(完整版)含参数的二次函数问题

杭九年级数学校本作业 编制人： 含参数的二次函数问题 姓名_________

1、将二次函数2

()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线

21y x =+上，则k 的值为（ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

2、关于x 的二次函数2

()1y x m =--的图象与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C.下列说法正确的是

（ ）

A ．点C 的坐标是（0，-1）

B ．点(1, -2

m )在该二次函数的图象上

C ．线段AB 的长为2m

D ．若当1≤x 时，y 随x 的增大而减小，则1≥m

3、如图，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-4），且顶点在第三象限，设P =c b a +-，则P 的取值范围是（ ） A ．-8＜P ＜0

B ．-8＜P ＜-4

C ．-4＜P ＜0

D ．-2＜P ＜0

4、下列四个说法：

①已知反比例函数6y x =

，则当3

2

y ≤时自变量x 的取值范围是4x ≥； ②点11(,)x y 和点22(,)x y 在反比例函数3

y x

=-

的图象上，若12x x <，则12y y <； ③二次函数2

28+13-30)y x x x =+≤≤（的最大值为13，最小值为7；

④已知函数2213y x mx =

++的图象当24x ≤时，y 随着x 的增大而减小，则m =2

3

-．

其中正确的是（ ）

A ．④

B ．①②

C ．③④

D ．四个说法都不对 5、已知下列命题：

①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+

c x

c

x 的根是c ；

②在反比例函数x

y 2

=

中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222

-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；

④函数y = kx 2+(3k +2)x +1，对于任意负实数k ，当x

A ．①③

B ．③

C ．②④

D ．③④

6、二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ＜0）的图象经过点（﹣1，1），（4，﹣4）.下列

结论：（1）c a

＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）4=x 是方程ax 2+（b +1）

x +c =0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜4时，ax 2+（b +1）x +c ＞0．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

7、设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点(3，0)，(7，– 8)，当3≤x ≤7时，y 随x 的增大 而减小，则实数a 的取值范围是 ． 8、已知抛物线)2

)(1(k

x x k y -

+=与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．若△ABC 为等腰三角形，则k 的值为 ． 9、已知函数()??? ??-

+=k x x k y 31，下列说法：①方程()3-31=??? ?

?

-+k x x k 必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当k >3时，抛物线顶点在第三象限；④若k <0，则当x<-1时，y 随着x 的增大而增大. 其中正确的序号是 . 10、如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B )2,4(，一次函数1-=kx y 的图象平分它的面积. 若关于x 的函数

k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的

值为 .

11、已知函数()n mx x n y m

-+++=11（m ，n 为实数）

(1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；

(2)若它是一个二次函数，假设，那么：

①当时，y 随x 的增大而减小. 请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定过哪个点？请说明理由.

12、已知抛物线p ：12

3)1(2-+

+-=k

x k x y 和直线l :2k kx y +=： （1）对下列命题判断真伪，并说明理由：

①无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点； ②无论k 取何实数值，直线l 与y 轴的负半轴没有交点；

（2）设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2＝4AB 2时，求出抛物线的解析式及最小值.

13、我们知道，x y =的图象向右平移1个单位得到1-=x y 的图象.类似的，x

k

y = ）0（≠k 的图象向左平移2个单位得到）

0（2

≠+=k x k

y 的图象.请运用这一知识解决问题.如图，x

y 2

=

的图象C 与y =ax （a ≠0）的图象L 相交于点A （1，m ）和点B ． （1）写出点B 的坐标，并求a 的值； （2）将函数x

y 2

=

的图象和直线AB 同时向右平移n （n ＞0）个单位，得到的图象分别记为C 1和L 1， 已知图象C 1经过点M （3，2）．

①分别写出平移后的两个图象C 1和L 1对应的函数 关系式； ②直接写出不等式 ax x ≤+-42

2

的解集.

14、已知二次函数22

(21)

h x m x m m

=--+-（m是常数，且0

m≠）.

（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；

（2）若A2

(3,2)

n n

-+、B2

(1,2)

n n

-++是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和n的值；

（3）设二次函数22

(21)

h x m x m m

=--+-与x轴两个交点的横坐标分别为

1

x，

2

x（其

中

1

x>

2

x），若y是关于m的函数，且2

1

2

2

x

y

x

=-，请结合函数的图象回答：当y

15、如图，抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴相交于点A，P（a，m

a

a+

+

-

2

7

2）（a为任意实数）在抛物线上，直线b

kx

y+

=经过A、B两点，平行于y轴的直线2

=

x交直线AB于点D，交抛物线于点E.

(1)若2

=

m，①求直线AB的解析式；②直线t

x=0(≤t≤)4与直线AB相交于点F，与抛物线相交于点G . 若FG:DE=3:4，求t的值；

(2)当EO平分AED

∠时，求m的值.

（第14题）

16、已知抛物线n m x a y +-=2)(与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D .若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线.

（1）如图1，求抛物线1)2(2+-=x y 的伴随直线的解析式；

（2）如图2，若n m x a y +-=2)(（m>0）的伴随直线是3-=x y ，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；

（3）如图3，若抛物线n m x a y +-=2)(的伴随直线是b x y +-=2（b>0），且伴随四边形ABCD 是矩形.

