三角函数图像公式大全
幕函数的图形
指数函数的图形
I
I
f /
2
V≈
f
-2 -I O 2 X
y =
对数函数的图形
y[
I
l
I
-
2
1
J r
/
2 -a
y/
/ y= 2τ f
/
丿
.
-2 -O] Λ
_
T ―
一「■
2
/
y
Llnr
三角函数的图形
J=SiItT I I
1^,1-
\
l≡C0‰≡Γ
∏ I i
O JΓ?MJr -IiF?-? .O草×
X
I _■—
2JΓ X
-I
函数y=s inx y=Cθsx y=ta nx y=cotx
定义域R R
{X I X ∈ R 且
π
X ≠ k ττ+ ,k ∈ Z}
{X I X ∈ R 且
X ≠ k ∏∈I Z}
值域
π
[-1 , 1] x=2k ∏+ —时
2
y max = 1
JI
x=2k ∏一时y min=-1
2
C-ι,ι ]
x=2k ∏时y max = 1 x=2k ∏
+ 时y min =-1
R
无最大值无最小值
R
无最大值无最小值
周期性周期为2π周期为2π周期为∏周期为∏奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数
单调性
ππ
在[2k∏--,2k ∏+ ] 上
2 2
都是增函数；在
π 2
[2kπ+ —,2k ∏+ ∏]上
2 3
都是减函数(k ∈Z)
在［2k∏-∏, 2k∏］上都是
增函数；在［2k∏, 2k∏
+∏］上都是减函数(k ∈Z)
ππ
在(k ∏—, k ∏+—)内都
2 2
是增函数(k ∈Z)
在(k ∏, k ∏+ ∏∣
内都是减函数(k ∈Z)
各三角函数值在各象限的符号
Sin α? CSC αCOS α? SeC αtan αCot α
反三角函数的图形
反三角函数的性质
名称
反正弦函数
反余弦函数 反正切函数 反余切函数
定义
π π
y=sinx(x ∈〔-—,— 〕
2 2
的反函数，叫做反正弦
函数，记作 x=arsiny
y=cosx(x ∈〔 0,
∏ )
的反函数，叫做反 余弦函数，记作 x=arccosy
π
y=tanx(x ∈ (-—,
2
π
—)的反函数，叫做反
2
正切函数，记作 x=arctany
y=cotx(x ∈ (0, ∏的) 反函数，叫做反余切 函数，记作 x=arccoty
理解
arcsinx 表示属于 π π [ ------ ]
2,
2
且正弦值等于X 的角
arccosx 表示属于 C 0, ∏],且余弦值
等于X 的角
arctanx 表示属于 π JI
(-—,—),且正切值等
2 2
于X 的角
arccotx 表示属于(0,
∏且余切值等于X 的
角
性 质
定义域 [-1,门
C -1, 1] (-∞), +∞) (-∞), +∞)
值域 π π [-—,—]
2 2
C 0, n]
π
π
(
—,—)
2
2
(0, ∏)
单调性
在〔-1,1〕上是增函数 在C -1 , 1 ]上是减 函数
在(-∞, +∞)上是增数
在(-∞, +∞)上是减函 数
奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(- X)= ∏arcco SX
arctan(-x)=-arctanx
arccot(- X)=冗arccot X
周期性
都不是同期函数 恒等式
sin(arcsinx)=x(x ∈ [-1, 1 ] )arcsin(sinx)=x(x ∈ π
π
C-——】)
2 2
cos(arccosx)=x(x ∈
C -1,1])
arccos(cosx)=x(x ∈
C 0, π )
tan(arctanx)=x(x ∈
R)arctan(tanx)=x (X ∈ π π
(- — , — ))
2 2
cot(arccotx)=x(x ∈ R)
arccot(cotx)=x(x ∈ (0, ∏ ))
互余恒等式
π
arcsinx+arccosx= —(X ∈[ -1 1 ])
2 ，
π
arctanx+arccotx= — (X ∈ R)
2
2
1
/
-1
0 1 ；
/
1
'2
I^rctanv
三角函数公式 和差化积
两角和公式 a b a -b
cos — 2 2
sin( A+B) = Sin AcosB+cosAs inB sin(,A-B) = Sin ACOSB-COSASi nB cos(A+B) = cosAcosB-si nAs inB COS(A-B) = cosAcosB+si nAs inB tanA tanB tan( A+B)= 1 - tanAta nB Sina-sinb=2cos a __b Sin a -b
2
