理论力学(机械工业出版社)第十二章动能定理习题测验解答
习 题
12–1 一刚度系数为k 的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m 的物块A 相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ，不计摩擦力，试求作用于重物A 上所有力的功的总和。
图12-23
))((2
sin 2st 2
st s k s mg W +-+
?=δδθ 2st 2
sin s k
s k mgs --=δθ
22
s k -=
12–2 如图12-24所示，在半径为r 的卷筒上，作用一力偶矩M=a ?+b ?2
，其中?为转角，a 和b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。设重物B 的质量为m ，它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。
图12-24
3
22π40
π3
64π8d )+ (d b a b a M W M +
===?
????? mgr r mg W F π4π4μμ-=?-=
)3π16π6π(3
4
π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑
12–3 均质杆OA 长l ，质量为m ，绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为θ，
试求杆的动能。
图12-25
x x l m
x x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω===
θωθω2220222k sin 6
1
d )sin 2(ml x x l m E l ?==
12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动，质量为
m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下，如图12-26所示。试求
系统的动能。
图12-26
])30sin ()30cos [(2
1
2
122221k ?++?+=u v u m v m E
)30cos 2(212122221?+++=uv v u m v m
)3(2
1
2122221uv v u m v m +++=
12–5 如图12-27所示，滑块A 质量为m 1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB ，杆AB 长为l ，质量为m 2。当AB 杆与铅垂线的夹角为?时，滑块A 的速度为A v ，杆AB 的角速度为ω。试求在该瞬时系统的动能。
图12-27
AB A E E E k k k +=
22222221)12
1(21])sin 2()cos 2[(2121ω?ω?ωl m l l v m v m A A ++++= )12
1cos 41(212122222
221ω?ωωl lv l v m v m A A A ++++=
)cos 3
1(2121222
221?ωωA A A lv l v m v m +++=
12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规
尺都是均质细杆，其质量分别为m 1和2m 1，且OC=AC=BC=l ，如图12-28所示。滑块A 和B 的质量都等于m 2。如作用在曲柄上的力偶矩为M ，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
图12-28
ωl v C = ωω=AB ?ωω?cos 2cos 2l l v AB A =?= ?ωsin 2l v B = B A AB OC E E E E E k k k k k +++=
)(2
1])2)(2(121[21)2(21)31(212
2222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω
22222122122142
13161ωωωωl m l m l m l m ?+++=
22212
43ωl m m +=
?M W =∑
动能定理
?ωM l m m =+2
2212
43 2
21)43(l m m M
+=
α
12–7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA 上作用有一力偶矩为M 的常力偶，如图12-29所示。若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB =2π，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m 1，长为r 且为均质细杆；导杆质量为m 2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值F ，不计滑块A 的质量。
图12-29
01k =E
2221222212k )3(6
1
)(2161ωωωr m m r m r m E +=+=
Fr M W 4π2-=∑
动能定理
)2(π2)3(6
1
2221Fr M r m m -=+ω 2
12213)2(π32)3()2(π12m m Fr M r r m m Fr M +-=
+-=ω
12–8 半径为R 质量为m 1的均质圆盘A 放在水平面上，如图12-30所示。绳子的一端系在圆盘中心A ，另一端绕过均质滑轮C 后挂有重物B 。已知滑轮C 的半径为r ，质量为m 2；重物B 质量为m 3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物B 下落的距离为h 时，圆盘中心的速度和加速度。
图12-30
01k =E
23222212k 21
))(21(2143v m r v r m v m E ++=
2321)23(4
1v m m m ++=
gh m W 3=∑
动能定理
gh m v m m m 32321)23(4
1
=++ 3
213234m m m gh
m v ++=
3
213232m m m g
m a ++=
12–9 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为θ，在链轮B 上作用一力偶矩为M 的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物A 的质量为m 1，链轮B 、C 的半径均为r ，质量均
为m 2，且可看成均质圆柱。试求传运机链条的速度，以其位移s 表示。不计链条的质量。
图12-31
01k =E
2))(21(2121222212k ?+=r v
r m v m E
221)(21v m m +=
r
s gr m M gr m M W )
sin (sin 11θθ??-=-=∑ 动能定理
r
s gr m M v m m )sin ()(2
11221θ-=+
)()sin (2211m m r s gr m M v +-=
θ )
(sin 211m m r gr m M a +-=
θ
12–10 如图12-32所示，质量为m 1的直杆AB 可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m 2、倾角为θ的光滑的楔块C 上，楔块又放在光滑的水平面上。由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。
