第十一章习题解答

第十一章习题解答Last revision on 21 December 2020

第十一章微分方程

习题11－1

1．说出下列各微分方程的阶数：

（1）2

0dy dy x y dx dx ??

+-= ???

；（2）220d Q dQ Q L R

dt dt C -+=；（3）220xy y x y '''''++= ；（4）()d (76)0x y y x y dx ++-=；（5）2sin y y y x '''++= ；（6）

2d sin .d ρ

ρθθ

+= 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解：（1）22 , 5;xy y y x '==

（2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-

（3）221

, ;y x y y x

''=+=

（4）21221 , sin cos .2

x x d y y e y C x C x e dx +==++

解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ?=?

∴25y x =是方程的解．

（2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得

∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解．（3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 2

21x x x

≠+ ∴1

y x

是方程的解．（4）∵ 21212211

cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程，得 121sin cos 2x C x C x e ?

?--++ ??

?121sin cos 2x x C x C x e e ??++= ???

∴121

sin cos 2

x y C x C x e =++是方程的解．

3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：（1）()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= （2）()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==

解：（1）在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导，得移项后即得 ()22 x y y x y '-=-

故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解．

（2）在 ln()y xy =两边对x 求导，得11 ()y y y xy xy x y '''=

+=+，即 y

y xy x

'=-

()()

()

2322

122 y xy x y y xy xy y y

xy xy xy

y xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''=

---，

代入微分方程，得

故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解．

4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件：（1）2220 , |1;x x xy y C y =-+==

（2）()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== （3）1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解：（1）∵ 0 |1x y ==

∴222 =0011C -+=

即 221x xy y -+=

（2）()122 x y C C x C e '=++，由00 |0 , |1x x y y =='==，得 1120

C C C =??+=?

∴12 =0 , =1C C ， x y xe =

（3）12sin cos x C t C t ωωωω'=-+，由00| 1 , |t t x x ω=='==，得 12

C C ωω=??=?

∴12 =1 , =1C C ， cos sin x t t ωω=+

5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

（1）曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方；

（2）曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分. 解：（1）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)x y 处切线的斜率为y '，由条件知

2y x '=，此即为所求曲线的微分方程.

（2）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)P x y 处法线的斜率为1

y -'

，由条件知线段PQ 中点的横坐标为0，所以Q 的坐标为(,0)x -，则有即所求曲线的微分方程为 20yy x '+=．

习题

11－2

1．求下列微分方程的通解：

（1）ln 0;xy y y '-= （2）23550;x x y '+-= （3

'= （4）2();y xy a y y '''-=+ （5）cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += （6）2d (4)d 0.y x x x y +-= 解：（1）原方程可写为ln 0dy

y y dx

-=，分离变量，得

d 1,ln y dx y y x = 两端积分，得 11

ln dy dx y y x

? 即 ln ln ln ln ln y x C Cx =+=，亦即ln y Cx = ，故通解为Cx y e = （2）原方程可写为

235dy x x dx =+，两端分离变量并积分，得 23

()5dy x x dx =+??，故通解为2311

y x x C =++ .

（3）原方程可写为

dy dx =,两端分离变量并积分，得=，故

通解为arcsin arcsin y x C =+.

（4）原方程可写为21dy ay dx x a

=--,两端分离变量并积分，得211a

dy dx y x a =--??

，故通解为

ln 1a x a C y

=+-+. （5）分离变量，得

cos cos d d sin sin y x y x y x =- ，两端积分，得 cos cos d d sin sin y x

y x y x

=-?? ， 1ln sin ln sin y x C =-+，1ln sin sin x y C ?=，故通解为sin sin x y C = ，其中1C C e =±为任意常数. （6）分离变量，得，

24dx dy

x x y

积分，得 1

144dy dx x x y ??+= ?-??