tan( A-B)= tan A -ta nB 1 tan Ata nB a + b a — b
cosa+cosb = 2cos cos —
2 2
a b . a —b
COSa-COSb = -2sin Sin
2 2
sin(a b)
tan a+ta nb=
cosacosb
cot(A+B)=
cotAcotB -1
cotB cotA COt(A-B) =
COtACOtB 1 cotB — cotA
倍角公式 X C A 2tanA tan2A = L 1 -tan A Sin 2A=2Si nA?CosA 2 2 2 2 Cos2A = Cos A-Sin A=2Cos A-1=1-2sin A 积化和差
1
SinaSinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1
cosacosb = - [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 Sin acosb = - [si n(a+b)+si n(a-b)] 2 1 cosas inb = - [si n(a+b)-si n(a-b)]
2
三倍角公式 3
sin3A = 3si nA-4(si nA) 3
cos3A = 4(cosA) -3cosA π π
tan3a = tana? tan( +a) ? tan( — -a) 3 3 诱导公式
半角公式 sin(-a) = -Sina cos(-a) = cosa π
sin( —-a) = cosa
2
Sin(A )
= 1 -cosA 2 π cos(--a) = Sina
2
π
sin(- +a) = cosa
2
COS(A )= 1 cosA
?
2 tan(A )= 1 - cosA ,1 cosA π
cos(—+a) = -Sina
2
sin( -a) = Sina cos( π) = -cosa sin( π +a)-sina cos( π +a)-cosa
“A 、 ■ 1 + cosA COt(Ar 仁贰
tgA=ta nA
=
Sin a
cosa 丄 / A 、 1 -cosA Sin A
tan()=
=
2
Si nA
1 +cos A
实用标准
2
公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin (2k ∏÷ α = Sin α cos ( 2k π÷ α) = cos α tan (2k π÷ α) = tan α cot ( 2k π÷α) = cot α
公式二
设α为任意角，π+由勺三角函数值与α的三角函数值之 间的关系：
sin ( π÷α) = -Sin α cos ( πτk α = -cos α tan ( π÷ α = tan α cot (π÷o) = cot α
其它公式
a?slna+b?cosa=(a 2 b 2) × sin(a+c) [其中 tanc=b
]
a
a?Sin(a)b?cos(a) = (a 2 b 2) × cos(a-c)
a
[其中 tan(C)=]
b
1+s in(a) =(Sin a +cos a )2
2 2 a a 2
1-si n(a) = (S in - cos —)
2 2
其他非重点三角函数 公式三
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
Sin (- α) = -Sin α cos ( - α) = cos α tan (- α) = -tan α cot ( - α) = - cot α
公式四
利用公式二和公式三可以得到 间的关系：
sin (∏ α) = Sin α cos ( T- Ca = -cos α
tan (∏ a) = -tan a cot ( T- a) =
-cot a
a
cosh(a)=
tg h(a)=?a l
cosh(a)
csc(a)= 1
Sin a sec(a)= cosa
双曲函数 a -a e -e Sin h(a)=
2
公式五
利用公式-和公式三可以得到 间的关系：
Sin (2 ∏ a) = -Sin a cos ( 2 π a) = cos a tan (2 ∏ a) = -tan a cot ( 2 π a) = -cot a
2 π- a 与a 的三角函数值之
万能公式 C a 2ta n
2
Slna=— 1 +(ta n α
)2
2 a 2
1 - (ta n —) COSa= —
a 2
1 (tan _)
2 C 丄 a 2ta n
2
tana=—
a 2
1 - (ta n _)
∏ a 与a 的三角函数值之