初中数学几何模型系列之(三)三角形四大模型
初中几何模型系列之（三）三角形四大模型
全面完整版+例题解析
第一部分模型展示
一、八字模型：二、飞镖模型：
证明的过程很简单，请同学们思考一下吧!
模型展示
三、角平分线模型
角平分线模型包含三种类型，1.两内角的角平分线相交于一点；2.两外角的角平分线相交于一点；3.一条内角和一个外
模型展示
四、角平分线&高线模型
注意：此模型要注意，在此结论三个角的关
系中，∠ B和∠ C之间永远是大角-小角。
第二部分例题解析
点评：此题既可用
8字模型又可用飞
镖模型，同学们一
定要仔细观察！
例题解析
点评：此题既可用8字模型又可用飞镖模型，同学们
三角形计算四大模型
D C B A G F E D C B A “铅笔头模型” 例(1）如图①，AB ∥ＣD,则∠A+∠C= 。 如图②,AB ∥CD,则∠Ａ＋∠E ＋∠C= 。 如图③,A Ｂ∥CD,则∠A ＋∠E ＋∠F ＋∠C= 。 如图④，AB ∥C Ｄ,则∠Ａ＋∠E+∠F+∠Ｇ+∠C ＝ 。 (2）如图⑤，AB ∥CD,则∠A ＋∠Ｅ+∠F+…+∠C= 。 (3)利用上述结论解决问题:如图已知AB ∥CD,∠B ＡE 和∠ＤCE 的平分线相交于F ，∠E=１40°，求∠ＡFC 的度数。 图① 图② 图③ 图 ④ “锯齿模型” 例3.如图，AB ∥CD ，猜想∠BED 与∠B 、∠D 的大小关系,并说明理由。 E D C B A 如图，已知AB ∥E Ｆ，BC ⊥ＣＤ于点Ｃ，若∠A ＢC ＝3０°,∠D ＥF =45°,则∠C ＤE 等于( ) E D C B A F E D C B A n 个点 F E B
如图，直线AB 平行CD, ∠ＥFA=３0，∠F ＧH ＝90,∠H ＭN=30，∠CN Ｐ＝50,则∠GH Ｍ的大小是多少( ） 2.如图,已知ＡＢ∥CD ，∠ＥAF ＝ 41∠E ＡB,∠ＥCF ＝4 1 ∠ECD ，试∠AEC 与∠ＡF Ｃ之间的关系式。 “８字型” 如图,俩直线AB ，CD 平行，则,∠１+∠2+∠３+∠4+∠5+∠6= “飞镖模型” 例1.如图 2,40,15,35,B C A B C D ∠=?∠=?∠=?∠=则______＿ __; F E D C B A C A B D
变式训练： １.如图,已知?=∠27A ,?=∠96CBE ,?=∠30C . 求：ADE ∠的大小. ２.如图,五角星AB ＣＤE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数. 变式训练： 1．探索三角形的内角和外角角平分线(平分三角形外角的射线角外角角平分线,如图（2）,AEC ∠是ABC ?的外角,C Ｏ平分ACE ∠,那么射线CO 就是外角平分线） (1）如图（1)，在ABC ?中，两内角角平分线BO,C Ｏ相交于点O,若 50=∠A ，则=∠BOC _＿______＿__；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系? （2）如图（2）,在ABC ?中，一内角平分线BO 与一外角平分线CO 相交于点O ， 50=∠A ，则=∠BOC _____＿_＿___；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？ （3)如图（3），在ABC ?中，两外角EBC ∠、FCB ∠的平分线,B Ｏ,CO 相交于点Ｏ，若 50=∠A ,则=∠BOC _＿＿_＿______;此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
三角形四大模型
三角形的四大模型 一、三角形的重要概念和性质 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余） 二、八字模型： 证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D 三、飞镖模型： 证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C 四、角分线模型： 如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D， 之间的数量关系，并证明你的结论． 试探索∠A与∠D
n 如图，△ABC 两个外角（∠CAD 、∠ACE ）的平分线相交于点P ．探索∠P 与∠B 有怎样的数量关系，并证明你的结论． 题型一、三角形性质等应用 1．如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了米数是（ ）A ．120 B ．150 C ．240 D ．360 2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF ． 如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，则图中阴影部分面积为 cm 2 ． 3．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且S △ABC =4cm 2，则S 阴影= cm 2． 4． A 、B 、C 是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，S △ABC 的面积是1，则S △A 1B 1C 1的面积 ． 5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别 说出内角和和外角和变化情况． 6．如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD ； （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答）（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出
初中数学几何经典模型
初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2 图1 G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF 于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C
E A B C O D E A B C O D B O A C 角平分线模型 【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为. H G F E A D B C 手拉手模型 【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠ ，， 【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠ 平分； - 【例5】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为. 【例6】如图，ABC中，90 BAC? ∠=，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE，AG⊥BE 于F，交BC于点G，求DFG ∠ G F D C B A E
七年级三角形四大模型
2016年01月07日liwei的初中数学组卷 一．选择题（共5小题） 1．（2015春?扬中市校级期末）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不动，△AOB绕着O 点逆时针旋转α°（0°＜α＜180° ） （1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD=60°，则 ∠AOC=； （2）若0°＜α＜90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值； （3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由；（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）． 2．（2014?赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想： ①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？ ②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？ ③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用： 如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）． 3．（2013秋?微山县期中）如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（） A．50°B．100° C．130°D．150°
4．（2013春?连云区校级月考）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（） A．120 B．150 C．240 D．360 5．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是（） A．67°B．84°C．88°D．110° 二．填空题（共3小题） 6．（2007?遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．
