函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析 (同济大学第六版高等数学)
一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=
,其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ,其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ,其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0,1],则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0,2] ,则)(2
x f y =的定义域为 。
6、43
2lim
23=-+-→x k
x x x ,则k= 。 7、函数x
x
y sin =
有间断点 ,其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ,x
x
x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n
n n
n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→3
52352)
23)(1(lim
x x x x x x 。 12、3)
2
1(lim -∞
→=+e n
kn
n ,则k= 。
13、函数2
31
22+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时,
x
1
是比3-+x 15、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x
e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设1
1
3
--=
x x y ,则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=??
?
??πf ,则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设??
???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x
x
x f x 若)(lim 0
x f x →存在 ,则a= 。 20、曲线2sin 2
-+=x x
x y 水平渐近线方程是 。
21、1
14)(2
2-+
-=
x x x f 的连续区间为 。
22、设?
??>≤+=0,cos 0
,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数
a= 。
二、计算题
1、求下列函数定义域 (1)2
11
x
y -= ; (2)x y sin = ;
(3)x
e y 1= ;
2、函数)(x f 和)(x g 是否相同?为什么? (1)x x g x x f ln 2)(,ln )(2
== ;
(2)2)(,)(x x g x x f == ;
(3)x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ;
3、判定函数的奇偶性
(1))1(2
2
x x y -= ; (2)3
2
3x x y -= ;
(3))1)(1(+-=x x x y ;
4、求由所给函数构成的复合函数 (1)22
,sin ,x v v u u y === ;
(2)21,x u u
y +== ;
(3)x v e u u
y v sin ,,2=== ;
5、计算下列极限 (1))2141211(lim n n ++++
∞
→ ; (2)2)
1(321lim n
n n -++++∞→ ;
(3)35
lim 22-+→x x x ; (4)1
12lim 221-+-→x x x x ;
(5))12)(11(lim 2x x x -+∞→ ; (6)22
32)
2(2lim -+→x x x x ;
(7)x x x 1
sin lim 2
0→ ; (8)x
x x x +---→131lim 21 ;
(9))1(lim 2
x x x x -++∞
→ ;
6、计算下列极限 (1)x wx x sin lim 0→ ; (2)x
x
x 5sin 2sin lim 0→ ;
(3)x x x cot lim 0
→ ; (4)x
x x
x )1(
lim +∞
→ ;
(5)1
)1
1(lim -∞→-+x x x x ; (6)x x x 1
0)1(lim -→ ;
7、比较无穷小的阶
(1)3
2
2
20x x x x x --→与,时 ;
(2))1(2
1112
x x x --→与,时 ;
8、利用等价无穷小性质求极限
(1)3
0sin sin tan lim x x x x -→ ; (2)),()(sin )
sin(lim
0是正整数m n x x m n x → ;
9、讨论函数的连续性
。
在???=>-≤-=11
,31
,1)(x x x x x x f
10、利用函数的连续性求极限
(1))2cos 2ln(lim 6
x x π
→
; (2))(lim 22
x x x x x --
++∞
→ ;
(3)x x x sin ln
lim 0
→ ; (4)x
x x
2)11(lim +∞→ ;
(5))1
1
(lim ,)
1(lim )(1
--=+
→∞
→t f n
x x f t n
n 求设 ;
(6))1
1
ln(
lim +-∞
→x x x x ;
11、设函数???≥+<=0
,0
,)(x x a x e x f x
应当怎样选择a ,使得)()(∞+-∞,成为在x f 内的连续函数。
12、证明方程135
=-x x 至少有一个根介于1和2之间。
(B )
1、设)(x f 的定义域是[0 ,1] ,求下列函数定义域 (1))(x
e f y = (2))(ln x f y =
2、设???>-≤=???>≤=0
,0
,0)(0,,0)(2
x x x x g x x o x x f 求
)]([,)]([,
)]([,)]([x f g x g f x g g x f f
3、利用极限准则证明: (1)111lim =+
∞
→n n (2)1]1
[lim 0=+→x
x x ;
(3)数列 ,222,22,2+++的极限存在 ;
4、试比较当0→x 时 ,无穷小232-+x
x
与x 的阶。
5、求极限
(1))1(lim 2
x x x x -++∞
→ ; (2)1
)1
232(
lim +∞
→++x x x x ; (3)30sin tan lim x
x
x x -→ ;
(4))0,0,0()3
(
lim 1
0>>>++→c b a c b a x x x x x ;
6、设?????
≤+>=0
,0,1sin
)(2
x x a x x
x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续, 应当怎样选择数a ?
