且EB FD =，则四边形EBFD 为平行四边形．则BF ED ∥． 由于EF ?平面AED ，而BF ?平面AED 则BF ∥平面ADE ．

（2）解：如图8-43，点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过点A 作AG 垂直于平面BCDE ，垂足为G ，连接GC GD ，．

F

E

D

C

B

A 图 843

由于ACD △为正三角形，则AC AD =，则CG GD =．

由于G 在CD 的垂直平分线上，

则点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过G 作GH 垂直于ED 于H ，连接AH ，则A H D E ⊥，所以AHD ∠为二面角A DE C --的平面角．即AHG θ∠=．

设原正方体的边长为2a ，连接AF 在折后图的AEF △中，3AF a =，22EF AE a ==，即AEF △为直角三角形，AG EF AE AF ?=?．

则3

2AG a =

．在Rt ADE △中，AH DE AE AD ?=?，则25AH a =

． 则1

cos 4

25

a

GH GH AH θ=

=

=，． 13．在矩形ABCD 中，已知1AB BC a ==，，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ QD ⊥，说明理由．

（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ QD ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的正弦值． （3）在（2）的条件下，求出平面PQD 与平面PAB 所成角的大小．

解：本题第（1）问是一道“是否存在”的探索性问题．首先假设存在点Q ，使得PQ QD ⊥，然后根据这个假设进行正确的推理和验证．若能找出点Q 在BC 上的位置，说明存在，否则就不存在．第（2）小题，可结合（1）中的结论找出线面角，通过解三角形求得其值． （1）假设存在点Q ，使得PQ QD ⊥． 由于PA ⊥平面ABCD ，则QD AQ ⊥． 设BQ x =，则QC a x =-．

由222AD AQ QD =+，得()2

222211a x a x =++-+．

即方程：210x ax -+=． ① 其判别式为24a ?=-．

则当2a =时，0?=，方程①有一解，即存在一个点Q ，使PQ QD ⊥； 当2a >时，0?>．方程①有两解，即存在两个点Q ，使得PQ QD ⊥； 当02a <<时，0?<，方程①无实根，即不存在点Q ，使得PQ QD ⊥．

（2）当BC 边上仅有一个点Q ，使得PQ QD ⊥时，可知2BC =，Q 为BC 的中点． 由于QD AQ QD PQ ，⊥⊥， 则平面PDQ ⊥平面PAQ ．

过A 作AE PQ ⊥，垂足为E ，则AE ⊥平面PDQ ， 故ADE ∠为AD 和平面PDQ 所成的角． 在Rt PAQ △中，6

3

PA AQ AE PQ ?=

=． 在Rt AED △中，6

sin 6

AE ADE AD ∠=

=． （3）平面PQD 与平面PAB 所成角的大小为arctan 5．

14．两个平行平面α和β将四面体ABCD 截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的

体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．求平面α和β截四面体所得的截面面积之比． 解：由已知有一个截面为梯形且平面α和β平行，可知平面α和β平行于四面体ABCD 的一条棱．

记()d A α，

为A 到平面α的距离． 若AB α∥，则()()d A d B αα=，

，，矛盾． 若AC α∥，则()()d A d C αα=，

，，矛盾． 若AD α∥，则()()30d D d A αα==，

，，矛盾．

若BC α∥，则()()()()d B d A d C d A αααα+=+，，，，，矛盾． 若CD α∥，则中间部分的体积大于含棱CD 部分的体积，矛盾． 所以，BD α∥，如题14解析图所示，由已知 201020212AP PE EB AS SH HD ===∶∶∶∶∶∶∶∶ 2010161058BF FQ QC DG GR RC ===∶∶∶∶∶∶∶∶ 不妨设1ABCD V =四面体，

1BEF DHG D BEF F FDH H DFG V V V V V ----==++

102321013102996

2355523232352645

=

?+??+??=

2APS CQR R APS P SARC P CQR V V V V V ----==++

221582883836

5523235232352645=??+?+??=

； 312813

2645

EFGH PQRS ABCD V V V V V -==--=

． 所以，3V 小于1V ，小于2V ，符合题意．

设平面EFGH ，平面PQRS 分别交AC 延长线于X ，Y ． 由梅内劳斯定理，

1BA EY FC AE YF CB ??=，所以69

65

EY YF =

， 1BA PX QC AP XQ CB ??=，所以2320

PX XQ =． 又因为4

9XPS YEH S S =∶∶， 2

12201412923659134169S S ??