??，即 4ln ln(4)ln ln x x C y --+=，故通解为4(4)x y Cx -=． 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）20,|0;x y x y e y -='== （2）0cos sin d cos sin d ,|;4

x x y y y x x y π

===

（3）2

sin ln ,|

;x y x y y y e π=

'== （4）0cos d (1)sin d 0,|;4

x y x e y y y π

-=++==

（5）2d 2d 0,|1;x x y y x y =+== （6）220(+)d ()d 0,| 1.x xy x x x y y y y =+-==

解：（1）分离变量并积分得， 2y x e dy e dx =?，即通解为 21

y x e e C =+，

由条件0|0x y ==，得112C =+， 12C =，故满足初始条件的特解 21

(1)2y x e e =+ ．

（2）分离变量并积分得，sin sin d d cos cos y x

y x y x

?，即 ln(cos )ln(cos )ln y x C -=--，亦即通解为cos cos y C x =，

由条件

0|4

x y π

，得 cos

cos 04

C π

=，C =

，

故满足初始条件的特解 cos 0x y -=．（3）分离变量并积分得，1

csc ln dy xdx y y

?，即ln(ln )ln(tan )ln 2x y C =+，亦即通解为ln tan 2x

y C =，

由条件2

x y e π=

=，得ln tan 4

e C π

=，1C =，故满足初始条件的特解ln tan

y =．（4）分离变量并积分得，tan 1x x

e ydy dx e

-=+??，通解为(1)sec x

e y C +=，

由条件0|4

x y π

，得C =(1)sec x e y +=．

（5）分离变量并积分得，12

dy dx y x

=-??，通解为2x y C =

由条件2|1x y ==，得4C =，故满足初始条件的特解24x y =．（6）分离变量并积分得，2211y x dy dx y x

=+-?

?，通解为22

(1)(1)x y C -+= 由条件0|1x y ==，得2C =，故满足初始条件的特解22(1)(1)2x y -+=． 3．求下列齐次方程的通解：

（1）0;xy y '-= （2）d ln ;d y y

y x x

= （3）22()d d 0;x y x xy y +-= （4）332()d 3d 0;x y x xy y +-=

（5） ;y x

y e x '=+ （6）(12)d 21d 0.x x

y y x e x e y y ??

++-

= ??

解：（1）原方程可写为dy y dx x =y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u u x x x =+

代入原方程，得d

d u

u x

u x +=+1dx x =，

积分得 ln(ln ln u x C =+，即u Cx =，

亦即

y Cx x +=

，原方程的通解2y Cx =．

（2）原方程可写为

d ln d y y y x x x =，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u

u x x x

=+ 代入原方程，得d ln d u

u x

u u x

+=，分离变量积分得 ()11ln 1du dx u u x =-?

?，即 ln(ln 1)ln ln u x C -=+，亦即 ln 1y Cx x =+，原方程的通解ln 1y

Cx x

=+．（3）原方程可写为

d d y y x x x y =+，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u

u x x x

=+ 代入原方程，得d 1d u u x

u x u +=+，分离变量积分得 1

udu dx x

=??，即 22ln u x C =+，，将y

u x =代入上式得原方程的通解22(2ln )y x x C =+．

（4）原方程可写为22d d 33y y x x x y =+，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u

u x x x

代入原方程，得2d 1

d 33u u u x x u

+=+，分离变量积分得 233112u du dx u x =-??，即 311ln(12)ln 2u x C --=+，亦即 3221C u x =-，其中1C C e =，将y

u x =代入上式，

得原方程的通解332x y Cx -=．（5）令y u x =

，则 ,y ux =d d ,d d y u y u x x x '==+代入原方程，得d d u u

u x e u x

+=+，即 ln u

Cx --=，将y

u x

=代入上式，得原方程的通解ln 0y

x e Cx -+=．

（6）原方程可写为12d d 12x

y x

x e

y x y

e ??- ???=+，令x u y =，则 ,x u y =d d ,d d x u u y y y =+ 代入原方程，得d 2(1)dy 12u u

u e u u y e -+=+，分离变量积分得 1212u u e du dy u e y +=-+??，即 ln(2)ln ln u u e y C +=-+，亦即 (2)u y u e C +=，将y

u x

代入上式，得原方程的通解2x y

x ye C +=

4．求下列线性微分方程的通解：

（1）

d ;d x y

y e x

-+= （2）232;xy y x x '+=++ （3）tan sin 2;y y x x '+= （4）d 32;d ρ

ρθ

（5）ln d (ln )d 0;y y x x y y +-= （6）2d (6)20.d y

y x y x -+=

解：（1）原方程是()1P x =，()x Q x e -=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方

程的通解为()

()dx dx

x x x

x x y e e e dx C e

e dx C e x C -----????=?+=?+=+ ???

