热力学习题解答

习题9

9-1. 质量为0.02kg 的氦气(视为理想气体)，温度由o

17C 升为o

27C ，若在升温过程中， (1)体积保持不变；(2)压强保持不变；(3)不与外界交换热量。

求：上述各个过程中，气体内能的改变、吸收的热量和气体对外界所做的功。

解：摩尔数mol 0.02

50.004

M M ν=

==，温度增量271710K T ?=-= (1)因为体积不变，所以：0=A

58.3110623J 22

Q E R T ?ν?===???=；

(2) 等压过程： J 4171031.85=??=?=?=T R V p A ν；

J 6231031.852

23=???=?=?T R E ν

J 1004.14176234?=+=+?=A E Q ；

(3)绝热过程，0=Q ，J 6232

=?=?T R E ν，J 623-=?-=E A 。

9-2. 一定量的单原子分子的理想气体装在封闭的气缸里，此气缸有可活动的活塞(活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气)。已知气体的初压强11atm p =，体积11L V =，现将气体在等压下加热直到体积为原来的两倍，然后在等容下加热，到压强为原来的2倍，最后作绝热膨胀，直到温度下降到初温为止。

试求：(1)在p V -图上将整个过程表示出来；(2)在整个过程中气体内能的改变；(3)在整个过程中气体所吸收的热量；(4)在整个过程中气体所做的功。

解：(1) 据题意：

533111.0110Pa,110m ;p V -=?=? 5332211.0110Pa,2210m ;p V V -=?==? 533313222 1.0110Pa,210m ;p p V V -==??==?

14T T =。

整个过程如图。

(2)因为初态与末态温度相同，所以整个过程中气体内能的改变：0=?E ； (3)等压过程吸热，等容过程吸热：

53212112155

()()() 2.5 1.011010252J 22p p Q C T T R T T p V V νν-=-=-=-=???=

213232233()()()22V V Q C T T R T T p p V νν=-=-=-533

1.0110210303J 2

-=????=

整个过程吸热：252303555J p V Q Q Q =+=+=

(4) 因为0=?E ，A E Q +?= ；所以555J A Q ==

121p

9-3. 气缸内有3mol 理想气体，初始温度为273K T =，先经等温过程体积膨胀到原来的5倍，

然后等容加热，使其末态的压强刚好等于初始压强，整个过程传给气体的热量为4

810J Q =?。试在

p V -图上画出过程曲线，并求这种气体的绝热指数p,m V,m

C C γ=

的值。

解：设由状态1经历等温过程到状态2，再经等压过程到状态3；由题意可知：

1325V V V ==，13p p =；过程曲线如图。

等温过程吸热：42

38.31273ln 5 1.110J T V Q RT V ν==???=?；等容过程吸热：444

810 1.110 6.910J V T Q Q Q =-=?-?=?；

∵111RT V p ν=，333RT V p ν=；135V V =，13p p =；∴135T T =；

又∵311()22

V i

Q R T T i RT νν=-=；

∴4

1 6.91052238.31273

V Q i RT ν?===???；

252 1.45

i i γ++===

9-4. 理想气体系统经历图示过程由A 到D ，在此过程中气体系统吸热3

3.510J ?，计算气体系统的内能改变量。

解：过程吸热3

3.510J =?Q ，过程对外做功为过程曲线下包围的面积：

3333(1.2 2.4)1020010 4.810300102160J A ---=+???+???=

由热力学第一定律Q E A =?+，可得：

350021601340J E Q A ?=-=-=

9-5. 飞机上的多缸汽油发动机以12500rev min -?工作，曲轴每转一周，吸收3

7.8910J ?的热量，放出3

4.5810J ?的热量，燃料燃烧放热为7

4.0310J /L ?，试求：

(1)发动机连续工作一小时，将耗费多少燃料。 (2)若忽略摩擦，在这一小时内发动机做了多少功

解：(1) 发动机连续工作一小时耗费的燃料：3

2500607.891029.4L 4.0310V ????==?； (2) 曲轴每转动一周，发动机做功为：J 1031.310)58.489.7(3

30?=?-=A ；

一小时做功为：3

3.3110250060510J A =???≈?。

9-6. 双原子分子理想气体系统经历如图所示循环过程，气体需从外界吸热还是向外界放热在循环过程中，气体对外做功的大小是多少

111p

解：(1)因为经历正循环，对外做正功，所以气体从外界吸热。 (2)循环过程做功等于闭合曲线所包围的面积，

(106)(82)102

A =-?-?=41.210J ?

