统计物理方法及其应用

统计物理方法

在复杂网络中的应用

1.3统计物理方法概貌

统计计物理方法研究的对象是大量微观粒子组成的宏观物质系统，任务是按照物质的微观结构、微观粒子的运动特征及粒子间的相互作用，采用统计方法探求系统的宏观性质及其变化规律。由于粒子的数量是如此之大，无法去一一求解它们所遵从的运动方程，同时，粒子间的相互作用，外界对系统的干扰，导致粒子运动状态的不完全确定性，系统运动状态呈现随机性，但在一定条件下，系统的各运动状态均以一定的概率出现。一个宏观状态对应着瞬息万变的大量的微观运动状态，系统的某个物性的实测值是在给定条件下，各微观状态的相应量的统计平均值，统计物理学就是要找出这种统计规律性。该学科建立起微观运动与宏观运动之间的联系，阐明宏观运动形态的微观实质和基础，并日益渗透和广泛应用于凝聚态物理、核物理、网络科学、化学、生物等诸多学科，获得了许多重大成就。

统计物理学或统计力学是用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学分支，它架起了从微观到宏观研究的桥梁，不仅为各种宏观复杂系统（气体

、液体、固体、等离子体等）提供理论依据，而且现在为新诞生的网络科学提供了理论基础和有力工具，发挥着重要的作用。统计物理学分为平衡态统计物理学和非平衡态统计物理学。

平衡态统计物理学研究宏观系统处于平衡态的物理现象和物理性质。1902年美国物理学家吉布斯（Gibbs）发表著名的《统计力学的基本原理》，建立了平衡态统计物理学体系。其要点是：一条基本假定--等概率原理，一个基本观点--统计平均和一种基本方法--统计系综。统计方法分别与经典力学和量子力学相结合，形成经典统计物理学和量子统计物理学，两者在运用统计方法上是相似的，差别在于对微观状态描述的不同。量子统计物理学是在基本统计假定下对系统采用所谓混合系综的描述方法，而基本统计假定是关于密度矩阵的论断。微观粒子的全同性原理和它们对量子态占有法则的差异导致两种不同的量子统计法：玻色-爱因斯坦（Fermi-Dirac）统计法（1926）。量子统计物理学解决了许多经典统计物理不能解决的困难，20世纪30年代后，量子场论方法用于统计物理使之取得了更大的进展。

实际上，吉布斯首先提出了系综概念，建立了平衡态统计物理，其中对于能量和粒子数固定的孤立系统，采用微正则系综；对于可以和大热源交换能量但粒子数固定的系统，采用正则系综；对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，

采用巨正则系综。量子统计与经典统计的研究对象和方法基本相同，系综概念也都适用。所不同的是前者认为微观粒子的运动遵循量子力学规律而不是经典力学规律，微观运动状态具有不连续性，需用量子态而不是相宇来描述。非平衡态分布函数及其演化方程的建立，不仅成为输运过程微观统计理论的基础，而且由它定义的

H函数及其遵循的 H 定理对理解宏观过程的不可逆性及趋于平衡的过程起过重要作用。特别是，熵的统计意义的阐明，熵增加原理的微观统计解释表明：统计理论已从平衡态向非平衡态发展，并能对热力学第二定律这样的普遍规律作出微观统计解释。对远离平衡态的物理现象中最重要的是突变（包括涌现）和有序结构，以及20世纪60年代以后建立了著名的三论（耗散结构理论，协同学和突变理论）等，对网络科学具有参考和指导意义。但是非平衡统计物理仍然在迅速发展中，还没有完全成熟。上述许多理论方法与许多科学交叉，大大超出本文的综述范围，本章并不作专门详细的介绍，请读者参考有关专著和研究生的教科书.

非平衡态统计物理学研究宏观系统处于非平衡态的物理现象和物理性质。近平衡态自发的演化趋势是趋于平衡，故其性质与平衡态相似。涨落、弛豫和耗散（输运）是主要的近平衡过程，以昂萨格（Onsager）倒易关系、涨落耗散定理和最小熵产生原理为主要内容的线性不可逆热力学和近平衡态统计物理理论已发展成熟。远离平衡问题的研究60年代以来广泛开展，主要有非平衡统计物理的基本理论和方法，外场驱动下耗散系统的非线性动力学，非平衡涨落和非平衡相变等。对远离平衡的突变、有序与结构的出现，普

利高津（Prigogine）等作了宏观描述，建立了耗散结构理论。之后，与混沌、孤子及分形等非线性问题的研究交织在一起，相互渗透和促进。非平衡统计物理迄今尚未形成系统的理论，但它可能突破传统的物理学理论和方法的框架，通过与其他学科交叉结合，比如,与复杂网络的研究紧密结合,可以向较成熟的、更普遍的非平衡系统理论的方向发展，是一门具有很强生命力的、新兴的前沿学科。

1．4 网络科学与统计物理的联系

值得注意的是，首先提出无标度网络的学者Albert 和物理学家Barabasi在美国著名的“现代物理评论”(Review of Modern Physics )上发表了题为“复杂网络的统计力学”的长篇综述[19],既系统地评述了复杂网络的研究进展, 又精辟介绍了统计物理的主要理论和方法在网络科学中的应用, 特别是关于网络拓扑特性及动力学的统计力学研究所取得的成果和重要进展, 很好阐明了目前网络科学研究涉及到统计物理中的主要理论武器有：主方程、

Forkker-Plank(福克-普朗克)方程，平均场理论方法，自组织理论，临界和相变理论，熵的概念，以及渗流理论等。接着,2002年Dorogovtsev与Mendes 评述了网络演化问题[13,16]。 2003年Newman对复杂网络的结构与功能的研究进展作了系统的综述[20]。2004年Park 和Newman 进一步把统计系综推广应用于复杂网络的平衡态研究联系[59]，沟画了一种基本理论框架, 这里结合我们的思路加以阐明和拓广，把它概括为图1-5所示的理论框架和基本路线图。它具有画龙点睛作用，真正深入理解这个路线图，有助于掌握统计物理在复杂网络中应用，下面各节较为详细介绍统计物理在复杂网络中应用的主要方法。

图1- 5 复杂网络的平衡态统计方法的理论框架和基本路线示意图。

1．5平均场理论方法

1．5．1 平均场理论方法的基本思想

统计力学和复杂网络研究中常用的一种统计物理方法是平均场理论方法。该法通俗容懂，虽然是近似处理方法，但是结果的物理意义比较明显。在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论就是，基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.

平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。也就是说，平均场理论是把环境对物体的作用进行集体处理，以平均作用效果替代单个作用效果的加和的方法。这一方法，能简化对复杂问题的研究，把一个高次、多维的难以求解的问题转化为一个低维问题，相当于把环境对研究对象的影响进行积分后再与研究对象发生作用，多用于运动状态混乱的气体，以及结构复杂的固体、液体的研究中，并构成了能带论、现代固体理论、量子多体理论等理论的重要的基础。尽管平均场理论带来了研究的便利，但是由于积分过程会掩盖掉环境中个别影响因素的涨落，因此在非平衡过程，强关联系统，以及瞬态过程中，平均场理论会带来比较大的误差。

平均场理论最早的是范德瓦耳斯的状态方程，后来还有很多不同的名称。1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向

异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下。假定热力学函数是序参量的解析函数,这是一个热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数。在温度T高于临界温度Tc时和低于Tc 时曲线结果是不一样的，高于Tc时，最小值是Mo=0，即没有自发磁化；如果温度T低于Tc，就有不等于0的极小点。按照平均场理论算出来，临界指数