??．

（2）原方程可化为123y y x x x '+

=++，它是1()P x x =，2

()3Q x x x

=++的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为

()1

1221332dx dx x x y e x e dx C x x dx C x x -

????????=++?+=+++?? ???????

??213232C x x x =+++；（3）原方程是()tan P x x =，()sin 2Q x x =的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为

tan tan 2sin 2sin 2cos cos 2cos cos xdx xdx x y e x e dx C x dx C C x x x -??????=?+=+=- ? ?

????

??．（4）原方程是()3P θ=，()2Q θ=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得

333332223333

d d C C C

e e d e e dx e θθθθθρθ---???

???=?+=+=+ ? ??

?? ，

即原方程的通解为 332Ce θρ-=+．（5）原方程可化为1=ln dx x dy y y y +，它是1()ln P y y y =，1

()Q y y

=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得

2ln ln 11111ln ln 2ln 2ln 22dy dy

y y y y C C C x e e dy ydy y y y y y -

????????=?+=?+=+ ? ? ? ??????

???，即原方程的通解为22ln ln x y y C =+．

（6）原方程可化为3=2dx x y dy y --，它是3()P y y =-，()2

Q y =-的一阶非齐次线性方程.由通解公式得

323

11222dy dy y y y y x e e dy C y dy C y Cy y -????????=-?+=-?+=+?? ? ?????????

??． 5．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）0d tan sec ,|0;d x y y x x y x =-== （2）21d 4,| 2 ;d x y y

x y x x

=+== （3）

cos 2

d cot 5,|4;d x x y y x

e y x π=+==- （4）0d 38,| 2 d x y

y y x =+==.

解：（1）由公式可得一阶线性微分方程通解为

()tan tan 11sec sec cos cos cos xdx

xdx y e x e dx C x xdx C x C x x -???

???=?+=?+=+????????

由0|0x y ==得0C =，故特解为cos x

y x

. （2）由公式可得一阶线性微分方程通解为

由1

2x y

==得1C =，故特解为3

1y x x

=+. （3）由公式可得一阶线性微分方程通解为由2

4x y

π=

=得1C =，故特解为cos 151sin x y e x

??=

-+??，即 cos sin 51x y x e +=. （4）由公式可得一阶线性微分方程通解为

由0| 2 x y ==得23C =-，故特解为32

(4)3x y e -=-.

6．求下列伯努利方程的通解：

（1）2d (cos sin );d y y y x x x +=- （2）33d 22 .d y

xy x y x

+= 解：方程两边同除以2y ，得2

1d cos sin d y

y y x x x --+=- 令1z y =

，2

d d y dz y x dx -=-，则原方程变为sin cos dz

z x x dx

-=-，故

将1z y =

代入上式，得原方程通解为1sin x Ce x y =-.1

sin x x Ce y

=-+；（2）方程两边同除以3y ，得323d 22d y

y xy x x

--+= 令21z y =

，3d 1d 2y dz y x dx -=-，则原方程变为344dz xz x dx

-=-，故将21z y =

代入上式，得原方程通解为222212

x y Ce x -=++． 7．用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：（1）

2d ();d y

x y x

=+ （2）d 11;d y x x y =

+- （3）(ln ln );xy y y x y '+=+ （4）212x y y e +-'=-．

解：（1）令u x y =+，则1dy du dx dx =-，从而原方程可化为21du u dx

=+，分离变量积分得2

1du

dx u

=+??

