高中数学等差数列的前n项和(有答案)
2014年12月27日高中数学等差数列的前n项和
一．选择题（共18小题）
1．（2014?福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）
A．8B．10 C．12 D．14
2．（2014?河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）
A．1B．﹣1 C．2D．
3．（2014?吉林三模）等差数列{a n}的前n项和S n（n=1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）
A．S17B．S18C．S15D．S16
4．（2014?安庆三模）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）
A．1B．C．2D．3
5．（2014?太原二模）在等差数列{a n}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（）A．24 B．39 C．52 D．104
6．（2014?孝感二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）
A．180 B．90 C．72 D．10
7．（2014?太原一模）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列{a n}的前15项和S15=（）
A．12 B．32 C．60 D．120
8．（2014?惠州模拟）等差数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（）
A．55 B．60 C．65 D．70
9．（2014?湖北二模）各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣1﹣a n+1=0（n∈N*，n≥2），则S2009等于（）A．0B．2C．2009 D．4018
10．（2014?潍坊模拟）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）
A．4B．5C．6D．7
11．（2014?许昌二模）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，a3=5，S k+2﹣S k=36，则k的值为（）
A．8B．7C．6D．5
12．（2014?南昌模拟）已知数列{a n}为等比数列，且a4?a6=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则S9=（）
A．36 B．32 C．24 D．22
13．（2014?南昌三模）设{a n}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，则数列{a n}的前13项的和为S13=（）A．63 B．109 C．117 D．210
14．（2014?太原一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使S n取得最小值时n的值为（）
A．4B．5C．6D．7
15．（2014?上饶一模）数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n，则{a n}的通项公式为（）
A．4n﹣3 B．4n﹣5 C．2n﹣3 D．2n﹣1 16．（2014?宜昌模拟）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，?n∈N*
恒成立，则正整数m的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
17．（2014?宣城三模）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=（）
A．15 B．17 C．19 D．21
18．（2014?北京二模）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则的最小值为（）
A．10 B．C．D．
+2
二．解答题（共12小题）
19．（2014?蚌埠二模）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．
20．（2014?博白县模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，点2a5=a10，且S5=120．求a n和S n．
21．（2014?宜宾二模）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+4．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有S n≥S8成立，求a1的取值范围．
22．已知3个数成等差数列，和为12，若第3个数加上2后，此3个数成等比数列，若由这三个数构成的等差数列是递增的，求这个数列的前n项之和S n．
23．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=﹣7，S6=﹣24．
（1）求等差数列{a n}的前n项和S n；
（2）当n为何值时，数列{}有最小项，并求出最小项的值．
24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=S12，公差d＜0，求S n的最值．
25．已知无穷等差数列{a n}，首项a1=3，公差d=﹣5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}
（1）求b1和b2；
（2）求{b n}的通项公式；
（3）{b n}中的第110项是{a n}中的第几项？
26．设等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．
（1）求公差d的取值范围．
（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
27．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记b n=a n p an（p＞0），求数列{b n}的前n项和T n．
28．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=2，S5=0，求
（1）该数列{a n}的通项公式a n（2）当n为何值时，S n取得最大值．
29．等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5=a52．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前99项的和．
30．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16
（1）求数列前n项和S n的最大值及相应的n；
（2）求|a1|+|a3|+|a5|+…+|a19|的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．（2014?福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）
A．8B．10 C．12 D．14
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6
解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，
解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，
∴a6=a1+5d=2+5×2=12，
故选：C．
点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
2．（2014?河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）
A．1B．﹣1 C．2D．
考点：等差数列的前n项和．
分析：
由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．
解答：
解：由题意可得=
===1
故选A
点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．
