秦九韶算法

《秦九韶算法》教学设计

福建省厦门外国语学校黄宁昌

一、教学内容概述

本节课内容是《普通高中新课程标准实验教科书·数学》人教版必修三第一章第三节第二课时的内容，是在学生学习了算法的概念、程序框图、基本逻辑结构、基本算法语句等内容的基础上学习的，旨在让学生进一步理解算法思想、熟练程序框图的画法、练习三种逻辑结构、熟悉程序语言的编写。是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生在学习中国古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。

本节课的教学重点和难点

重点：秦九韶算法的特点及其程序设计（理解秦九韶算法的思想。）

难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计（用循环结构表示算法步骤。）

二、学习目标分析

1.知识与技能目标：

了解秦九韶算法的计算过程，秦九韶算法的特点、程序框图和程序语言。并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2.过程与方法目标：

模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。先从特殊的多项式求值方法体现降幂可以简化计算，然后给出两种一般

的求多项式的值的方法，引导学生探究这两种方法需要的次数，然后引导学生与秦九韶方法比较发现秦九韶方法的优越性，进而引出“秦九韶算法”的概念，然后引导学生探究出蕴含在其中的算法思想，让学生编写算法，画程序框图，写程序语言，并在计算机上验算。在教学过程中教师指导，学生探究，讲练结合。

3.情感,态度和价值观目标

通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久，同时让学生体验民族数学成就感和荣誉感，培养学生分工合作意识，提高学习数学的热情。

三、学习者特征分析

（1）本节课的授课对象本校高一年普通班学生，学生在逻辑思维、动手推理、分工合作、学习态度等方面存在较大差异，因此在教学过程中要注意分散内容难点、注意激发学生的积极性。

（2）现在的学生计算能力较差，习惯于借助计算器计算，对于算法语言的教学还是比较有兴趣。

四、教学策略与方法分析

1.教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。通过从特殊到一般的数学思想，让学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。

2.教学手段：通过各种教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。

五、教学过程

教学过程是教法和学法的具体实践过程，根据教材的特点和学生实际情况，设计采用“分析算法—画程序框图—上机尝试”的模式，安排以下五个环节以完成本节教学：

一、创设问题引入新课

问题1：计算出下列各式的值

（1）

（2）

（3）

设计意图：因式分解起到降次的作用。

问题2：计算出下列各代数式的值

（1）当x=99时，

（2）当x=19时，

设计意图：让学生体会降次会给计算带来简便

问题3：用两种方法求多项式当时的值。并比较它们的算法次数

算法1：

算法2：，

传统的计算方法共需要10次乘法运算，5次加法运算。

采用降次计算当时的值仅需5次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了5次乘法运算。

设计意图：比较两种算法再次体会降次可以减少计算次数，简化计算。

二、解决问题研探新知

问题4：怎样求一般的多项式当时的值？

求的值时，

即

则

要求值只需要做n次乘法，n次加法。这种算法是由南宋大数学家秦九韶在他的《数书九章》中首先介绍，我们把这种计算方法叫做秦九韶算法。

介绍南宋大数学家秦九韶

秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。主要成就:1247年完成了数学名著《数学九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。

美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

秦九韶算法的特点、作用和数学思想

1.秦九韶算法的特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。

2.秦九韶算法的作用：解决了运算次数的问题，大大减少了乘法运算的次数，提高了运算效率。

3.秦九韶算法体现的数学思想：把高次转化为一次的化归思想方法。算法具有通用的特点，可以解决一类问题。

三、应用举例深化算法

例1 已知一个5次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当时的值。

思考：在利用秦九韶算法计算n次多项式当时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？

设计意图：当某项系数为0时要注意的问题，同时加强对秦九韶算法的理解。

练习：已知5次多项式，求当x=5时f(x)的值。

另外可以用列表法简化计算过程

例2 设计利用秦九韶算法计算n次多项式

当时的值的程序框图及程序语言。

第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数和的值

第二步：将v的值初始化为,将i的值初始化为n-1

第三步：输入i次项的系数

第四步：,

第五步：判断i是否大于或等于0,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.程序框图

程序语言

思考：上述循环结构属于哪种结构？（当型）课后请同学们用另一种循环结构（直到型）画出程序框图并编写程序语言。

四、巩固提高上机验算

练习：设计求5次多项式，当x=5时f(x)的值的算法语言，并进行上机验证。

设计意图：通过上机验算让学生体会算法的优越性

五、归纳小结延伸拓展

1 、通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步的认识？

（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题;