，即arctan x u C =+. 将u x y =+代入，得原方程的通解为arctan()x x y C =++，即tan()y x x C =-++．

（2）令u x y =-，则

1dy du dx dx =-，从而原方程可化为1

du dx u -=，分离变量积分得

udu dx =-??，即2112

x u C +=. 将u x y =-代入，得原方程的通解为2

()2x y x C -=-+ （其中12C C =）．

（3）令u xy =，则2

,du

u dy

dx y x dx x

-==

，从而原方程可化为21()ln du u u u x u x dx x x x -+=，分离变量积分得ln dx du

x u u =??，即 ln ln ln(ln )x C u +=，亦即C x u e =，将u xy =代入，得

原方程的通解为1

C x y e x

=．

（4）令21u x y =+-，则2dy du y dx dx '==-，从而原方程可化为u du e dx

=，分离变量积分得u

dx e du -=??

，即u e C x -=-. 将21u x y =+-代入，得原方程的通解为12ln y x C x =---．

8．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：

（1）(cos cos )d (sin sin )d 0x y x y y y x x ++-=；（2）2()0x y dx xdy --=；（3）22()0x y dx xydy ++= ；（4）22(1)20e d e d θθρρθ++=．解：（1）这里(,)sin sin , (,)cos cos P x y y y x Q x y x y x =-=+，

cos sin P Q y x y x

??=-=??，所以（1）是全微分方程．取000 , 0x y ==，根据公式0

0(,)(,)(,)x y

x y u x y P x y dx Q x y dy =+??，有

于是全微分方程的通解为sin cos x y y x C +=．. （2）这里2(,),(,)P x y x y Q x y x =-=-,于是有

1P Q

y x

??=-=??，所以（2）是全微分方程．取000 , 0x y ==，根据公式0

0(,)(,)(,)x

y x y u x y P x y dx Q x y dy =+??，有

于是全微分方程的通解为3

x xy C =+．

（3）这里22(,),(,),P x y x y Q x y xy =+=2P y y ?=?，Q y x

?=?，显然P Q y x ??≠??，所以（3）不是全微分方程．

（4）22(1)20e d e d θθρρθ++=．这里22(,)1,(,)2P e Q e θθρθρθρ=+=，显然

22P Q

e θθρ

??==??，所以（4）是全微分方程，取000 , 0ρθ==，根据公式0

0(,)(,)(,)u P d Q d ρθ

ρθρθρθρρθθ=+?? ，有

于是全微分方程的通解为2(1)e C θρ+=．

9．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于

2x y +.9． 2(1)x y e x =--．

解：设曲线的方程为()y y x =，由题意知2y x y '=+，0|0x y ==，于是

()

()222122dx dx x x x x x

y e x e dx C e xe dx C e x e C Ce x ---??????=?+=+=-++=-- ?????

??由0|0x y ==，得2C =，于是所求曲线的方程为2(1)x y e x =--

10．质量为lg （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比.在10s t =时，速度等于50cm/s ，外力为24g cm/s ?，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少

解：已知t F k v =?，并且10t s =时50/v cm s =，4/F g cm s =?，故10

450k =?，从而

20k =，因此20t F v =?.又由牛顿定律F ma =，即201t dv

v dt

?=?，故20vdv tdt =，积分得

21102

v t C =+，即v ，再代入初始条件得2250C =，因此所求特解为

v 60t s =时269.3(/)v cm s ==≈．

11．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量0R 的一半.试求镭的量R 与时间t 的函数关系. 解：设比例系数0λ>，则由题意可得

dR R dt λ=-?.分离变量积分可得dR dt R

λ=-??，即1ln R t C λ=-+，从而1()C t R C e C e λ-=?=，因为0t =时0R R =，所以0R C =，即0t R R e λ-=?.又因为1600t =时02R R =

，所以1600002R R e λ-=?，从而ln 21600

λ=，因此镭的量R 与时间t 的函数关系为ln 2

0.0004331600

00t t R R e

R e --==，.时间以年为单位．

12．设有连结点(0,0)O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点

(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程.