3．（2014?吉林三模）等差数列{a n}的前n项和S n（n=1，2，3…）当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是（）
A．S17B．S18C．S15D．S16
考点：等差数列的前n项和．
分析：根据选择项知，要将项的问题转化为前n项和的问题，结合前n项和公式，利用等差数列的性质求得
解答：解：由等差数列的性质得：a5+a11=2a8
∴a5+a8+a11为定值，即a8为定值
又∵
∴s15为定值
故选C
点评：注意本题中的选择项也是解题信息．
4．（2014?安庆三模）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）
A．1B．C．2D．3
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．
解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由a3=6，S3=12，得：
解得：a1=2，d=2．
故选C．
点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．
5．（2014?太原二模）在等差数列{a n}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（）A．24 B．39 C．52 D．104
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：利用等差数列的性质可把3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，化简6a4+6a10=48，从而可a1+a13=a4+a10=8
而，从而可求
解答：解：∵3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，
利用等差数列的性质可得，6a4+6a10=48
∴a1+a13=a4+a10=8
∴
故选C
点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：若m+n=p+q，则
a m+a n=a p+a q．
6．（2014?孝感二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）
A．180 B．90 C．72 D．10
考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．
解答：解：∵a4=9，a6=11
由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20
故选B
点评：本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．
7．（2014?太原一模）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上，则数列{a n}的前15项和S15=（）
A．12 B．32 C．60 D．120
考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得a8=4，然后利用等差数列的求和公式=15a8，结合性质可求
解答：解：由题意可得a8=4
∵点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上
∴a n可写为关于n的一次函数即可设a n=kn+m，则a n﹣a n﹣1=k（为常数）
∴{a n}为等差数列
由等差数列的性质可知，a1+a15=2a8=8
∴=15a8=60
故选C
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的性质的简单应用，属于基础试题
8．（2014?惠州模拟）等差数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（）
A．55 B．60 C．65 D．70
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：
由等差数列{a n}中，a1+a2=5，a3+a4=9，知，解得a1=2，d=1，由此能求出S10的值．
解答：解：∵等差数列{a n}中，
a1+a2=5，a3+a4=9，
∴，
解得a1=2，d=1，
∴×1=65．
故选C．
点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
9．（2014?湖北二模）各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣1﹣a n+1=0（n∈N*，n≥2），则S2009等于（）A．0B．2C．2009 D．4018
考点：等差数列的前n项和．
分析：在等差数列中，a n
﹣1
+a n+1=2a n，代入到题中等式中，即可．
解答：解：∵a n2﹣a n
﹣1﹣a n+1=0，又等差数列中，a n﹣1+a n+1=2a n
∴a n2=2a n，∴a n=2，∴a n为各项为2的常数列．
∴S2009=2×2009=4018．
故选D．
点评：本题中先根据等差数列的性质得到该数列是常数列，再求解．
10．（2014?潍坊模拟）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）
A．4B．5C．6D．7
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．
解答：解：设该设备第n年的营运费为a n，万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n==n2+n，
设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9=﹣（n﹣5）2+16，
∴当n=5时，S n取得最大值16，
故选：B．
点评：本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．
11．（2014?许昌二模）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，a3=5，S k+2﹣S k=36，则k的值为（）A．8B．7C．6D．5
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由a1=1，a3=5，可解得公差d，进而由S k+2﹣S k=36可得k的方程，解之即可．
解答：
解：由a1=1，a3=5，可解得公差d==2，
再由S k+2﹣S k=a k+2+a k+1=2a1+（2k+1）d=4k+4=36，
解得k=8，
故选A
点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
12．（2014?南昌模拟）已知数列{a n}为等比数列，且a4?a6=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则S9=（）
A．36 B．32 C．24 D．22
考点：等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由等比数列的性质可知，，结合已知可求a
5，进而可求b5，代入等差数列的求和公式
S9==9b5可求
解答：解：由等比数列的性质可知，
∴
∴a5=2
∴b5=2a5=4
则S9==9b5=36
故选A
点评：本题主要考查了等差数列的性质、求和公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题
13．（2014?南昌三模）设{a n}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，则数列{a n}的前13项的和为S13=（）A．63 B．109 C．117 D．210
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．
解答：解；∵{a n}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，
∴a3+a7﹣a10+a11﹣a4=7+2=9，
即3a7﹣2a7=a7=9，
∴S13==117．
故选：C．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，利用等差数列的性质若p+q=m+k，则a p+a q=a m+a k 的性质是解决等差数列的关键．