9-7. 有1摩尔单原子分子理想气体的循环过程如图题所示， (1) 求：气体每循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量；(2) 求：每循环一次对外做的净功；(3) 证明 a c b d T T T T =。

解： V 1=2L ，V 2=3L ，p 1= 1×105

pa ，p 2= 2×105

pa ，i =3，ν=1； (1)a b →过程和b c →过程吸热，

a b V,m b a b a 1213()()()22V i Q Q C T T R T T V p p →==-=

-=-353

210(21)10300J 2

-=???-?= b c p,m c b c b 22125

()()()22

p i Q Q C T T R T T p V V →+==-=-=-

535

210(32)10500J 2

-=???-?= 所以气体每循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量：800J V p Q Q Q =+=

(2) 每循环一次对外做的净功等于曲线所包围的面积，2121()()100J A p p V V =-?-=； (3)∵RT pV ν=，∴11V p RT a =，12V p RT b =，22V p RT c =，21V p RT d =，

22211/R V p V p T T c a =；22211/R V p V p T T d b =；∴a c b d = T T T T

9-8. 有1摩尔氦气做的可逆循环过程如图题所示，其中ab 和cd 是绝热过程，bc 和da 为等容过程，已知 116.4L V =，232.8L V =；1atm a P =， 3.18atm b P =，4atm c P =， 1.26atm d P =；试求：(1) ?,?,?,?a b c d T T T T ==== (2)c E = (3)在一循环过程中氦气所做的净功。

解：(1)由理想气体状态方程，RT pV ν=， ∴2/400K a a T p V R ==，1/636K b b T p V R ==，

1/800K c c T p V R ==，2/504K d d T p V R ==

(2)3

38.318009.9710J 22

c c i E RT ν==??=?

(3)1V,m ()()2c b c b i Q C T T R T T νν=-=-， 2V,m ()()2d a d a i

Q C T T R T T νν=-=-；

1233

()8.31(800400504636)748J 22

c a b

d A Q Q R T T T T =-=+--=??+--=

p (kPa)

(m 3

)

10 246 8 题9-6图

题9-4图

(L) 100300500 O

9-9. 有1摩尔单原子分子的理想气体的循环过程在T -V 图上如图所示，其中C 点的温度为600K c T =，试求：

(1)ab bc ca 、、各个过程吸收的热量； (2)在一个循环过程中所做的净功； (3)循环的效率。

解：i =3，ν=1，V b =V c =1L ，V a =2L ，T a = T c =600K ， a-b 过程中，T -V 成正比，所以b a b a a 300K 2

V T

T T V =

==； (1)a-b 为等压过程，

p,m 5()()2ab b a b a Q C T T R T T ν=-=

-5

8.31(300600)6232.5J 2

=??-=-； b-c 为等容过程，V,m 33

()()8.31(600300)3739.5J 22

bc c b c b Q C T T R T T ν=-=-=??-=；

c-a 为等温过程；ln 8.31600ln 23456J a ca c c V

Q RT V ν==??=；

(2) 在一个循环过程中所做的净功等于净吸收的热量，

ab bc ca 6232.53739.53456=963J A Q Q Q =++=-++；

(3)1bc ca 3739.534567195.5J Q Q Q =+=+=，循环的效率：1963=13.4%7195.5

A Q η=

9-10. 一个卡诺热机工作在两个恒温热源之间，低温热源的温度为2300K T =，高温热源的温度为11000K T =，求：(1)此热机的最大效率；(2)若低温热源的温度保持不变，要使热机效率提高10个百分点，高温热源温度需提高多少(3)若高温热源的温度保持不变，要使热机效率提高10个百分点，低温热源温度需降低多少

解：(1)707.010*********==-=-

≤T T η%； (2) 8.030011112='-

='-='T T T η，15002

.0300

1=='T K ； K 50010001500111=-=-'=?T T T ；

高温热源温度需提高500K 。

(3) 8.01000

11212='

-='-=''T T T η；K 20010002.02=?='T ；

/L V

5/10Pa

2 3 a b c

题9-7图

题9-8图

(L)