解：曲线弧OA 的方程为()y y x =，由题意得两边求导得11()()()222y x y x xy x x '-

-=，即4y

y x

'=-，令y u x =，则 ,

y ux =d d ,d d y u u x x x =+上式可化为4du

x dx

=-，分离变量积分得4ln u x C =-+.将y

u x

=代入，得 4ln y x x Cx =-+.

由于(1,1)A 在曲线上，因此(1)1y =，代入得1C =，从而曲线弧OA 的方程为

(14ln )y x x =-，01x <≤；当0x =时0y =.

13．设有一质量为m 的质点作直线运动.从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为1k ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为2k ）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系. 解由牛顿定律知12dv m

k t k v dt =-，即21k

k dv v t dt m m

+=，因此由0t =时0v =得122k m C k =，故222

111222

22k

t t t m m

m k k m k m v e te e k k k -??=-+ ???，即质点运动的速度

与时间的函数关系为211222

(1)k

t m k k m

v t e k k -=--．

习题11－3

1.求下列各微分方程的通解：

（1）229

0;4

d y x dx -= （2）;x y x

e '''=

（3）2(1)2;x y xy '''+= （4）22

0.1y y y

'''-

=- 解：（1）原方程变形，得229

d y x dx =，

对所给方程接连积分两次，得2

198

y x C '=

+， 3123

y x C x C =++ ，这就是所求的通解.

（2）对所给方程接连积分三次，得 2123(3)x y x e C x C x C =-+++. 这就是所求的通解.

（3）令(),y p x y p ''''==，原方程可化为2(1)2x p xp '+=，即

21dp xdx p x =+，积分得21ln ln(1)ln p x C =++，亦即21(1)p C x =+，21(1)y C x '=+，所以

就是原方程的通解．

（4）令()y p y '=,则dp

y p dy ''=，原方程化为2201dp p p dy y -=-，即201dp p p dy y ??-=??-??，当0p =时，得原方程的一个解为y C =，它不是通解；当0p ≠时，约去p ，分离变量积分，得2(1)p y C -=，即2

(1)dy C

p dx y =

=-，从而2(1)y dy Cdx -=，积分得312(1)y C x C -=+，其中13C C =，因此原方程的通解为312(1)y C x C -=+．

2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）111, |||0 ;x x x x y e y y y ===''''''====

（2）00| 1 , | 2 ;x x y y y =='''=== （3）2000 , ||0 ;y x x y e y y =='''-=== （4）31110 , | 1 , |0 x x y y y y =='''+===．

解：（1）1+C x x y e dx e ''==?，由1|0 x y =''=得，1C e =-，即x y e e ''=-，

2()+C x x y e e dx e ex '=-=-?，由1|0 x y ='=得，20C =，即x y e ex '=-，

23()+C 2x x e y e ex dx e x =-=-?，由1|0 x y ==得，32

C =-，

故222x e e

y e x =-- 为原方程的所求特解．

（2）令()y p y '=，那末 dp y p

dy ''=，得dp

=，即pdp =，积分得3

21122

p y C =+，由00 | 1 , |2x x y y =='==得10C =，从而342y p y '==±，又

y ''=，可知34

2y y '=，即34

2y dy dx -=，积分得14

242y x C =+，

由0 | 1 x y ==，得24C =，所以4

112y x ??

=+ ???为所求特解．

（3）令()y p y '=，那末dp y p

dy ''=，得20y dp

p e dy

-=，即2y pdp e dy =，积分得2211122

p e C =+，由00

0x x y y

=='==得11

C =-

，从而22()1,y y e y ''=-=

dx =±

y dx -=±，积分得2arcsin y e x C --=±+，由0

0x y

==，得

22C π

，所以sin()cos 2

y e x x π

-=±+=，原方程特解为lnsec y x =．（4）令y p '=,则dp y p

dy ''=，原方程变为31dp

y p

=-，从而3pdp y dy -=-，积分得2121p C y =

+，即2

1()y C y

'=+，由111,

0x x y y =='