14．（2014?太原一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，则使S n取得最小值时n的值为（）
A．4B．5C．6D．7
考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．
专题：计算题．
分析：
等差数列{a n}中，由a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，解得a1=﹣9，d=2．所以=n2﹣10n，利用配方法能够求出S n取得最小值时n的值．
解答：解：等差数列{a n}中，
∵a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，
∴，
解得a1=﹣9，d=2．
∴
=n2﹣10n
=（n﹣5）2﹣25，
∴当n=5时，S n取得最小值．
故选B．
点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
15．（2014?上饶一模）数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n，则{a n}的通项公式为（）
A．4n﹣3 B．4n﹣5 C．2n﹣3 D．2n﹣1
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据数列{a n}的前n项和S n，表示出数列{a n}的前n﹣1项和S n﹣1，两式相减即可求出此数列的通项公式，注意验证n=1的情况．
解答：解：当n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1
=2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2+3（n﹣1）=4n﹣5，
而a1=S1=﹣1适合上式，
所以：a n=4n﹣5．
故选B
点评：本题考查数列通项公式的求法，解题时要注意递推公式的应用，属基础题．
16．（2014?宜昌模拟）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，?n∈N*
恒成立，则正整数m的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的通项公式求出数列{}的通项公式，证明数列{S
2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，可其最大值，进而可得m的取值范围，结合m为正整数可得．
解答：解：∵在等差数列{a n}中a2=5，a6=21，
∴公差d==4
∴a n=5+4（n﹣2）=4n﹣3，∴=，
∵（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）
=（）﹣（）
==
=（）+（）＞0，
∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，
∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1==
∴只需≤，变形可得m≥，
又∵m是正整数，∴m的最小值为5．
故选：C．
点评：本题考查数列与不等式的结合，证数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列并求数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大值是解决问题的关键，属中档题．
17．（2014?宣城三模）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=（）
A．15 B．17 C．19 D．21
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的通项公式，将条件进行化简，即可得结论．
解答：解：在等差数列中，
若S9=3a8，
则=3a8．
即9a5=3a8，
∴a8=3a5，
则===，
故选：A．
点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，根据等差数列的性质是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
18．（2014?北京二模）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．若a1=d=1，则的最小值为（）
A．10 B．C．D．
+2
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由已知条件推导出==，由此利用均值定理取最小值．
解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．a1=d=1，
∴=
=1++
=
≥+=，
当且仅当，即n=4时，取最小值．
故选：B．
点评：本题考查等差数列的前n项和与第n项的比值的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．
二．解答题（共12小题）
19．（2014?蚌埠二模）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差d，由a1，a2，a5成等比数列列式求得公差，则等差数列的通项公式可求；
（Ⅱ）数列{a n}为等差数列，则{ a3n﹣2}也为等差数列，然后直接由等差数列的前n项和公式求得
a1+a4+a7+…+a3n﹣2．
解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，
∵a1，a2，a5成等比数列，
∴a22=a1a5，
即（a1+d）2=a1（a1+4d），
于是d（2a1﹣d）=0，
∵d≠0，且a1=1，
∴d=2．
故a n=2n﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a3n﹣2=6n﹣5，
即{ a3n﹣2}是以1为首项，6为公差的等差数列，
∴a1+a4+a7+…+a3n﹣2=
==3n2﹣2n．
点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列前n项和公式的用法，是基础题．
20．（2014?博白县模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，点2a5=a10，且S5=120．求a n和S n．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据题意，求出等差数列的首项a1和公差d，即可求出通项公式a n与前n项和S n．
解答：解：设等差数列的首项为a1，公差为d，
则S5=5a1+d=120，
∴a1+2d=24；
又2（a1+4d）=a1+9d，
∴a1=d；
∴a1=8，d=8；
∴a n=a1+（n﹣1）d=8n，
∴S n===4n2+4n．
点评：本题考查了等差数列的应用问题，解题时应熟记等差数列的通项公式a n与前n项和公式S n，并能灵活运用，是基础题．
21．（2014?宜宾二模）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+4．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有S n≥S8成立，求a1的取值范围．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式能求出公差d=1．
（Ⅱ）由S n≥S8成立，得到在n=8时
取最小值，由此能求出a1的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+4，
∴，
解得公差d=1．…（5分）
（Ⅱ）由S n≥S8成立，
有在n=8时取最小值，…（8分）
∵n∈N*，∴，即：﹣8≤a1≤﹣7，
∴a1的取值范围是[﹣8，﹣7]．…（12分）
点评：本题考查等差数列的公差和首项的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．
22．已知3个数成等差数列，和为12，若第3个数加上2后，此3个数成等比数列，若由这三个数构成的等差数列是递增的，求这个数列的前n项之和S n．
考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．