- ?

??=

?=??- ???

∶． S

H

G R

Q F E Y

C B

A

题14解析图

8.5空间向量及其坐标表示 基础练习

1．如图8-50，OA a OB b OC c ===

，，，M 、N 、P 分别为AB ，BC ，CA 的中点，试用a ，b ，c

表示下列向量：OM MN AN ，，．

N

O

M

P C

B

A

图 850

解：由于M 为AB 中点，

则()()

1122

OM OA OB a b =+=+ ．

由于M 、N 为AB 、BC 中点， 则(

)

1122MN AC c a ==- ，、

同理()

12

ON b c =+ ．

由于AN AO ON =+ ，

则()

12

AN a b c =-=+ ．

2．已知空间三点()202A -，，，()212B -，，，()303C -，，．设a AB = ，b AC =

，是否存在实数k ，

使向量ka b +与2ka b -互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．

解：()()010101AB AC ==- ，，，，，． ()()11222ka b k ka b k +=--=-，，，，， 由于()()1122k k --，，

，，⊥， 则242k k ==-，或2k =．

3．菱形ABCD 的边长为1，120ABC ∠=?，若E 为BC 延长线上任意一点，AE 交CD 于点F ，求向量BF 与ED

和夹角的大小．

解：以为A 原点建立平面直角坐标系，()()331300102222A B C D ????

? ? ? ?????，，，，，，，．

设E 坐标为()

1132x x x ?

?+> ???，，．则1322x F x ??+ ? ???

，．

则131332222x BF ED x x x ????-==+- ? ? ? ????

? ，，，． 夹角1cos 2BF ED BF ED

θ?==-

，则夹角大小为2

π3．

4．如图8-51，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PDA ∠为θ，

能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由． 解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -．

P

B C

D

M

N A

y

x

z 图 851

设22AD a AB b PDA θ==∠=，，．则()000A ，，、()020B a ，，、()220C a b ，，、()200D a ，，、()002tan P a θ，，、()00M b ，，、()tan N a b a θ，，．

则()020AB b = ，，，()222tan PC a b a θ=- ，，，()0tan MN a a θ=

，，． 由于()()0200tan 0AB MN b a a θ?==

，，，，，则AB MN ⊥．即AB MN ⊥．

若MN PC ⊥，则()()220tan 22tan 22tan 0MN PC a a a wb a a a θθθ?=-=-=

，，，，． 则2tan 1θ=，而θ是锐角．

则tan 145θθ==?，

． 即当45θ=?时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线．

5．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC 、CD 上的点，且BE CF =，见图8-52．

y

x

z D 1

C 1

B 1

A 1

F E

D C

B A 图 852

（1）当E 、F 在何位置时，11B F D E ⊥． （2）是否存在点E 、F ，使1AC ⊥面1C EF ？

（3）当E 、F 在何位置时三棱锥1C CEF -的体积取得最大值，并求此时二面角1C EF C --的大小． 解：（1）以A 为原点，以AB 、AD 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，见题5解析图．

设BE x =，则有

()()()()110000B a a D a a E a x F a x a -，，，，，，，，，，，，

则()()()()()11110B F x a a D E a x a a B F D E ax a x a a a =--=--?=-+-+--= ，，，，，，． 因此，无论E 、F 在何位置均有11B F D E ⊥．

（2）()()1

10AC a a a EC a x a =-=- ，，，，，，()10FC x a = ，，，若1AC ⊥面1C EF ，则()2

20

0aa x a a

x a ?--=??-=??得0a =矛盾，故不存在点E 、F ，使1AC ⊥而1C EF ．

G

y x

z B A

E

C

F D

A 1

B 1

C 1

D 1

题5解析图

（3）12

2624C CEF a a a V x -????=--=?? ???????