==得11C =-，从而2

()1y y

，即y '=

dx =±

，积分得2x C =±+，再由1

1x y ==得

21C =

，因此所求特解为(1)x =±-，即221(1)y x -=-

亦即222x y x +=

，或y =

（舍去y =，因为1

1x y ==）．

3．试求y x ''=的经过点(0,1)M 且在此点与直线12

y =+相切的积分曲线. 解：由积分曲线经过点(0,1)M 知，01x y ==，又由积分曲线在点(0,1)M 与直线12

x y =

+相切知，012

x y ='

. 对方程y x ''=积分得，2

112

y xdx x C '==

+?，利用条件012x y ='=

，从而11

C =，即211

22y x '=+，再积分得，3262x x y C =++，利用条件0

1x y

==，从而21C =，

于是3162

x x

y =++．

4．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的

（1）2cos , ;x x （2）22,5 ;x x （3）22,3;x x e e （4）2sin ,1 ;x （5）cos 2,cos sin ;x x x （6）2

,;x x e xe （7）ln ,2ln ;x x （8）1212,().x x e e λλλλ≠ 解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）线性无关．

因为：对于定义在区间I 上的两个函数1()y x 与2()y x ，如果1()y x 与2()y x 在区间I 上线性相关，则存在两个不全为0的常数12 , k k ，使得对于?x I ∈恒有

1122()()0k y x k y x +=成立，即

12()()y x y x 或21()()y x y x 恒为常数．因而如果12()()y x y x 或21()

()

y x y x 均不为常数，则称1()y x 与2()y x 在区间I 上一定线性无关.

（1）、（4）、（5）、（6）、（8）中的两个函数之比均不为常数，所以这五组函数均线性无关.相反地（2）（3）（7）线性相关．

5．验证21x y e -=及62x y e -=都是方程8120y y y '''++=的解，并写出该方程的通解. 解：因为21x y e -=，22112,4x x y e y e --'''=-=，

62x y e -=，66226,36x x y e y e --'''=-=，

所以21x y e -=和 62x y e -=都是已知方程的解.

由于24162x

x x y e e y e

--==不为常数，因此1y 与2y 线性无关，所给方程的通解为

2612x x y C e C e --=+.

6．验证1sin y x =及2cos y x =都是方程0y y ''+=的解，并写出该方程的通解. 解：因为1sin y x =，11cos ,sin y x y x '''==-，

2cos y x =，22sin ,cos y x y x '''=-=-，

所以1sin y x =何2cos y x =都是已知方程的解.

由于

tan y x y =不为常数，因此1y 与2y 线性无关，所给方程的通解为12sin cos y C x C x =+.

7．求下列微分方程的通解：

（1）3100;y y y '''--= （2）40;y y '''-= （3）20; y y ''+= （4）8160;y y y '''++=

（5）22d d 690;d d x x

x t t

-+= （6）220y y y '''++=．

解：（1）特征方程为23100r r --=，解得122,5r r =-=，故方程的通解

2512x x y C e C e -=+．

（2）特征方程为240r r -=，特征根为120,4r r ==，故方程的通解为412x y C C e =+．

（3）特征方程为220r +=，解得1,2r =，故方程的通解

12y C C =+．

（4）特征方程为28160r r ++=，特征根为124r r ==-，故方程的通解为

412()x y C C x e -=+．

（5）特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==，故方程的通解为312()t x C C t e =+．

（6）特征方程为2

220r r ++=，特征根为1,221i 21

r -±=

=-±?，故方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+．

8．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）00680,|1,|6;x x y y y y y ==''''-+=== （2）00440,|2,|0;x x y y y y y ==''''++=== （3）00340,|0,|5;x x y y y y y ==''''--===- （4）006130,|3,|1x x y y y y y ==''''++===-．