（2）解决一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法。

2、秦九韶算法的特点及揭示的算法思想。

通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。把高次转化为一次的化归思想方法。

3、作业布置：

（1）课本第47页练习2、第50页习题1.3 A组第2题，B组第2题。

（2）请同学们用另一种循环结构画出秦九韶算法的程序框图并编写程序语言。

（3）（选做）探究课本第47页内容完成习题1.3 A组第4题

4、板书设计：

1.3秦九韶算法

2、例题练习展示

1、秦九韶算法的特点及

步骤

设计思想：本节课的设计遵循了教学的基本原则；注重了对学生思维的发展；重视探究、重视交流、重视过程；体现了“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质结合”，将对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。

附：

秦九韶生平简介：

秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。安岳修建的秦九韶纪念馆，恢宏壮观，雄伟气派。秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在以下方面： 1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数学九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田

域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。” 2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777―1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。 3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W?G?Horner，1786―1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490―1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦（Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推

计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义.

《秦九韶算法》教学设计点评

《秦九韶算法》这节课通过探究减少多项式求值中加法和乘法的运算次数，通过观察、发现、思考、分析、归纳提出猜想等活动进而引出“秦九韶算法”，了解秦九韶算法算法的特点、程序框图和程序语言，进一步了解算法的概念，掌握自然语言、程序框图和程序语言的应用。

从知识结构、学生的认知结构展开，精心设计“发现和解决问题”的过程，注重讲背景、讲过程、讲应用，引导学生主动学习、勇于探索，充分挖掘和体现了本课内容所蕴含的知识技能、思想方法，特别是留出时间给学生在计算机上验算，提高学生的学习兴趣，体现计算机对生产生活的应用。

教师用浓缩语言对秦九韶先生的生平介绍，进一步了解中国古代数学家对数学的贡献，活跃了课堂气氛，学生受到数学文化的熏陶，并产生探索新知识的欲望；以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。整节课教学思路符合教学内容实际和学生实际，内容安排简洁精致有层次，层次脉络较清晰，书写规格，思维严谨，过程设计紧凑有序可操作。达到课堂教学的效果

秦九韶算法习题

1.3算法案例---秦九韶算法 1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（） A 、164 B 、3767 C 、86652 D 、85169 2、利用秦九韶算法计算多项式1876543x f(x )23456++++++x x x x x ＝当x=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（） A 、6，6 B 、5，6 C 、5，5 D 、6，5 3、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在6=x 的值，写出详细步骤。 4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果s 表示（） A 、3210a a a a +++的值 B 、300201032x a x a x a a +++的值 C 、303202010x a x a x a a +++的值 D 、以上都不对

5、已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++, 如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，（1）计算30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值需要多少次运算？（2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…， n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？（3）若采取秦九韶算法，设a i =i+1，i=0，1，…，n ，求P 5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）

海伦公式

海伦公式我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。编辑本段证明过程证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√

[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a

高中数学例题：秦九韶算法

高中数学例题：秦九韶算法例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++．（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．【答案】1.2214024 【解析】 v 0=0.00835， v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35， v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753， v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506， v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012， v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．【总结升华】秦九韶算法的原理是 01(1,2,3,,) n k k n k v a v v x a k n --=??=+=?．在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这

种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．举一反三：【变式1】用秦九韶算法求多项式764 =++++当x=2时 f x x x x x ()85321 的值．【答案】1397 【解析】 765432 =++?++?+?++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ． v0=8， v1=8×2+5=21， v2=21×2 4-0=42， v3=42×2 4-3=87， v4=87×2+0=174， v5=174×2+0=348， v6=348×2+2=698， v7=698×2+1=1397，所以，当x=2时，多项式的值为1397．【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432 f x x x x x x x =++++++ ()654327 在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（） A．10 B．9 C．12 D．8 【答案】 C