V 题 9-9图

222300200100K T T T ?'-=-=-=

低温热源温度需降低100K 。

9-11. 质量为0.028kg M =的氮气经历一个准静态过程，摩尔热容量为m 2C R =；从标准状态开

始体积膨胀为原来的4倍。求：(1)在这个过程中氮气遵循的过程方程。(2)在这个过程中氮气对外做的功，内能改变量和吸收的热量。

解：(1)因为摩尔热容量为常量，气体经历多方过程；m Pm m Vm

C C n C C -=

-7

223522-

=-；所以过程方程为：=n pV 常量，即3

pV =常量；或2

TV =常量；或3

p -=常量；

(2)3=n ，摩尔数mol 0.028

1mol 0.028

M M ν=

==，51 1.0110Pa p =?，33122.410m V --=?； 124V V =，311211321

()464

V p p p p V ===；

22111p V p V A n -=-531111

1516 1.011022.4101064J 1332p V --==????=-

212211115515()()5320J 22216i E R T T p V p V p V ν??

?=-=-=?-=- ???

；

425610645320-=+-=+?=A E Q J

9-12. 有1摩尔双原子分子的理想气体所经历的准静态过程满足2

pV =常量，如果气体初始处于标准状态，从标准状态开始体积膨胀了4倍。求：(1)在这个过程中气体的摩尔热容量。(2)在这个过程中气体对外做的功，内能改变量和吸收的热量。

解：(1) ∵V,m 112m n n i C C R n n γγ--=

=--；2=n ，5=i ，57

2=+=i i γ；∴m 32

C R =；

(2) 2=n ，51 1.0110Pa p =?，33

122.410m V -=?；124V V =，16

)(112212p p V V p =?=；

22111p V p V A n -=-=5311111

1334 1.0131022.4101701J 1244

p V p V --==????=-

21221111515

()()4253J 228

i E R T T p V p V p V ν?=-=-=-=-；

425317012552J Q E A =?+=-+=-。

9-13. 在一个绝热容器中，质量为1m 、温度为1T 的液体，与质量为2m 、温度为2T 的同种液体在一定压强下混合；已知液体的定压比热为p c (p c 为常量)。求：(1)液体混合后达到新的平衡态的温度。(2)液体混合过程中系统熵的变化。

解：(1) 由)()(2211T T c m T T c m p p -=-，得：1122

m T m T T m m +=

+ ；

(2) 11d d d p m c T Q S T T ==，1

112211111121d ln ln ()T

p p p T m T m T T T

S m c m c m c T T m m T +?===+?； 22d d p m c T S T

，2

112222222122d ln ln ()T

p p T m T m T T T

S m c m c m c T T m m T +?===+?；

∵21S S S ?+?=?，∴()()11221122

p 1p 2121122

ln m T m T m T m T S c m c m m m T m m T ++?=+++

9-14. 已知水的比热为3114.1810J kg K p c --=???，质量为1kg m =，初始温度为273K ；(1)让水与一个温度为373K 的大热源接触使水的温度升到373K ，求此过程中水的熵改变了多少(2)如果先让水与一个温度为323K 的大热源接触，然后再与温度为373K 的大热源接触，求整个系统的熵变。(3)说明怎样才能使水的温度由273K 变化到373K 而整个系统的熵不变。

解：(1) 1d d Q S T =d p mc T

T =，

373

331273

d 373373

ln 1 4.1810ln 1.310J K 273273p p T S mc mc T -?===??=???；

(2)水的熵变：1330K J 103.1273

373

ln 1018.41273373ln

-??=??==?p mc S ；水从第一个热源吸热为：J 1009.2501018.41)273323(531?=???=-=p mc Q ，

第一个热源的熵变为：135

1K J 10647.0323

1009.2-??-=?-

=?S 水从第二个热源吸热为：J 1009.2501018.41)323373(532?=???=-=p mc Q ，第二个热源的熵变为135

2K J 10563.0373

1009.2-??-=?-

=?S 整个系统的熵变：

331012(1.30.6470.563)100.091090J K S S S S -?=?+?+?=--?=?=?

整个系统的熵增加。 (3)略。

9-15. 某个热力学系统从状态1变化到状态2，如果状态2所对应的热力学概率是状态1的两倍，求此热力学系统的熵变

解：∵Ω=ln k S ，据题意122Ω=Ω，22ln Ω=k S ，11ln Ω=k S 因此，系统的熵变为

2ln ln

)ln (ln 1

1212k k k S S S =ΩΩ=Ω-Ω=-=?

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