专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析：本题先根据条件3个数成等差数列设出这三个数，再利用条件“和为12，若第3个数加上2后，此3个数成等比数列，”得到两个关系式，从而求出该数列的首项和公差，再求出这个数列的前n项之和S n．
解答：解：∵3个数成等差数列，
∴设这三个数分别为：a1，a1+d，a1+2d，
∵3个数的和为12，若第3个数加上2后，此3个数成等比数列，
∴，
∴或，
∵由这三个数构成的等差数列是递增的，
∴．
∴这个数列的前n项之和S n=2n+=n2+n．
即这个数列的前n项之和S n=n2+n．
点评：本题考查了等差数列的通项、前n项和公式，以及函数方程思想，本题难度不大，属于基础题．
23．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=﹣7，S6=﹣24．
（1）求等差数列{a n}的前n项和S n；
（2）当n为何值时，数列{}有最小项，并求出最小项的值．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由a2=﹣7，S6=﹣24，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出
等差数列{a n}的前n项和S n．
（2）由，得到=n﹣10+，利用均值定理能求出当n=10时，数列{}有最
小项10．
解答：解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=﹣7，S6=﹣24，
∴，解得a1=﹣9，d=2，
∴S n=﹣9n+=n2﹣10n．
（2）∵，
∴=
=n﹣10+≥2﹣10=10．
当且仅当n=，即n=10时，
数列{}有最小项，最小项的值为10．
点评：本题考查等差数列的前n项和的求法，考查数列中最小项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．
24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=S12，公差d＜0，求S n的最值．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件推导出a4+a12=0，从而得到a8=0，由d＜0，得到前7项均为正，第8项为0，后面的项都是负数，由此求出S n的最大值为S7或S8．
解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=S12，公差d＜0，
∴S12﹣S3=0，
∴a4+a5+…+a12=0，
《等差数列及其前n项和》(解析版)
§6.2 等差数列及其前n 项和 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编 2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B 解析 由已知可得??? ?? a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30， 解得??? a 1 ＝26 3， d ＝－4 3， ∴S 8＝8a 1＋8×7 2 d ＝32. 3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180
解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠 4．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范 围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875
《等差数列前n项和公式》教学设计53171
《等差数列的前n项和》教学设计 一、设计理念 让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 二、背景分析 本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 三、学情分析 1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。 2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。 四、教学目标 1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法； 2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题； 3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力； 4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；五、教学重点与难点
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和 1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点) 2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点) [基础·初探] 教材整理等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和公式 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式S n＝n a1＋a n 2S n＝na1＋ n n－1 2d 2.等差数列前n项和公式的函数特点 S n＝na1＋n n－1 2d＝ d 2n2＋? ? ? ? ? a1－ d 2n. d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．() (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.() (3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．() 【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式． (2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式． (3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√
[小组合作型] 与S n 有关的基本量的计算 (1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1 2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4； (3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换． 【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1 2·? ?? ?? －12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×? ???? －12＝－4. (2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋ 5×5－1 2 d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24 5， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48 5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ， 又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以????? 1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1 2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得
第2讲等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37
解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________.