海伦公式

海伦公式初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：海伦公式：三角形的面积 ()()()c p b p a p p S ---= 其中：a 、b 、c 分别是三角形的三边长，()c b a p ++= 2 1 证明（1）：由余弦定理可知：b a c b a C 2cos 2 22-+= ，由此得出由 ()c b a p ++= 2 1 可得： p c b a 2=++ ， ()c p c p c c b a c b a -=-=-++=-+2222 ， ()a p a p a c b a c b a -=-=-++=++-2222 ， ()b p b p b c b a c b a -=-=-++=+-2222 ，因此： ()()()()()()()c p b p a p p b a c b a c b a c b a c b a b a C ---=+-++--+++= 221 sin ()() ()() ()()()()()() c b a c b a c b a c b a b a b a b a c b a c b a b a b a b a c b a c b a b a b a c b a b a c b a C C C C +-++--+++= --?-+=-+-? -++=??? ? ??-+-???? ??-++=-+=-=21 2222222121cos 1cos 1cos 1sin 2 222222222 2222222

由三角形面积公式 C b a S sin 2 1 = 即得 ()()()c p b p a p p S ---= 上述证明用到了三角函数 C sin 、C cos ，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。 BT 是 △ABC 的AC 边上的高，点 T 为垂足。记 c AB =，b AC =，a BC =，h BT =，d CT =（见上图）。证明（2）：若 △ABC 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有 ()()() ? ??=--=-2122 22 22h d b c h d a 由（1）式得出 22h a d -= ，带入（2）式： ( )2 2 2 22 h h a b c =-- - 。展开，即得 ( ) 2222 2222h h a b h a b c =---+- ，由此式解得 ( )()()()()2 2 2 2 22222 444b c b a c b a c b a c b a b c b a b a h -++-++-++=-+-= ，类似于证明（1），得出 ()()()2 24b c p b p a p p h ---= ，由于三角形面积 h b S 2 1 = ，由上式即得 ()()()c p b p a p p S ---= 。 C A B T 图1 T B A C 图2

海伦公式的推导和应用

海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。证明（1）：与海伦在他的着作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ）：2证明（我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上

秦九韶算法实验报告

《数值计算》实验报告学院：软件学院专业：软件工程班级：2班实验名称秦九昭算法姓名爱上辰学号 1402120217 成绩实验报告内容要求：一.实验目的编写秦九韶算法程序，并用该程序计算多项式623)(35+-+=x x x x f 在1.1=x ，2.1，3.1的值。二.实验原理秦九韶算法实际上就是多项式的化简。根据秦九昭算法，变换成计算机语言，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,这样，求n 次多项式f(x)的值就转化为求n 个一次多项式的值。三.实验环境 Visual Studio 2013，C++语言四.实验过程（编写的程序） #include"iostream" using namespace std; void main() { int n; float a[100], x, v[100];//存放系数 cout << "请输入项数:" << endl; cin >> n; cout << "请输入X 的值:" << endl; cin >> x; for (int i = 0; i < n; i++)//对每项系数进行赋值 { cout << "请输入第" << i + 1 << "项的系数:" << endl; cin >> a[i]; } v[0] = a[0];//秦九昭算法第一次赋值 for (int j = 1; j< n;j++)//开始秦九昭算法的循环 v[j] = v[j-1] * x + a[j]; cout << "当x=" << x <<"时，f(x)="<< v[n-1] <

海伦-秦九韶公式

海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式： △＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c) 这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。他注重实际应用。最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c 表示三角形面积、大斜、中斜、小斜所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△2＝q, △=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 分解因式得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =S(S-b)(S-a)(S-c) 由此可得： △=√[s(s-b)(S-a)(S-c）其中S=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以现在有人把这一公式称为“海伦－秦九韶公式”。

