第七节多自由度系统中的阻尼

第七节 多自由度系统中的阻尼

（教材）

前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。

有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。

有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为

[]{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。

由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ

代入方程（5-60）并前乘以[]T

Φ，得

[][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{}

()T T T

T

M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）

因 [][]

[][]T

I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T

k Λ=ΦΦ

{}[]{}()()T

P t F t =Φ

∴ {}[][][]{}[]{}{}()T

z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ）

而[][][]T

C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能

使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出

{}{}{}12

31112,

0,2111u u u ???????

??===?????????-??

??

?

?

m 1

m 2m 3

k 3

k 1

2

x 1

x 3

k 2

k 4

c

阻尼矩阵为

[]00

00000

C c ????=??????

∵

{}[]{}12

00011

21000000

1T

u C u c c ??

????

????==-≠??????

??-????

??

∴ [][][]T

C ΦΦ不是对角矩阵。

可以证明，利用系统的无阻尼振型矩阵[]u 或[]Φ使系统 阻尼矩阵[]C 实现对角化的充分必要条件为

[][][][][][]11

C M k k M C --=

特殊情况：

一、 如果原广义坐标的阻尼矩阵[]C 刚好与质量矩阵或刚 度矩阵成正比，或者[]C 是它们的线性组合，即

[][][]C M k αβ=+

其中α和β为正的常数。称这种阻尼为比例阻尼。对于这种比例阻尼，当原广义坐标变换为正则坐标时，正则坐标的阻尼矩阵是对角矩阵：

[][][][]()[]

[][][][][][]

T

n T T

C M k M k αβαβ=Φ+Φ=ΦΦ+ΦΦ

2

1

2

2

2

n

n nn αβωαβωαβω??

+??+??=???

?+????

令第 i 阶模态阻尼为 2

(1,2,.)i ni c i n αβω=+=。对应

的第 i 阶模态阻尼比为

2

(1,2,.)22i ni

i ni ni

c i n αβωζωω+==

=

则正则坐标的阻尼矩阵可写成另外一种形式

[]1122

222n n n n nn C ζωζωζω?????

?=?

???

?

? 可见，比例阻尼是使[]C 成为对角矩阵的一种特殊情形。

二、 工程上大多数情况下，正则坐标中的阻尼矩阵

[][][]T

C ??不是对角矩阵。然而，工程上的大多数振动系

统中，阻尼都比较小，而且由于各种阻尼的机理至今还没有完全搞清楚，精确测定阻尼的大小也还有很多困难。所以往往采用一种近似的方法，把

[][][]1112

12122212

n T n n n nn c c c c c

c C c c c ??????ΦΦ=

???

???

中非对角元素都改为零，而只保留对角元素原有的数值，于

是得到对角阻尼矩阵

[][][][]1122000000T n nn c c

C C c ????

??ΦΦ=

=???

???

上式[]n C 称为正则振型的阻尼矩阵，

ii c 称为第 i 阶正则振型的阻尼系数。如采用相对阻尼比表示，有

[]11

22

222n n n n nn C ζωζωζω?????

?=

?????

?

式中 ,(1,2,.)2ii

i ni

c i n ζω==，为第 i 阶正则振型的相对阻尼比。

对于上面两种情况，用[]n C 代替[][][]T

C ΦΦ之后，方程（b ）变成如下形式

{}[]{}[]{}{}()n z C z z P t ++Λ=

它的展开式为

2

11111112222222222()

2()2()n n

n n n n nn n nn n n

z z z P t z z z P t z z z P t ζωωζωωζωω?++=?++=???

?++=? 这是一组n 个相互独立的二阶常系数线性微分方程组，彼此可以独立求解。这样，把有阻尼的多自由度系统的振动问题，

简化为n 个正则坐标的单自由度系统的振动问题。

如果正则坐标的初始值为{}0z 和{}0z ，类似于单自由度系统的结果，应用杜哈美积分，有

()

00

0()

1,2,,()cos sin 1()sin (),i i i ni i ni t i ni i i i di di di

t

t di di i n z z z t e

z t t P e t d ζωζωτζωωω

ωτωττω

?

?

? ? ??

?

---=+=+

+-?

式中 2

1,(1,2,

,)di i ni i n ωζω=-=。

将所得{}z 代入

{}[]{}x z =Φ

就可以得到原广义坐标在有阻尼情况下对激励的响应。