解：（1）特征方程为2680r r -+=，特征根为122,4r r ==，故方程的通解为

2412x x y C e C e =+

代入初始条件00|1,|6x x y y =='==，得12121246C C C C +=??+=?，解之得121

2C C =-??=?，从而所求特解

为242x x y e e =-+．

（2）特征方程为24410r r ++=，特征根为121,3r r ==，故方程的通解为

312x x y C e C e =+

代入初始条件002,0x x y y =='==，得12126310C C C C +=??+=?，解之得12

2C C =??=?，从而所求特

解为342x x y e e =+．

（3）特征方程为2340r r --=，特征根为121,4r r =-=，故方程的通解为

412x x y C e C e -=+

代入初始条件000,5x x y y =='==-，得1212

045C C C C +=??-+=-?，解之得121

1C C =??=-?，从而所求特解为4x x y e e -=-

（4）特征方程为2

6130r r ++=

，特征根为1,232i r =

=-±，故方程的通解为312(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+

代入初始条件00|3,|1x x y y =='==-，得1123321C C C =??-+=-?，解之得12

4C C =??=?，从而所求

特解为3(3cos 24sin 2)x y e x x -=+．

9．写出下列各微分方程的待定特解的形式（不用解出）：（1）355;x y y y e '''-+= （2）3;y y '''-=

（3）2276(521);x y y y x x e '''-+=-- （4）369(1)x y y y x e '''-+=+．

解（1）特征方程为2

350r r -+=，解得1,2331

i 2122

r ±=

=±?．又因为()5x f x e =，1λ=是特征根，故待定特解的形式为*x y ae =．（2）特征方程为20r r -=，特征根为120,1r r ==．

又因为()3f x =，0λ=是特征根，故待定特解的形式为*y ax =．（3）特征方程为2760r r -+=，特征根为1216r r ==．

又因为22()(521)x f x x x e =--， 2λ=不是特征根，故待定特解的形式为

*22()x y ax bx c e =++．

（4）特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==．

又因为3()(1)x f x x e =+，3λ=是特征根，故待定特解的形式为*23()x y x ax b e =+． 10．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：（1）sin 20, |1, |1;x x y y x y y ππ=='''++=== （2）00325, |1, |2;x x y y y y y ==''''-+=== （3）004, |0, |1;x x x y y xe y y =='''-=== （4）0045, |1, |0x x y y y y ==''''-===．

解：（1）特征方程为210r +=，解得1,2i r =±，对应齐次方程的通解为

12cos sin y C x C x =+

因()sin 2f x x =-，i 2i αβ±=±不是特征根，所以设原方程的特解为

*cos 2sin 2y A x B x =+，

*()2sin 22cos 2y A x B x '=-+，*()4cos 24sin 2y A x B x ''=--，代入原方程得

3cos23sin 2sin 20A x B x x --+=，

30 , 310A B -=-+=，

即10,3A B ==， *1

sin 23

y x =．故原方程的通解为

又122

sin cos cos 23

y C x C x x '=-++，代入初始条件1,1x x y

y π

=='

==，得

12211 1,2313C C C C =-??

?=-=-?=+??

，

从而所求特解为11

cos sin sin 233

y x x x =--+．

（2）特征方程为210r +=，解得121,2r r ==，对应齐次方程的通解为因()5f x =，0λ=不是特征根，所以设原方程的特解为*y A =，代入原方程，得 25A = 即 52A =

，*5

y =．故原方程的通解为又2122x x y C e C e '=+，代入初始条件00 |1, |2x x y y =='==，得

1212

517 5,2222C C C C C C ?

++=??=-=?

?+=?，从而所求特解为275

522

x x y e e =-++．

（3）特征方程为2320r r -+=，解得121,1r r ==-，对应齐次的通解为而()4x f x xe =-，1λ=是特征方程的单根，故可设原方程的特解为代入原方程整理得

比较系数,得1,1A B ==-，所以*(1)x y x x e =-．故原方程的通解为将条件0

0,1x x y

y =='

==代入,得1212121

1 , 111

C C C C C C +=??==-?

--=-?，从而所求特解为2()x x x y e e x x e -=-+-．

（4）特征方程为240r r -=，解得120,4r r ==，对应齐次方程的通解为412x y C C e =+ 因()5f x =，0λ=是特征方程的单根，所以设原方程的特解为*y Ax =，

代入原方程，得 45A -= 即 54A =-，*5

y x =-．故原方程的通解为