高考一轮复习专题3-7：函数的对称性
第七节：函数的对称性
题型26、函数图像自身对称问题（加法）
? 知识点摘要：
? 轴对称
①)(x f -=)(x f ?函数)(x f 图象关于y 轴对称；
②)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =-?()(2)f x f a x -=+?函数)(x f 图象关于a x =对称； ③函数)(x f 定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f 的图象关于直线2b a x +=
对称。
? 中心对称
①)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；
②)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =--?)2()(x a f x f +-=-?函数)(x f 图象关于(,0)a 对称；
③b x a f x a f 2)()(=++-?b x f x a f 2)()2(=+-?函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称；
④若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2
2(c b a ，+对称。
? 典型例题精讲精练：
1. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为 1=x
2. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为 （-2，0）
3. 函数()121x f x x
-=+，该函数图象的对称中心是 .()1,2.--
4. (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )C
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
题型27、函数对称性与函数周期性的关系
? 知识点摘要：
? 函数对称性与函数周期性的关系（参考正余弦函数理解）：
①若函数)(x f y =有两条对称轴a x =，b x =，则函数)(x f 是周期函数，且||2b a T -=； ①若函数)(x f y =有两个对称中心),(c a ，),(c b ，则函数)(x f 是周期函数，且||2b a T -=；
①若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ，则函数)(x f 是周期函数，且||4b a T -=。
? 典型例题精讲精练：
1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 2
1)(-=，则=)6.8(f ___________0.3
2. （2005年广东卷I ）设函数)(x f 在R 满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间
［0，7］上只有0)3()1(==f f 。方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数有 个。802
3. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1=x 对称，则：=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _____________0
题型28、两个函数图像对称的问题（减法）
? 知识点摘要：
? 两个函数图象之间的对称关系：
①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y 轴对称；
②函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x 轴对称；
③函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于原点对称。
? 两个函数图像关于直线对称：
①函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。
②函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2
a b x -=
对称。
? 两个函数图像关于点对称：
①函数)(x a f y +=与函数)(x a f y --=的图象关于原点对称。
②函数)(x a f y +=与函数)(2x a f b y --=的图象关于)0(b ，对称。
③函数)(a x f y -=与函数)(x a f y --=的图象关于点)0(，a 对称。
④函数)(a x f y -=与函数)(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，对称。 ⑤若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y --=的图象关于点)02
(
，a b -对称。 ⑥若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)22(c a b ，-对称
? 典型例题精讲精练：
1. 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称。x=1（结合图像平移更好理解）
2. 已知函数)(x f 的定义域是R ，那么)6(x f y -=与)4(+-=x f y 的图像（ ）D
A.关于直线5=x 对称
B.关于直线1=x 对称
C.关于点（5,0）对称
D.关于点（1,0）对称
3. 函数12)(+=x x f ，x x g -=12)(，它们的图像（ ）C
A.关于原点对称
B.关于直线1=x 对称
C.关于点y 轴对称
D.既不中心对称也不轴对称