秦九韶算法

课题：§ 1.3 秦九韶算法一.教学任务分析： (1) 在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例2----秦九韶算法，让学生经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用 (2) 通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握秦九韶算法. (3) 通过秦九韶算法所蕴涵的算法思想，培养学生利用算法解决问题的意识.提高逻辑思维能力.发展有条理的思考与数学表达的能力. 教学重点：理解秦九韶算法求一元多项式的值的方法教学难点：把秦九韶算法的方法转换成程序框图与程序语言秦九韶算法秦九韶算法举例秦九韶算法分析---程序框图及程序语言巩固练习，小结、作业四.教学情境设计： 1?创设情景，揭示课题我们在初中已经学过了多项式的有关知识，主要解决求多项式的值，那里是把多项式看作代数式，在这里我们用函数的观点考察多项式.因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值.那么：怎样求多项式f (x) = x5 x4x3x2 x 1,当x = 5时的值？教师引导学生交流讨论解决，归纳学生的解法，对解法的运算效率进行比较分析. 通过统计乘法和加法的运算次数来衡量算法的“好坏”

作法1：把x=5代入f (x),计算各项的值，然后把它们加起来一共作了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算? 作法2：先计算X2,然后依次计算X2 x,(x2 x) x,((x2 x) x) x的值，这样每次都可以利用上一次的计算结果，即多项式变形为f(X)= x2(1 ? x(1 x(1 x))) x 1 一共作了4次乘法运算,5次加法运算? 显然作法2比作法1少了6次乘法运算，提高了运算效率?这种算法就叫秦九韶算法? 2. 秦九韶算法 (1) 秦九韶：(公元1202-1261年)南宋，数学家。他在1247年(淳佑七年)著成『数书九章』十八卷?全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」〔一次同余组解法)和「正负开方术」〔高次方程的数值解法)等有十分深入的研究? (2) 秦九韶算法 f(x) =a n x n- a n4x n_1■ a n

高中数学程序框图之秦九韶算法教案高一必修

秦九韶算法一、教学目标：使学生掌握秦九韶算法的基本思想方法，并会设计其程序框图，且会将其转化为程序语句。二、德育目标：通过学习使学生了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。三、教学重点和难点：程序框图的设计。四、教学过程： 1、引入：秦九韶简介：秦九韶（公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。其中的”大衍求一术”﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。在古代＜孙子算经＞中载有”物不知数”这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种。即f(x)=1+x+0.5x 2+0. 16667x 3+0.04167x 4+0.00833x 5 在x=-0.2的值 2、新授：（1）问题的转化：先由学生直接代入计算的结果；然后再代入 f(x)=1+(1+(0.5+（0.16667+（0.04167+0.00833x ）x ）x)x)x 计算并把两算法进行比较，显然后者的计算量要少的多。因此计算类似问题可以用逐次提取的办法，然后利用递推公式： ???+==--k n k k k a x v v a v 10 进行计算，于是可以利用循环结构设计出算法。（2）程序及框图：

人教版高中数学必修三(教案)1.3 秦九韶算法

第二课时 1.3.2 算法案例---秦九韶算法教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用. 教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计. 教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计. 教学过程：一、复习准备： 1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数. 2. 设计一个求多项式5432 x=时的值的 ()254367 =--+-+当5 f x x x x x x 算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5 x=代入多项式进行计算即可）提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.) 二、讲授新课： 1. 教学秦九韶算法： ①提问：在计算x的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算2x，然后依次计算2x x?，2() ??，2 x x x ???的值， x x x x (()) 这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算） ②结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果. ③更有效的一种算法是：将多项式变形为：， 5432 =--+-+= ()254367 f x x x x x x 依次计算2555 ?-=， ?+=，10856534 ?-=，55421 ?-=，2153108 ?+= 534572677 故(5)2677 f=. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强调格式） ④练习：用秦九韶算法求多项式432 x=时的 =+-++当4 f x x x x x ()2351 值.

《算法案例：秦九韶算法》教学教案

秦九韶算法学习目标 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。学习重难点重点：1.秦九韶算法的特点 2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计难点：1.秦九韶算法的先进性理解 2.排序法的计算机程序设计学法与学习用具学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。 2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。学习用具：电脑，计算器，图形计算器学习设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式 1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。（二）研探新知

1.秦九韶计算多项式的方法 01210 123120 1322110 12211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=-------------- 例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。解：略思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？（2）在利用秦九韶算法计算n 次多项式当0x x =时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？练习：利用秦九韶算法计算15.033.016.041.083.0)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式 0122334455)(a x a x a x a x a x a x f +++++=当0x x =时的值的程序框图。解：程序框图如下：