最新2.3等差数列的前n项和第一课时教案
§2.3 等差数列的前 n 项和 授课类型：新授课 （第1课时） 一、教学目标 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。 二、教学重点 等差数列n 项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点 灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程 1、课题导入 “小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。” 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101； 2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规 律性的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 2、讲授新课 （1）等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ② ①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2 )(1n n a a n S +=
等差数列及其前n项和
第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 课下练兵场 一、选择题 1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( ) A.1 B.5 3 C.2 D.3 解析：∵S 3＝ 13() 2 a a +＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝ 31() 2 a a +＝2. 答案：C 2.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝ ( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析：∵(a 3＋a 5)－(a 2＋a 4)＝2d ＝6，∴d ＝3，a 1＝－4， ∴S 10＝10a 1＋10(101)2 d ?-＝95. 答案：C 3.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋ c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列， 但a b ＋c b ≠2. 答案：B
4.数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{ 1 1 n a +}是等差数列，则a 4＝ ( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：设数列{ 11n a +}的公差为d ，由4d ＝611a +－211a +得d ＝16，∴411 a +＝1 2＋1＋ 2×16，解得a 4＝1 2. 答案：A 5.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.84 解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：C 6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最 大的是 ( ) A . 1 1S a B .88S a C .99 S a D .1515S a 解析：由于S 15＝ 11515() 2 a a +＝15a 8＞0， S 16＝ 11615() 2 a a +＝8(a 8＋a 9)＜0， 所以可得a 8＞0，a 9＜0. 这样 11S a ＞0，2 2S a ＞0，…，88S a ＞0，99S a ＜0，1010S a ＜0，…，1515S a ＜0， 而S 1＜S 2＜…＜S 8，a 1＞a 2＞…＞a 8， 所以在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最大的是88S a . 答案：B 二、填空题 7.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝ . 解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1 a n ，
等差数列前n项求和
2．3 等差数列的前n 项和 一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。 二、基础知识 1、数列前n 项和公式： 一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则 ＝m m b a _____________。 三、典例分析 例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。 解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等
高中数学必修五《等差数列的前n项和》名师教学设计
《等差数列的前n项和》教学设计 一．教学目标： （1）掌握等差数列前n项和公式的推导和应用； （2）体会方程、函数和数形结合的数学思想； （3）发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等学科核心素养； （4）感受数学文化，品味数学魅力. 二．教学重点：等差数列前n项和公式的推导及应用 教学难点：等差数列前n项和公式的推导 三．教学过程： （一）公式探究 公元前4世纪，古希腊毕达哥拉斯学派数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种有形数。比如：三角形数：1，3，6，10，...... 1 3 6 10 ...... 问题1：三角形数的第100个数是？ 【学生活动】分组讨论，展示成果 问题2：三角形数的第n个数是？ 【学生活动】分组讨论，展示不同方法，在比较争论中感悟倒序相加的优势 追问1：为什么要对和式配对？ 追问2：为什么要倒序相加？ 追问3：能再举出一个可以用倒序相加法求和的数列吗？ 追问4：所有等差数列都可以用倒序相加法求和吗？ 【学生活动】回答问题，相互补充 小结：我们借助“倒序相加”这一手段，将和式转化为n个相同数求和的问题，实现了化多为少的目的，而最终这一目的可以达到的根本原因是：等差数列自身的性质。 （二）公式应用
问题3：在等差数列{}n a 中， （1）1503,101a a ==，求50S ； （2）113,2 a d ==，求10.S 由（2）推导公式：1(1)2n n n d S na -=+ . 问题4：在等差数列{}n a 中，已知1315,,222 n n d a S ===-，求1a 及n . （三）感悟提升 问题5：回顾刚刚的探究过程，我们有什么收获？ 【学生活动】展开讨论，总结收获 1. 数学知识： （1）1()2n n a a S += （2）1(1)2 n n n d S na -=+ 2. 数学方法：倒序相加（除了可以对等差数列求和还可以对哪些数列求和？） 3. 数学思想：数形结合，方程思想，函数思想 4. 数学文化：北宋时期的沈括提出了隙积术，南宋时期的杨辉发明了垛积术； 《九章算术》、《张丘建算经》等我国经典数学著作中都研究过等差数列的求和问题。
等差数列及其前n项和(普通高中)
课时跟踪检测（二十九） 等差数列及其前n 项和 (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144 D ．288 解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32 ＝72. 法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2 ＝72. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( ) A ．20 B ．36 C ．24 D ．72 解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12， 得????? 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得????? a 1＝0， d ＝1， ∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24. 3．(2018·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1－a n ＝－23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－23 n .∵a k ·a k ＋1<0， ∴????473－23k ????453－23k <0，∴452 等差数列前n项和公式教学案例分析 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《等差数列前n项和公式》教学案例分析教学案例： 一、教学设计思想 本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。 本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。 在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 二、学生情况与教材分析 1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课； 2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。 三、教学目标 1、知识目标 （1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法； （2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 第1讲 等差数列及其前n 项和 一、填空题 1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3 9＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 5．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 7．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N * )，且? ?????????a n ＋λ2n 为等差数列， 则λ的值是________． 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 10．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 二、解答题 11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n . (1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值； (2)设b n ＝S n n ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值． 