分式方程的解法及应用(基础)导学案+习题【含答案】

分式方程的解法及应用（基础)

【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程．

２. 会列出分式方程解简单的应用问题.

【要点梳理】

要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

要点诠释：（１)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知数．

(2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母

系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方

程是整式方程.

(３)分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程．

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母,去掉分母．在去分母这一步变形时,有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤:

(1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母,化成整式方程(注意：当分母是多项式时，先分解因式,再找出最简公分母)；

(2)解这个整式方程，求出整式方程的解；

(3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解.

要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零,对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根．

要点诠释：（１)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方

程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程

不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根.

(2）解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方程

过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没

有错误的前提下进行的．

要点四、分式方程的应用

分式方程的应用主要就是列方程解应用题．

列分式方程解应用题按下列步骤进行：

(１）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；

(２）设未知数;

(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

（４)解这个分式方程;

（5）验根,检验是否是增根;

(6)写出答案.

【典型例题】

类型一、判别分式方程?

1、下列方程中，是分式方程的是（ ).

A ．3214312x x +--= B.124111

x x x x x -+-=+-- C.21305x x += Ｄ.x a x a b +=,（a ,b 为非零常数） 【答案】B;

【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母,但分母都是常数;D 项中的方程尽管含有分母,但分

母中不含未知数,由定义知这三个方程都不是分式方程,只有B 项中的方程符合分式方程的定义.

【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．

类型二、解分式方程 2、 解分式方程(1）

10522112x x +=--；（2)225103x x x x -=+-． 【答案与解析】

解：（1）10522112x x

+=--, 将方程两边同乘(21)x -,得

10(5)2(21)x +-=-.

解方程，得74x =

． 检验：将74x =

代入21x -，得52102x -=≠． ∴ 74

x =是原方程的解． （2）225103x x x x

-=+-, 方程两边同乘以(3)(1)x x x +-,得5(1)(3)0x x --+=.

解这个方程，得2x =．

检验:把2x =代入最简公分母,得2×5×1＝１0≠０．

∴ 原方程的解是2x =．

【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项.特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根.

举一反三:

【变式】解方程：

21233x x x

-=---. 【答案】

解:21233x x x

-=---， 方程两边都乘3x -,得212(3)x x -=---,

解这个方程，得3x =,

检验:当3x =时，30x -=，

∴ 3x =是增根,

∴ 原方程无解．

类型三、分式方程的增根

【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3(1）】

3、m 为何值时,关于x 的方程223242

mx x x x +=--+会产生增根？ 【思路点拨】若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-,然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．

【答案与解析】

解： 方程两边同乘(2)(2)x x +-约去分母,

得2(2)3(2)x mx x ++=-．整理得(1)10m x -=-.

∵ 原方程有增根，∴ (2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-.

把2x =代入(1)10m x -=-,解得4m =-．

把2x =-代入(1)10m x -=-,解得6m =．

所以当4m =-或6m =时,方程会产生增根.

【总结升华】处理这类问题时,通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程,即可求解.

举一反三:

【变式】如果方程11322x x x

-+=--有增根，那么增根是_＿______． 【答案】2x =；

提示:因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x -=或20x -=可得2x =.所以增根是2x =．

类型四、分式方程的应用

4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种２棵树,甲班种60棵树所用的时间与乙班种6６棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树?

【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种６0棵树所用的时间与乙班种6６棵树所用的时间相等.

【答案与解析】

解:设甲班每小时种x 棵树,则乙班每小时种()2x +棵树． 由题意可得

60662

x x =+，解这个方程,得20x =． 经检验20x =是原方程的根且符合题意.

所以222x +=(棵）． 答:甲班每小时种２0棵树，乙班每小时种22棵树.

【总结升华】解此题的关键是设出未知数后,用含x 的分式表示甲、乙两班种树所用的时间． 举一反三: 【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工１个月完成总工程的13

,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?

【答案】

解：设乙队单独施工1个月能完成工程的

1x ，总工程量为1． 根据工程的实际进度，得1111362x

++=． 方程两边同时乘以6x ，得236x x x ++=.

解这个方程得1x =.

检验：当1x =时，6x ＝６≠０，

所以1x =是原分式方程的解.

由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队施工速度快．

答：乙队施工速度快.