《海伦-秦九韶公式》说课稿

海伦-秦九韶公式教学内容：人教版数学八年级下册第十六章“阅读与思考”内容教学对象：八年级学生教材分析：本节内容是初中数学八年级下册第十六章，是阅读与思考部分中的内容，《初中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，二次根式等相关知识，它是三角形面积公式的延续与拓展。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生――在完成《初中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式与秦九韶公式进行转换，并会有简单应用，让同学们从中体会到数学之美。学情分析：八年级学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次根式、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式等知识。教学目标： 1、知识与技能：（1）了解秦九韶公式与海伦公式历史及意义。（2）会对秦九韶公式与海伦公式进行转换，理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（3）会用海伦-秦九韶公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：（1）经历转换秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。教学重难点：

1、重点：转换秦九韶海伦公式的过程 2、难点：海伦-秦九韶公式的应用教学准备：多媒体课件教学方法：引导探究、实例运用。教学过程：一、回顾旧知引出新知 1、回顾三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式。板书：1/2*底*高 2、已知三边a，b，c，求三角形面积（1）已知三边具体值你会求三角形面积吗？（2）适时出示海伦公式设计意图：直接以古希腊数学家海伦发现的公式作为问题背景，让学生对S 作出猜想．S是三角形的周长还是面积? 教师适时引导学生根据公式的特点，作出合理的猜想．例如可以从等式的右边根号里量纲的特征，开根号的结果是边长的平方，应该和面积有关；还可以根据对称性，使根号里面的每一条边地位平等，培养学生敏锐的观察能力，发展学生的合情推理和概括能力．二、介绍海伦公式与秦九韶公式的历史与意义（PPT） 1、海伦公式的历史与意义、古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地得出答案。

必修3-1-9 秦九韶算法

秦九韶算法编号:必修3-1-9 内容:P37～39 学习目标：理解秦九韶算法,能够利用秦九韶算法求多项式函数的值,通过秦九韶算法案例的学习,进一步体会算法思想. 学习重点：秦九韶算法求多项式函数的值. 导学过程: 一.复习回忆: 1.辗转相除法:m=n×q＋r ,(0≤r＜n) 被除数和除数的最大公约数也是除数和余数的最大公约数. gcd(m,n)=gcd(n,r) 2.更相减损术: a-b=c,(a＞b) 被减数与减数的最大公约数也是减数与差的最大公约数. gcd(a,b)=gcd(b,c) 3.辗转相除法和更相减损术,是求两个正整数的最大公约数的优秀算法,我们将算法转化为程序后,就可以由计算机来执行运算,实现了古代数学与现代信息技术的完美结合. 二.动手实践: 例1 例1.已知函数f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1, (1)求f(-1); (2)求f(2). 解:(1)f(-1)=8×(-1)7+5×(-1)6+3×(-1)4+2×(-1)+1 =-8+5+3-2+1=-1. (2) ∵f(x)=8x7+5x6+0.x5+3x4+0.x3+0.x2+2x1+1.x0 ∴f(x)=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1 记v0=8,v1=8x+5,则 v1=v0x+5=8×2+5=21, v2=v1x+0=21×2+0=42, v3=v2x+3=42×2+3=87, v4=v3x+0=87×2+0=174, v5=v4x+0=174×2+0=348, v6=v5x+2=348×2+2=698, v7=v6x+1=698×2+1=1397, 故f(2)=v7=1397. 小结:求多项式函数的值: (1)缺项添零;(2)依次提公因式;(3)由内向外逐层计算. 三.自主学习: P37-39 四.理解学习: P37-39秦九韶算法 1.把多项式函数该写成一次式的形式: f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=(a n x n-1+a n-1x n-2+…+a2x+a1)x+a0 =((a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2)x+a1)x+a0=……… =(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0. 2.对应f(x) =(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,由内向外逐层计算一次多项式的值, 其算法步骤为: 第一步,计算v1=a n x+a n-1. 第二步,计算v2=v1x+a n-2. 第三步,计算v3=v2x+a n-3. …第n步,计算v n=v n-1x+a0. 3.秦九韶算法:P37-38 上述求多项式函数值的算法称为秦九韶算法.该算法大大提高了运算效率. 五.理解学习: P38思考用秦九韶算法求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,当x=x0时的值, 需要多少次乘法运算?多少次加法运算? 秦九韶算法把运算次数由至多 2)1 ( n n次乘法运算和n次加法运算,减少为至多n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.

