高一数学教案：苏教版高一数学向量的数乘3

第五课时向量的数乘

教学目标：

掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用教学重点：

实数与向量积的运用? 教学难点：

实数与向量积的运用?

教学过程：

I ?复习回顾

上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件这一

节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用

n ?讲授新课

［例1］已知口ABCD , E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE// CF.

证明：因为E、F为DC、AB的中点，

??? DE = 1 DC, BF = 2 B A ,

由向量加法法则可知：AE = AD + DE = AD + 2 D C ,

1

C F = CB + B F = CB + 2 E BA.

???四边形ABCD为平行四边形，? AD = - CB, DC = - BA,

-> -> 1 -> -> 1 -> ->

? AE=- CB-2 BA =- (CB+ 2 BA) = - CF

? At// CF, ? AE // CF

［例2］已知二ABCD的对角线AC和BD相交于点0,证明AO = OC , BO= OD.

分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及

平面向量基本定理的综合应用?

证明：??? A、0、C三点共线，B、0、D三点共线，

???存在实数入和卩，使得A0 = ZAC, B0 = 0D.

设AB= a, AD = b,则AC= a+ b, BD = b- a

? AO = Z a+ b), B0= p(b-a).

又??? A B + BO=A O ,

? a + K b—a)=入(a+ b)，即

(1 —［i—为a+ (卩一?)b= 0, 又??? a与b不共线，

由平面向量基本定理,

1 1 1

-==2 , 二AO= 2 AC, BO = 2 BD ,

即AO = OC, BO= OD.

1 ［例3］已知G ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG = - (FA + PB+ PC).

3 证明：如图，设△ ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM = 3GM，由向量中线公式有：

GM = 2 (GB+ GC)，A M = 2 (A B+AC)，

??? GB + GC=3(A B+ AC)①

A

同理可得GA+ GB = - (C A+ CB)②

3

-> -> 1 -> ->

GA+ GC= § (BA + BC) ③

由式①+②+③得：2(GA + Gfe+ GC)

=-(A B + BA+ AC + CA+ Cfe+ BC)= 0 3

?- GA + GB + GC = 0

? 3P G=P G + P G + P G

=(PA+ AG)+(P B + BG)+ (PC+CG)

=(PA+ PB+ PC)+ (A G+B G + CG)= P A+PB+ PC

1

? PG = - (PA + PB + PC).

［例4］AD、BE、CF 是厶ABC 的中线，若直线EG // AB，FG // BE.

求证：AD // GC.

证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形

所以FB = GE

又因为D是BC的中点，所以BD = DC ,

所以AD - A B=AC - AD,

所以AD = 1 (AB+ AC) = F B + EC = GE + EC = GC

所以AD = GC.

1 ［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F,求证：步I AB—CD |

1

壬F ^2 (AB + CD).

证明：如图，??? EF = EA + AB + BF ,

EF = EC+ CD + DF ,

??? 2E> = (EA+ EC)+ (AB + CD) + (BF + DF)

?/ E、F 分别是AC、BD 的中点，? EA+ EC = 0, BF + DF = 0,

-> 1 -> ->

?- EF = 2 (AB+ CD)

~--> —> —> 又V|| AB | — | CD II W| AB + CD | <| AB | + | CD | ,

? 2 | | A B | — | CD || W| EF | 冷(| A B | + | CD | ),

1 1 即

2 | AB —CD | 壬F ^2 (AB + CD).

川.课堂练习

课本P68练习1, 2 , 3.

IV.课时小结

通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的

简单应用.

V.课后作业

课本P69 习题9, 10, 12, 13

向量的数乘

1已知二ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设EA= a, EB = b,则向量BC等于( )

A. 2 a+ b

B.2 a- b

C.b—2 a

D. —b—2a

2.若A B= 5e i, CD = —7e i，且|AD|= |B C|,则四边形ABCD是( )

A.平行四边形

B.等腰梯形

C.菱形

D.梯形但两腰不相等

3. 设D、E、F分别为△ ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC = a, CA = b,给出下列命

题：① A B = - 1a —b ②B E= a + 2 b ③C F =- 2 a+ 1b ④AD + B E + C F = 0?其中正确

的命题个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

4. 若0为平行四边形ABCD的中心，AB= 4e i, BC = 6e?，贝V 3e? —

2e i等于( )

A. AO

B. BO

C. CO

D. DO

5. ______________________________________________________________________________已知向量a, b不共线，实数x, y满足等式3x a+ (10-y)b= 2x b+ (4y+ 7) a,则x= ________________ ,

y=__________.

6. 在△ ABC 中，A E = 1A B , EF // BC 交AC于点F，设AB = a, AC = b,用a、b 表示向量B F

5

为_______________ .

7. 若k e i+ e2与e i + k e2共线，则实数k的值为 ___________ .

&已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：EF = - (AB+ DC).

9. 在△ OAB中，C是AB边上一点，且B C =入(入＞0若OA= a, OB = b,试用a, b表示OC.

向量的数乘答案

47 16

1 ,

1. D 2? B 3? C 4. B 5.

6? - a + b 7.土 1

11

11

5

1

&已知任意四边形 ABCD 中，E 为AD 中点，F 为BC 的中点，求证：EF = - (A B + DC )

10?如图，OA = a , OB = b , AP = tAB (t € R)，当 P 是(1)

A 近的一个）时， 分别求OP.

证明：??? EF + FC + CD + DE = 0, EF + FB + BA+ AE = 0

??? EF = ED + DC + CF, EF = EA+AB+BF

两式相加，

2EF = ED + EA+ DC + AB + CF + BF

?/ ED + EA= 0, CF + BF = 0

? EF = 1 ( A B + DC).

9.在△ OAB中，C是AB边上一点，且CC =入(入＞0若6A= a, OB = b,试用a, b表示OC. 解：

OC =(b+Za)

10. 如图，OA = a, OB= b, AP = tAB (t € R)，当P是(1) AB中点，(2) AB的三等分点(离A近的

一个)时，分别求OP.

1

解：(1)V p 为AB中点，??? AP = 2 ( b- a)

_ 1 1 --OP = a+ 2 (b- a)= 2 (a+ b).

(2) ?- AP =1 (b-a)

_ 1 1

二OP= a+ 3 ( b- a) = 3 (b+ 2a).