2.2 等差数列的前n项和 第一课时等差数列前n项和公式及性质 【选题明细表】 基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31 解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A. 等差数列的前n项和 一、教学内容分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书?数学（5）》（人教A版）中笫二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）.本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用?等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题.同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法. 二、学生学习情况分析 在本节课之询学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想?高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍. 三、设计思想 建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构.在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主.合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习.同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的. 四、教学目标 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n 项和公式；了解倒序相加法的原理； 2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质. 五、教学重点和难点 本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得. 六、教学过程设计.V ? ? ? '、 （一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝??：?：?：?：?：?：?：?：?：？石镶饰而成，共有100 层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ §2.3等差数列的前n 项和导学案（第一课时） 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美. 重点：等差数列前n 项和公式及其应用. 难点：等差数列前n 项和公式的推导思路的获得. 复习回顾 1.数列{}n a 的前n 项和的概念： 一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和， 用n S 表示，即=n S 2.n S 与n a 的关系：(1)(2) n n a n =?=?≥? 3.等差数列}{n a 中，若m+n=p+q,(m,n,p,q 为常数)则有： ； 一般地，1n a a += = ...... 问题一：一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。 这个V 形架上共放着多少支铅笔？ 思考： (1)问题转化求什么？能用最短时间算出来吗？ (2) (3)如果换成１+２+３+…+200=？我们能否快速求和？ 问题二：?n 321S n =+?+++=（小组讨论，总结方法） 高斯算法： 倒序相加法： 探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？ 问题三：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，如何计算前n 项和n S ？ 新知：等差数列前n 项和公式： 公式一： 公式二： 问题四 ：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？ 公式一： 公式二： 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？ 等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一） （2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二） 二、对于等差数列前n 项和公式的应用 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项． 解 依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ， 再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而 直接去求，所列方程组化简后可得 ＋ ＋ 相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和． 解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为 精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质： 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥?? （2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量． 【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ． （62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（） 等差数列的前n 项和（1） 学习目标1．理解数列前n 项和的概念；2．会推导等差数列前n 项和的公式； 3．会应用等差数列前n 项和公式解题。 学习重点和难点 1．重点：等差数列通项公式的推导及应用； 2．难点：等差数列公式的推导。 学习过程：一．自学、思考 （一）问题导引 等差数列前n 项和n S =1a +2a +…+1-n a +n a . n S =n a +1-n a +…+2a +1a . 由倒序相加法可得 2n S = 即n S = 如果带入等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=，n S 也可以用首项1a 与公差d 表示，即 n S =＿ ＿＿还可以写成n S =＿＿ ＿ （二）知识的应用 例1．已知等差数列{}n a 中184,18a a =-=-，求8S ； 练习：根据下列条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数： （1）120a =，54n a =，999n S =，求d 及n ；（2）1 3 d =，37n =，629n S =，求1a 及n a ； （3）156a =，1 6 d =-，5n S =-，求n 及n a ；（4）2d =，15n =，10n a =-，求1a 及n S . 例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 练习1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； 练习2.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若734 a a ?=2a , 832S =,求10S . 练习3.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n. n n m n k k +m k +2m 等差数列及其前 n 项和（讲义） 知识点睛 一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法 （1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法 ①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质 （1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列 二、 等差数列 1. 等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示． （1） 等差中项 （2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ． 2. 等差数列的性质 （1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N * ) ． （2） 若{a }是等差数列，且k + l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ． （3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列． （4） 若{a n }是等差数列，则{λ a n + c }也是等差数列． 1 n n n （5） 若{a }，{b }是等差数列，则{ p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n n n n 差数列． 三、 等差数列的前 n 项和 1 . 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示， 即 S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ． 等差数列{a n }的前 n 项和公式 （1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ． 1 n n 2 （2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2 . 等差数列各项和的性质 = na 1 + n (n -1) d ． 2 （1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列． （2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S 2n -1 ． T 2n -1 （3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件． （4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值： 当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值； 当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值． 2等差数列前n项和公式教育教学案例分析
等差数列及其前n项和练习题
等差数列前n项和公式及性质
等差数列的前n项和教学案例
等差数列前n项和1-导学案(公开课)
等差数列的前n项和公式推导及例题解析
等差数列前n项和性质
等差数列的前n项和(1)
等差数列及其前n项和(讲义及答案)