． 当2

a

x =

时，三棱锥1C CEF -的体积最大，这时，E 、F 分别为BC 、CD 的中点．连接AC 交EF 于G ，则AC EF ⊥，

由三垂线定理知：1C G EF ⊥．

则1C GC ∠是二面角1C EF C --的平面角． 由于11244GC AC a CC a =

==，，则11tan 22CC C GC GC

∠==， 即二面角1C EF C --的大小为arctan 22． 8.6 空间直线的方向向量和平面的法向量

基础练习

1．用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理：

已知直线l 垂直平面α内两条相交直线a 、b ，求证：直线l 垂直平面α．

证明：设直线l 、a 、b 的方向向量分别为n 、a 、b

， 则对平面内任意一条直线c ，设其方向向量为c

．

因为a 、b 不平行，由平面向量唯一分解定理可知存在x y ，满足：c xa yb =+ ．

则()

000n c n xa yb xn a yn b ?=?+=?+?=+=

，所以直线l c ⊥．

2．如图8-59．在长方体1111ABCD A B C D -中124AD D D AB ===，，求二面角1B AC D --的平面角大小．

D 1

C 1B 1A 1

D C B

A

x

z y

图 859

解：如图8-59，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系

则()200A ，，，()240B ，，，()040C ，，，()1002D ，，易知，

平面ABC 的一个法向量为()1001n =

，，， 设平面1D AC 的一个法向量为()2n x y z =

，，． 则()240AC =- ，，，()1202AD =-

，，

2210

2402200n AC x y x z n AD ??=-+=?????-+=?=?

??

． 取1y =则22x z ==，，

即()2212n =

，，，则此时两个法向量同时远离平面，因此二面角的平面角θ与法向量的夹角β互补．

而121222cos 133

n n n n β?==

=??

，所以2

πarccos 3θ=-． 3．如图8-60所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2AB =，E 是PB 的中点．DP 与AE

夹角的余弦值为

33

．（1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标．（2）在平面PAD 内是否存在一点F ，使EF ⊥平面PCB ？

E

C B

A D

P

x

z y 图 860

解：（1）以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设()002P m ，，．则()200A ，，，()220B ，，，()020C ，，，()11E m ，，．

从而()()11002AE m DP m =-=

，，，，，．

2223

cos 322DP AE m DP AE DP AE m m ?==

=+

，，得1m =． 所以E 点的坐标为()111，，．

（2）由于点F 在平面PAD 内，故可设()0F x z ，，，由EF

⊥平面PCB 得：

0EF CB ?= 且0EF PC ?=

，即

()()11120001x z x ---?=?=，，，，； ()()11102200x z z ---?-=?=，，，，．

所以点F 的坐标为()100，，，即点F 是DA 的中点时，可使EF ⊥平面PCB ． 8.7 空间向量在度量问题中的应用 能力提高

1．如图8-67，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=?，14AD =，点P 是1AD 上的动点．

D 1C 1

B 1

A 1

P

D

C

B

A 图 867

（1）试判断不论点P 在1AD 上的任何位置，是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？并证明你的结论． （2）当P 为1AD 的中点时，求异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值． （3）求1PB 与平面11AA D 所成角的正切值的最大值．

解：（1）由于11A B ⊥平面11AA D ，则都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ． （2）建立空间坐标系解题，异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值为

6

4

． （3）11A PB ∠为1PB 与平面11AA D 所成角．所以1PB 与平面11AA D 所成角的正切值的最大值为

23

．

2．如图8-68．正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE △是等腰直角三角形，45AB AE FA FE AEF ==∠=?，，．

45°

M

P

B

A

C

D

F

E

图 868

（1）求证：EF ⊥平面BCE ．

（2）设线段CD ，AE 的中点分别为P ，M ．求证：PM ∥平面BCE ． （3）求二面角F BD A --大小的余弦值．

解：因ABE △等腰直角三角形，AB AE -，所以AE AB ⊥． 又因为平面ABEF 平面ABCE AB =，所以AE ⊥平面ABCD ． 所以AE AD ⊥即AD 、AB 、AE 两两垂直；如图建立空间直角坐标系，

（1）设1AB =，则1AE =，()010B ，

，，()100D ，，，()001E ，，，()110C ，，． 由于45FA FE AEF =∠=?，，则90

AFE ∠=?，从而11022F ?

?- ???，，，11022EF ??=-- ??