7、设?????≤<-+>=-0
1,)1ln(0,)(11x x x e x f x 求)(x f 的间断点,并说明间断点类型。
(C )
1、已知x x f e x f x -==1)]([,
)(2
? ,且0)(≥x ? ,求)(x ?并写出它的定义域。
2、求下列极限:
(1)、]ln cos )1ln([cos lim x x x -++∞
→ ;(2)、x
x
x x x cos sin 1lim
-+→ ;
(3)、求x
x x x 2sin 3553lim 2?++∞→ ;(4)、已知9)(lim =-+∞→x
x a x a x ,求常数a 。
(5)、设)(x f 在闭区间],[b a 上连续 ,且b b f a
a f <>)(,)( ,
证明:在开区间),(b a 内至少存在一点ξ ,使ξξ=)(f 。
第一章 函数与极限 习 题 解 析
(A )
一、填空题 (1)]2,
1( (2)),1(∞+- (3)[2 ,4]
(4){}z k k x k x ∈+≤≤,)12(2ππ (5)]2,
2[-
(6)-3 (7)0;,=∈=x z k k x π (8)2 (9)1
(10)充分 (11)
21 (12)2
3
- (13)x=1 , x=2 (14)高阶 (15)同阶 (16)二 (17)可去 (18)2 (19)-ln2 (20)y=-2 (21)]2,1(]1,2[ - (22)1 二、计算题
1、(1) ),1()1,1()1,(∞+---∞
(2) ),0[∞+ (3)),0()0,(∞+-∞
2、(1)不同,定义域不同 (2)不同,定义域、函数关系不同
(3)不同,定义域、函数关系不同 3、(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数
4、(1)[]
22)(sin x y = (2)]1[2x y += (3)][sin 2x
e
y = 5、(1)[ 2 ] (2)]2
1
[ (3)-9 (4)0 (5)2 (6)∞ (7)0 (8)22- (9)2
1 6、(1)w (2)
5
2 (3)1 (4)1-e (5)2e (6)1-e 7、(1)的低阶无穷小是3
2
2
2x x x x -- (2)是同阶无穷小
8、(1)21 (2)??
?
??>∞= m n m n m ,,1,0 9、不连续 10、(1)0 (2)1 (3)0 (4)2 e (5)0 (6)-2 11、a=1 (B ) 1、(1)提示:由10≤≤x e 解得:]0,(∞-∈x (2)提示:由1ln 0≤≤x 解得:],1[e x ∈ 2、提示:分成o x ≤和0>x 两段求。)()]([x f x f f = ,0)]([=x g g , 0)]([=x g f , )()]([x g x f g = 4、(1)提示:n n 11111+<+ < (2)提示:x x x x x x 1 ]1[)11(?<<- (3)提示:用数学归纳法证明:222=+ 5、提示:x x x x x x x 1312232-+-=-+ 令t x =-12(同阶) 6、(1)提示:乘以x x ++12 ; 21 (2)提示:除以x 2 ;e (3)提示:用等阶无穷小代换 ;2 1 (4)提示: x x x x c b a 1 )3 ( ++ x c b a c b a x x x x x x x x x c b a 31 111113 13111-+-+--+-+-? ? ? ????????????????? ??+-+-+-=(3abc ) 7、提示:)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+ - →→ (0=a ) 8、1=x 是第二类间断点 ,0=x 是第一类间断点 (C ) 1、解:因为()[]x e x f x -==1) (2 ? ? ,故)1ln()(x x -=? ,再由0)1ln(≥-x , 得:11≥-x ,即0≤x 。所以:) 1ln()(x x -=?,0≤x 。 2、解:原式=)cos sin 1(cos sin 1lim 20x x x x x x x x ++-+→=x x x x x 20sin sin 21lim +?→ =)sin (sin lim 2 10x x x x x +?→=0 3、解:因为当∞→x 时 ,x x 2 ~2sin , 则x x x x 2sin 3553lim 2?++∞→=x x x x 23553lim 2?++∞→=x x x x 35106lim 22++∞→=5 6 4、解:因为:9=x x a x a x )(lim -+∞→=x x x a x a ? ????? ? ? -+∞→11lim =a a e e -=a e 2 所以92=a e ,3ln =a 5、证明:令x x f x F -=)()( ,)(x F 在[]b a ,上连续 ,且 0)()(>-=a a f a F ,0)()(<-=b b f b F 。由闭区间上连续函数的零点定理 ,在开 区间),(b a 内至少存在一点),(b a ∈ξ ,使0)(=ξF ,即ξξ=)(f 。 如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!