初中：数学几何模型大全
全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
初中数学几何经典模型范文
初中数学几何经典模型 范文 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
如图，正方形ABCD DE=2CE，过点C作CF 如图，ABC中，∠如图，在边长为6 ，连接EG，
中，AB=AD，
H G F C B D A E H G F B C A D E 点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段A B 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q ．若AQ =12，BP =3，则PG =. 【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE =DF .连接 BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG =1，则BCDG S =四边形. 一线三等角模型【条件】EDF B C DE DF ∠=∠=∠=，且【结论】BDE CFD ? 【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB =3，GC =4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为 . 最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马 2、费马点【垂线段最短】 【两边之差小于第三边】 【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入 口．现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路l ．求l 的最小值． AP 、DP 以及PH 之长度和为【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于G ，连接 BE 交AG 于点H ，若正方形的边 长为2，则线段DH 长度的最小值是. 中，4,42AB AD ==，E 是线【例18】如图所示，在矩形ABCD 段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，BEF ?沿直线EF 翻折到'B EF ?，连接'DB ，'DB 最短为 . 《三垂直模型》 课后练习题 【练习1】 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，∠MBN =12 ∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系请直接写出你的猜想； 问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在 DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12 ∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系写出你的猜想，并给予证明. 【练习2】已知：如图1，正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4
完整版七年级数学培优 平行线四大模型
平行线四大模型 平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 、平行线的性质 2 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反 过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等
性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补 页7 共页1 第 本讲进阶平行线四大模型 模型一“铅笔”模型 “铅笔”模型EF右侧，在AB内部、CD点P在 AEP+∠PFC=3 60°；：若结论1AB∥CD，则∠P+∠.AB∥CD2结论：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则 模型二“猪蹄”模型（模型）M “猪蹄”模型AB内部、CD点P在EF左侧，在 CFP；+：若AB∥CD，则∠P=∠AEP∠结论1. CDAB=∠AEP+∠CFP，则∥P结论2：若∠ 模型三“臭脚”模型
(完整版)初中数学常用几何模型及构造方法大全
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型
七年级：三角形三线合一性质专题
F E D C B A E D C B A B ' C B A 专题四（第九讲）：三角形三线性质 金牌数学专题系列 导入 知识要点 知识点1 ： 三角形的 重要线段 意义 图形 > 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 D C B A 是△ABC 的BC 上的高线. ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 / 三角形中,连结一个顶点和它对边中的 线段 D C B A 是△ABC 的BC 上的中线. =EC= 12 BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 21 D C B A 是△ABC 的∠BAC 的平分线. · 2.∠1=∠2=1 2 ∠BAC. 双基练习 一、选择题： 1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( ) A.是边BB ′上的中线 B.是边BB ′上的高 C.是∠BAB ′的角平分线 D.以上三种性质合一 ） (1) (2) (3) 2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( ) 是△BCD 的中线 是△ABC 的中线 =DC,BD=EC D.∠C 的对边是DE 3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( ) A.2cm 2 .1cm 2 C 12 14 小学时上课爱睡觉。一次语文课老师布置作业写一篇作文，题目是《假如我是蜘蛛》。 下课了问了同学 ，晚上在家绞尽脑汁，写了一篇轰动全校 的《假如我是只猪》
初中数学经典几何模型
初中数学几何模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2图1G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 中点模型
【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 角平分线模型
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型
目录 Contents 第1讲平行线四大模型 (1) 第2讲实数三大概念 (17) 第3讲平面直角坐标系 (33) 第4讲坐标系与面积初步 (51) 第5讲二元—次方程组进阶 (67) 第6讲含参不等式（组） (79)
1平行线四大模型 知识目标 目标一熟练掌握平行线四大模型的证明 目标二熟练掌握平行线四大模型的应用 目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造 秋季回顾平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1：
三角形四大模型
三角形的四大模型 、三角形的重要概念和性质 1、 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线 （角分线） 中线 （分面积等） 高（直角三角形两锐角互余） 、八字模型： 三、飞镖模型： 证明结论： 1．∠BOC ＝∠ A ＋∠B ＋∠ C 四、角分线模型： 如图， BD 、CD 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线， BD 、CD 相交于点 D ， 试探索∠ A 与∠D 之间的数量关系，并证明你的结论．