【巩固练习】

一.选择题

1．下列关于x 的方程中,不是分式方程的是( ) Ａ．

11=+x x ? B ．4132=+x x Ｃ．52433=+x x ? D ．6

516-=x x 2.解分式方程

1

2112-=-x x ,可得结果( ）． A.1x =?Ｂ.1x =-?C ．3x = Ｄ.无解

３.要使54--x x 的值和x

x --424的值互为倒数，则x 的值为( )． Ａ.0?Ｂ.-1 Ｃ．21 D ．1 4．已知4

321--=+-y y x x ，若用含x 的代数式表示y ，则以下结果正确的是( )． A.310+=x y Ｂ.2y x =+?C.310x y -= D ．72y x =--

５．若关于x 的方程x

k x --=-1113有增根,则k 的值为( )． A.３ B ．1 C ．0 Ｄ.－1

6.完成某项工作，甲独做需a 小时,乙独做需b 小时，则两人合作完成这项工作的8０%,所需要的时间是（ ).

A ．)(54b a +小时

B ．)11(54b

a +小时 C.)(54

b a ab +小时? D.b

a a

b +小时 二.填空题

７. 当x =＿____＿时，分式3x 与26x

-的值互为相反数. 8．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应_＿＿＿__天.

9．x =＿____＿时,两分式

44-x 与1

3-x 的值相等． 10．当a ＝______时，关于x 的方程4

532=-+x a ax 的根是1. 11．若方程11

4112=---+x x x 有增根，则增根是_＿____． 12．关于x 的方程11=+x a 的解是负数,则a 的取值范围为_＿__＿__＿____. 三.解答题

13. 解下列分式方程：

（1)11322x x x -=---；(2)257233212x x x x x -=+-+--；（3)2210121x x x x -+=-+-．

14. 甲、乙两地相距５0km ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城.已知汽车的

速度是自行车速度的２.5倍，Ｂ中途休息了0．5小时还比A 早到2小时,求自行车和汽车的速度.

15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1,这个两位数被个位数字除时,商是8,余数是2，求这个两位数．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C;

【解析】C 选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.

2. 【答案】D ；

【解析】1x =是原方程的增根.

３. 【答案】B ；

【解析】由题意442154x x x x --?=--，化简得：2415

x x -=-解得1x =-．

4. 【答案】C;

【解析】由题意()()()()1423x y x y --=+-，化简得：310y x =-，所以选C.

5. 【答案】A ；

【解析】将1x =代入31x k =-+，得3k =．

６. 【答案】Ｃ;

【解析】由题意

4114()55ab a b a b

÷+=?+,所以选C.

二.填空题

7. 【答案】18； 【解析】

3206x x

+=-,解得18x =. 8. 【答案】222a m m

+； 【解析】原计划能供应a m 天，现在能供应2a m +天，则少供应222a m m +天. 9. 【答案】-８；

【解析】

4341

x x =--，解得8x =-. 10.【答案】173-; 【解析】将1x =代入原方程，得85512a a +=-，解得173

a =-

. １１.【答案】1x =;

【解析】原方程化为:()22141x x +-=-，解得1x =，经检验1x =是增根. 12.【答案】1a <且a ≠0；

【解析】原方程化为110a x x a =+=-<，,解得1a <.x ≠-1，解得a ≠0.

三.解答题

1３.【解析】

解:(１）方程的两边都乘2x -,得113(2)x x =---.

解这个整式方程，得x ＝２．

检验:当x ＝2时,x -2＝0，所以2是增根,所以原方程无解．

（2）方程两边同乘(2)(1)x x --约去分母，得572(2)3(1)x x x -=-+-． 整理，得5757x x -=-.这个式子为恒等式.

检验:当1x =，2x =时，(2)(1)0x x --=，

所以1x =和2x =是增根．

因此，原方程的解是1x ≠且2x ≠的任何实数．

(3）方程两边同乘(2)(1)(1)x x x ++-，

得(2)2(1)(1)(2)(1)0x x x x x x +-+-+++=． 解此方程，得45x =-

. 检验：把45x =-

代入(2)(1)(1)x x x ++- 得4442110555??????-+?-+?--≠ ? ? ???????

， 所以原方程的解是45

x =-. 1４．【解析】

解:设自行车的速度为/xkm h ，汽车的速度为2.5/xkm h ，

由题意,

50500.522.5x x

=++, 解方程得：12550 6.25x =+

12x =

经检验，12x =是原方程的根，

2.530x =.所以自行车的速度为１2/km h ，汽车的速度是３0/km h . 答:自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h . １５.【解析】

解：设十位上的数字为x ,则个位上的数字为1x +, 则：

10(1)281

x x x ++-=+． 解方程得:3x =．

经检验:3x =是原方程的根.

所以个位上的数字为:1x +=3+1＝４． 所以这个两位数是：3×１0＋４=34．

答：这个两位数是３4．