图12-32
θtan C AB v v =
01k =E
2
2212k 2
121C
AB v m v m E += 2
22212
1tan 21C
C v m v m +=θ 2
221)tan (2
1C v m m +=θ
θ
tan 1gs m W =∑
动能定理
θθtan )tan (2
112
221gs m v m m C =+
2
211tan tan m m g m a C +=
θθ
2
2121tan tan tan m m g m a a C AB
+=
=θθ
θ
12–11 如图12-33所示，均质细杆长为l ，质量为m 1，上端
B 靠在光滑的墙下，下端A 用铰链与圆柱的中心相连。圆柱质量
为m 2，半径为R ，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。如杆与水平线的夹角θ=45°，不计滚动摩擦，试求
A 点在初瞬时的加速度。
图12-33
分析任意位置 01k =E
θωsin l v A AB = θωsin 22A
AB C v l
v =
=
221212
22k )sin )(121(21)sin 2(2143θ
θl v l m v m v m E A A A ++=
θ22
12
2sin 643A A v m v m +
= 2
212)9sin 2(121A
v m m +=θ )sin 45(sin 2
1θ-?=∑gl
m W
动能定理
)sin 45(sin 2
)9sin 2(12112
212θθ-?=+gl m v m m A 对时间求导，注意 AB
ωθ-=&
θθθθθθcos 2)sin cos 2(612)9sin 2(121132
1212&&gl m v m a v m m A A A -=-++ θθθθθθcos sin 2)sin sin cos 2(61)9sin 2(611321212l v gl m l v v m a v m m A A A A A ?=?++ θθθθcot 2
)sin cos (31)9sin 2(611421212g m l v m a m m A A =++ 初瞬时(?=45θ)， v A =0
故
2
)94(61121g m a m m A =+ 2
11943m m g
m a A +=
12–12 如图12-34所示，绳索的一端E 固定，绕过动滑轮
D 与定滑轮C 后，另一端与重物B 连接。已知重物A 和B 的质量
均为m 1；滑轮C 和D 的质量均为m 2，且均为均质圆盘，重物B 与水平面间的动摩擦因数为μ。如重物A 开始时向下的速度为v 0，试求重物A 下落多大距离时，其速度将增加一倍？
图12-34
20120222
022011k )2(21)2)(21(214321v m r v r m v m v m E +++= 20214710v m m +=
1k 2k 4E E =
gh m m h g m gh m gh m W ])21([221121+-=?-+=∑μμ
动能定理
gh m m E ])21([3211k +-=μ gh m m v m m ])21([4)710(3212
021+-=+μ ]
)21([4)710(3212120m m g m m v h +-+=
μ
12–13 如图12-35所示，均质直杆AB 重100N ，长AB =200mm ，两端分别用铰链与滑块A 、B 连接，滑块A 与一刚度系数为k =2N/mm 的弹簧相连，杆与水平线的夹角为β，当β=0o
时弹簧为原长。摩擦与滑块A 、B 的质量均不计。试求：（1）杆自β=0°处无初速地
释放时，弹簧的最大伸长量。（2）杆在β=60°处无初速地释放时，在β=30°时杆的角速度。
图12-35
(1) 01k =E 02k =E
)0(2
22
max max
δδ-+=∑k G
W 动能定理 02
22
max max =-δδk G
mm 502
100max ===k G δ
(2) 01k =E
ω2
l v C =
222222k 6
1)121(2121ωωml ml mv E C =+=
])30sin ()60sin [(2
)30cos 60(cos 222?-?+?-?=∑l l k
l mg W
24
431l k mgl +-=
动能定理 2
224
4
316
1l k mgl ml +
-
=ω m
k
l g 464)31(6+-=
ω
)31(23mg kl l g +-= )100
200
231(2.028.93?+-??= rad/s 50.1519.240==
12–14 在图12-36所示的系统中，物块M 和滑轮A 、B 的
质量均为m ，且滑轮可视为均质圆盘，弹簧的刚度系数为k ，不计轴承摩擦，绳与轮之间无滑动。当物块M 离地面的距离为h 时，系统处于平衡。现在给物块M 以向下的初速度v 0，使它恰能到达地面，试求物块M 的初速度v 0。 图12-36
2
0202201k )2
(4
3))(2
1(212
1v m r
v mr mv E ++=
2016
15mv =
02k =E ])2
([222st 2st h
k h mg
mgh W +-+-=∑δδ 8
)2(22
2kh h k -
=-= 动能定理
8
1615022
0kh mv -=-
m
k h v 1520=
12–15 两均质直杆，长均为l ，质量均为m ，在B 处用铰链连接，并可在图12-37所示的铅垂平面内运动，AB 杆上作用有一力偶矩为M 的常力偶。如在图示位置从静止释放，试求当A 端碰到支座O 时，A 端的速度v A 。
图12-37
01k =E
杆AB 任意θ时 θθθ2sin )290cos(sin B B A v v v =-?= θ
cos 2A B v v =
当0=θ时 2A B v v = OB A B
AB l
v l v ωω==
=2 A C v v 43=
222222
k )2(61)2)(121(21)43(21l
v
ml l v ml v m E A A A ++=
2
3
1A mv =
2)cos 1(2
?--=∑θθl
mg M W
)cos 1(θθ--=mgl M
动能定理
)cos 1(3
12
θθ--=mgl M mv A )]cos 1([3θθ--=gl m
M v A
12–16 质点在变力k j i F 12010)(180602--+=t t 的作用下沿空间曲线运动，其矢径k j i r 2243128)(3)(2t t t t t -+-++=，试求力F 的功率。
k j i r v t t t t 42)2(12)1(632--++==&
t t t t t t t P 2880201203602160603603353++--++=?=v F t t t 2960120216035+-=
12–17 如图12-38所示，汽车上装有一可翻转的车箱，内装有5m 3
的砂石，砂石的密度为2296kg/m 3
。车箱装砂石后重心C 与翻转轴A 之水平距离为1m ，铅垂距离为0.7m 。若使车箱绕A 轴翻转的角速度为0.06rad/s ，试求当砂石倾倒时所需要的最大功率。
图12-38 重力与A 轴的最大距离为 m 1=h
kW 75.6W 675006.018.952296==????===ωρωVgh mgh P
12–18 一载重汽车总重100kN ，在水平路面上直线行驶时，空气阻力F R =0.001v 2
（v 以m/s 计，F R 以kN 计），其它阻力相当于