? ，，，

()011BE =- ，，，()100BC = ，，．

于是11

00022

EF BE EF BC ?=+-=?= ，，则EF BE EF BC ，⊥⊥．

由于BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，BC BE B = ，则EF ⊥平面BCE ．

（2）11001022M P ????

? ?????，，，，，，从而11122PM ??=-- ??

? ，，

于是111111

1000222244PM EF ?????=--?--=+-= ? ??

??? ，，，，．

则PM EF ⊥，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥平面BCE ．

（3）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设()1n x y z = ，，，()110BD =- ，，，31022BF ??

=- ??

? ，，

11

00n BD n BF ??=???=?? 即031

022

x y y z -=???-+=??． 取1y =，则13x z ==，，从而()1113n =

，，．

取平面ABD 的一个法向量为()2001n =

，，， 121212

3311

cos 11111n n n n n n ?==

=??

、， 3．如图8-69，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱的长度都是2，M 是BC 边的中点，问：在侧棱1CC 上是否存在点N ，使得异面直线1AB 和MN 所成的角等于45?？

C 1

B 1

A 1

M N

C

B

A

图 869

解：以A 点为原点，建立如题3解析图所示的空间右手直角坐标系A xyz -． 因为所有棱长都等于2，所以()000A ，，，()020C ，，，(

)

310B ，，，(

)

1

312B ，，，

33022M ??

? ???

，，．点N 在侧棱1CC 上，

可设()()0202N m m ，，≤≤，

则(

)

13131222AB MN m ??=

=- ? ?

??

，，，，，，于是122AB = ，21MN m =+ ，121AB MN m ?=- ． 如果异面直线1AB 和MN 所成的角等于45?，

那么向量1AB 和MN 的夹角是45?或135?，而12

121

cos 221

AB MN m AB MN AB MN m ?-==

??+

，，所以22122

221

m m -=±

?+． 解得3

4

m =-，这与02m ≤≤矛盾．

即在侧棱1CC 上不存在点N ，使得异面直线1AB 和MN 所成的角等于45?．

题3解析图

z y

x

A

B

C N

M

A 1

B 1

C 1

4．如图8-70，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，602ABC PA AC a PB PD a ∠=?====，，，点E 在PD 上，且21PE ED =∶∶．

H

G P

E D

C

A

图 870

（1）证明PA ⊥平面ABCD ．

（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．

（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论． 解：（1）证明：因为底面ABCD 是菱形．60ABC ∠=?，所以AB AD AC a ===，在PAB △中，由22222PA AB a PB +==，知PA AB ⊥．同理，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ．

（2）作EG PA ∥交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ．知EG ⊥平面ABCD ．作G H A C ⊥于H ，连接EH ，

则EH AC ⊥，EHG ∠即为二面角θ的平面角．

又21PE ED =∶∶，所以13EG a =，2

3

AG a =，3sin 603GH AG a =?=． 从而3

tan 303

EG GH θθ===?，． （3）以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴．建立

空间直角坐标系如题4解析图．由题设条件，相关各点的坐标分别为()31

000022A B a a ??- ? ???，，，，，，31022C a a ?? ? ???，，，

()

00D a ，，，

()2100033P a E a a ?

? ?

?

?，，，，，．所以

21033AE a a ??= ??

? ，，，

31

022AC a a ??= ? ???

，，，

()00AP a =

，，，

31

22PC a a a ??=- ? ???

，，，

3122BP a a a ??=- ? ??? ，，．设点F 是棱PC 上的点，31

22PF PC a a a λλλλ??==- ? ??? ，，，01λ<<，则 3131

2222BF BP PF a a a a a a λλλ????=+=-+- ? ? ? ????? ，，，， ()()()31

11122a a a λλλ??=-+- ? ???

，，． 令12BF AC AE λλ=+

得 ()()()112233

1221

1212

23113a a a a a a a λλλλλλλ?-=

??

?+=+???-=??

，，

．221

13λλλλλλλ?

?-?

?

?

?

?-=??

１１１＝，４１＋＝＋３．， 解得12113

222

λλλ==-=，，．

即12

λ=时，1322BF AC AE =-+

．

亦即，F 是PC 的中点时，BE 、AC 、AE

共面．

又BF ?平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BC ∥平面AEC ．