如图，△ ABC 两个外角（∠ CAD 、∠ ACE ）的平分线相交于点 P ． 探索∠ P 与∠B 有怎样的数量关系，并证明你的结论． 题型一、三角形性质等应用 5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别 说出 内角和和外角和变化情况． 6．如图，直线 AC ∥ BD ，连接 AB ，直线 AC ，BD 及线段 AB 把平面分成①、②、③、④ 四 个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 P 落在某个部分时，连接 PA ，PB ， 构成∠ PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是 0°角） （ 1）当动点 P 落在第①部分时，求证：∠ APB= ∠PAC+∠ PBD ； （ 2）当动点 P 落在第②部分时，∠ APB= ∠ PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答） （ 3）当动点 P 在第③部分时，全面探究∠ PAC ，∠ APB ，∠ PBD 之间的关系，并写出 动点 P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 1．如图，小亮从 A 点出发前进 下去，他第一次回到出发点 A ．120 B ． 150 2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿 如果 AB=8cm ， BE=4cm ， DH=3cm ， 10m ， A 时， C ． 向右转 15°，再前进10m ，又向右转 15°，这样一直 走 一共走了米数是（ ） 240 D ．360 则图中阴影部分面积为 BC 方向平移得到 △ DEF ． 2 3． 如图，在 △ ABC 中，已知点 D ， 且 S △ABC =4cm 2，则 S 阴影= 4． A 、B 、C 是线段 A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点， E ， F 分别为边 BC ，AD ， 2 cm ． S △ABC 的面积是 1，则 S △ A 1B 1C 1 的面积 CE 的中点，
苏版七年级平行线和全等三角形模型(拓展提优)
平面图形（二）&全等三角形模型汇编 平行线四大模型： 结论1 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 结论1 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 结论1 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 巩固练习平行线四大模型证明 （1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360° . （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF． （3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP. （4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF . 模块一平行线四大模型应用 例1 （1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．
(2)如图，AB ∥CD ，且∠A =25°，∠C =45°，则∠E 的度数是 ． (3)如图，已知AB ∥DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD = . (4) 如图，射线AC ∥BD ，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠P = ． 练如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ． （七一中学2015-2016七下3月月考） 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = . 例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系. 练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n 1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系； (3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）. 例3 如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) . 练 如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系. 例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 180° 练（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，AE ⊥DE ，∠l +∠2= 90°，M 、N 分别是BA 、 CD 的延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线相交于点 F 则∠F 的度数为（ ）． A . 120° B . 135° C . 145° D . 150° 模块二 平行线四大模型构造
初中数学几何模型大全+经典题型
初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案） 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。 垂直也可以做为轴进行对称全等。 说明：上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全 构造方法：遇60 度旋60 度，造等边三角形 遇90 度旋90 度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180 度，造中心对称
说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等 腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和
初中数学几何公式大全和九大几何模型
初中数学几何公式和九大几何模型 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360°
三角形计算四大模型(精.选)
D C B A G F E D C B A “铅笔头模型” 例（1）如图①，AB∥CD，则∠A+∠C= 。 如图②，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C= 。 如图③，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠F+∠C= 。 如图④，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠F+∠G+∠C= 。 （2）如图⑤，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠F+…+∠C= 。 （3）利用上述结论解决问题：如图已知AB∥CD，∠BAE和∠DCE的平分线相交于F，∠E=140°，求∠AFC的度数。 图①图②图 ③ 图④ “锯齿模型” 例3.如图，AB∥CD，猜想∠BED与∠B、∠D的大小关系，并说明理由。 E D C B A 如图，已知AB∥EF，BC⊥CD于点C，若∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于() E D C B A F E D C B A n个点 F E B
如图，直线AB 平行 CD ，∠EFA=30，∠FGH=90，∠HMN=30，∠CNP=50，则∠GHM 的大小是多少（ ） 2.如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝41∠EAB ，∠ECF ＝4 1 ∠ECD ，试∠AEC 与∠AFC 之间的关系式。 “8字型” 如图，俩直线AB,CD 平行，则，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= “飞镖模型” 例1.如图2， 40,15,35,B C A B C D ∠=?∠=?∠=?∠=则_________; F E D C B A C A B D
变式训练： 1.如图，已知?=∠27A ，?=∠96CBE ，?=∠30C . 求：ADE ∠的大小. 2.如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数. 变式训练： 1.探索三角形的内角和外角角平分线（平分三角形外角的射线角外角角平分线，如图（2）， AEC ∠是ABC ?的外角，CO 平分ACE ∠,那么射线CO 就是外角平分线） （1）如图（1），在ABC ?中，两内角角平分线BO,CO 相交于点O ，若ο50=∠A ,则 =∠BOC ___________；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？ （2）如图（2），在ABC ?中，一内角平分线BO 与一外角平分线CO 相交于点O ，ο50=∠A ，则=∠BOC ___________；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？ （3）如图（3），在ABC ?中，两外角EBC ∠、FCB ∠的平分线，BO,CO 相交于点O ，若 ο50=∠A ,则=∠BOC ___________；此时A ∠与BOC ∠有怎样的关系？
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角; 遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型
说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变形 说明： 模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。