①用含b 的代数式表示m,n 的值；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PBD 是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式表示）；若不存在，请说明理由.

答案与评分标准 1.C 2. D 3.C 4.D 5.D 6.C 7. 21021≥<≤-

a a 或 8. 2,215,

34+ 9. 10.2

1

-1-0或或=m 11.（1）①当m=1，n ≠-2时，函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）是一次函数，

它一定与x 轴有一个交点，

∵当y=0时，（n+1）xm+mx+1-n=0，∴x=1-nn+2，

∴函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；

②当m=2，n≠-1时，函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y=0时，y=（n+1）xm+mx+1-n=0， 即：（n+1）x2+2x+1-n=0， △=22-4（1+n ）（1-n ）=n2≥0；

（2）①假命题，若它是一个二次函数， 则m=2，函数y=（n+1）x2+2x+1-n ， ∵n ＞-1，∴n+1＞0， 抛物线开口向上，

对称轴：-b2a=-22(n+1)=-1n+1＜0，

∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小， ②当x=1时，y=n+1+2+1-n=4． 当x=-1时，y=0．

∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．

12.(1)①正确

∵012

3)1(2=-+

+-k

x k x 的解是抛物线与x 轴的交点， 由判别式△＝)12

3(4)1(2--+k k ＝542

+-k k ＝01)2(2>+-k

∴无论k 取何实数值，抛物线总与x 轴有两个不同的交点； ②正确

∵直线2

k kx y +=与y 轴交点坐标是(0，2

k )

而无论k 取何实数值2

k ≥0，∴直线与y 轴的负半轴没有交点

（2）∵|OD|＝|―k | ,|AB |＝542+-k k ∴OD 2＝4AB 2 ?201642

2

+-=k k k

解得310k 2==或k 又∵OC 1＝2k ，OC ＝123-k ＞0，∴2

k ＝123-k ＋2，

解得2

1k 2-==或k 综上得k ＝2，∴抛物线解析式为232

+-=x x y ，最小值为4

1-

（3）1≤x ＜2或x ≥3 …………3分

14.（1）由题意有△=[-（2m-1）]2-4（m2-m ）=1＞0． 即不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点； （2）∵A （n-， ∴m=-12，

∴抛物线解析式为h=x2+2x+34； （3）令h=x2-（2m-1）x+m2-m=0，

解得x1=m ，x2=m-3，n2+2）、B （-n+1，n2+2）是该二次函数图象上的两个不同点， ∴抛物线的对称轴x=n-3-n+12=-1， ∴2m-12=-1

即y=2-2x2x1=2m ， 作出图象如右： 当2m=m 时， 解得m=±2，

当y ＜m 时，m 的取值范围为m ＞2或m ＜-2．

15.(1)若2=m ，①则抛物线的解析式为2272

++-=x x y ，

得)2,0(A ，)0,4(B ，)0,2

1

(-C 所以直线AB 的解析式为221

+-

=x y . ②易得)5,2(E ,)1,2(D ,)227,(2

++-t t t G ，)22

1,(+-t t F ，所以DE=4,FG=t t 42+-，因

FG:DE=3:4，所以t t 42

+-=3，解得3,121==t t . (2) 抛物线的解析式为m x x y ++

-=2

7

2

，易得),0(m A ，)3,2(+m E ，过点A 作AH ⊥DE 于点H ，可得),2(m H .

因EO 平分AED ∠，所以DEO AEO ∠=∠，又因为DE ∥AO ，

所以AOE DEO ∠=∠，即AOE AEO ∠=∠，所以AO=AE.

在直角AHE ?中，2

22EH AH AE +==133222=+， 即=m AO=AE=13.

16.

（1）解：（1）由已知得B （2，1），A （0，5），

设所求直线的解析式为y=kx+b ，则?

??=+=b b k 521，解得???=-=52

b k ，

∴所求直线的解析式为y=-2x+5；

（2）如图1，作BE ⊥AC 于点E ，由题意得四边形ABCD 是平行四边形，点A 的坐标为（0，-3），点C 的坐标为（0，3），可得AC=6， ∵□ABCD 的面积为12，∴S △ABC =6，即S △ABC =

2

1

AC ·BE=6，∴BE=2， ∵m ＞0，即顶点B 在y 轴的右侧，且在直线y=x-3上，∴顶点B 的坐标为B （2，-1）又抛物线经过点A （0，-3），∴a=2

1-

，∴y=-21（x-2）2

-1；

（3）①如图2，作BF ⊥x 轴于点F ，由已知得：A 的坐标为（0，b ），C 的坐标为（0，-b ），∵顶点B （m ，n ）在直线y=-2x+b 上，∴n=-2m+b ，即点B 的坐标为（m ，-2m+b ），在矩形ABCD 中，OC=OB ，OC 2

=OB 2

，即b 2

=m 2

+（-2m+b ）2

，∴5m 2

-4mb=0，∴m （5m-4b ）=0， ∴m 1=0（不合题意，舍去），m 2=5

4

b ， ∴n=-2m+b=-2×54b+b=-5

3

b ；

②存在，共四个点如下： P 1（54b ，57b ），P 2（54b ，59b ），P 3（54b ，1516b ），P 4（54b ，5

13

-b ）。

图2

F