海伦公式

海伦公式一一探求任意三角形面积一、内容和内容解析 1.内容海伦公式 2. 内容解析本节课和学生一起探究海伦公式的推导过程，感受海伦公式带来任意三角形面积求法的便利性，以及古今外人们对海伦公式的研究，感受知识的世界性。基于以上分析，本节课的教学重点是：海伦公式的推导及研究问题的数学方法。二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 认识海伦公式并能熟练应用。 (2) 经历海伦公式的证明过程，了解研究问题的数学方法，感受文化无墙，学术无边。 2. 目标解析目标(1)是让学生会用海伦公式求任意知三边的三角形面积，感受公式带来的便利性。目标(2)是学生经历海伦公式的证明过程，学会从“特殊”到“一般”研究问题的基本方法，以及对海伦公式历史背景的了解，具有民族自豪感。三、教学问题诊断分析海伦公式是书本上的阅读材料，学生对海伦公式知其然而不知其所以然。故通过推导证明，加深学生对海伦公式的理解。但由于海伦公式的证明设计到很多字母的运算，基础较差的学生难以完成，故需要老师指导。本节课的教学难点是：海伦公式的证明四、教学过程设计 1.提出问题在古希腊，土地是农民的生命，土地面积划分一直困扰着当时人们，因土地划分不均匀发生很多暴力冲突事件。这时，出现了一位智者，他说：土地形状大多是不规则多边形，而任意多边形可分割成三角形。只要告诉我三角形的三边长，我就能够快速求出三角形面积。你知道他是如何做到的吗？ 2.探究新知 Rt A ABC的三边长为，求面积等腰△ ABC三边长为5,5,6 ，求面积 3,4,5 般厶ABC三边长为5,6,7 特殊

问题：已知△ ABC三边为a,b,c，求△ ABC的面积 (用含a,b,c的字母表示)

海伦公式几种证明方法

已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21 c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。一种方法是用解三角形基本的知识解决。已知三角形的三边为c b a 、、，设)(2 1 c b a p ++=，求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=. 证明：由正弦定理C ab S sin 21= 可得）（C b a C b a S 2222222cos 14 1sin 41-==，又由余弦定理2 2222222222 4)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有）（（222222222 4141b a c b a b a S -+-=16412 22222）（c b a b a -+-= ]4[1612 22222）（c b a b a -+-= ]2(2[(161222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16 1b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2 ) (2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-?-+?-+?++= 2 )2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++?-++?-++?++=

(完整版)海伦秦九韶公式

【教学设计】人教版数学九年级上册《海伦─秦九韶公式》【教学对象】九年级学生【教材分析】本节内容是初中数学的第21章，是阅读与思考部分中的内容，《初中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生——在完成《初中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。【学情分析】初三学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的勾股定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。【教学目标】 1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；

（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。【教学难点、关键】海伦公式的本质。【教学方法】引导探究、实例运用。【教学过程设计】一、回顾旧知 1、三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，板书：1/2*底*高 2、复习课本例题。复习已知三边的具体值求三角形面积的方法。

秦九韶算法及其例题

秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。在西方被称作霍纳算法（Horner algorithm或Horner scheme），是以英国数学家威廉·乔治·霍纳命名的. 把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式： f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0] =(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0] =((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0] =...... =(......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0]. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v[1]=a[n]x+a[n-1] 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v[2]=v[1]x+a[n-2] v[3]=v[2]x+a[n-3] ...... v[n]=v[n-1]x+a[0] 这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。（注：中括号里的数表示下标）结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。 [编辑本段]意义该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极大的意义，用于减少CPU运算时间。

第2课时案例2秦九韶算法

第2课时案例2 秦九韶算法导入新课思路1（情境导入）大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课新知探究提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. （3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法. 应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值： v0=5； v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3 451.2;